1、景胜中学景胜中学 2020-20212020-2021 学年度高二数学适应考试试题（学年度高二数学适应考试试题（9 9 月）月） 文理同卷文理同卷 一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计 60 分 ） 1. 已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为( ) A. B. C. D. 2. 经过空间不共线的四点，可确定的平面个数是（ ） A. B. C.或 D.或 3. 一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为( ) A. B. C. D. 4. 已知，是空间中两不同直线， ，是空间中两不同平面，下列命题中正确的是 A.若直线， ，则 B.若平面， ，
2、则 C.若平面， ， ，则 D.若， ， ，则 5. 如图，等边为圆锥的轴截面，为的中点，为弧的中点，则直线与所成角的余弦值为 （ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知正方体的棱长为，点在线段上，且，平面经过点， ， ，则正方体被平面截 得的截面面积为( ) A. B. C. D. 7. 如图，在三棱锥中，平面平面，是边长为的等边三角形， ，则直线与平面所成角的 正弦值为( ) A. B. C. D. 8. 已知平行四边形中， ， ，为的中点，将沿直线翻折成，若为的中点，则在翻折过程中 （点平面） ，给出以下命题： 的长是定值； 平面； 存在某个位置，使； 异面直线与所成的角的大小是定
3、值 其中，正确的命题个数是( ) A. B. C. D. 9. 在三棱锥 中， ， 若过的平面将三棱锥 分为体积相等的两部分,则棱与平面所成角的 余弦值为( ) A. B. C. D. 10. 某三棱锥的三视图如图所示，其中主视图是等边三角形，则该三棱锥外接球的表 面积为 A. B. C. D. 11. 如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点， ，且，则下列结论中错误的是（ ） A. B.平面 C.三棱锥的体积为定值 D.异面直线，所成的角为定值 12. 已知某正三棱锥侧棱与底面所成角的余弦值为，球为该三棱锥的内切球若球与 球相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球与球的表面积之比为( ) A
4、. B. C. D. 二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计 20 分 ） 13. 如图，正方体的所有棱中，其所在的直线与直线成异面直线的共有_条 14. 一个正方体内接于一个高为，底面半径为的圆锥，则正方体的棱长为_ 15. 已知某几何体的三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的体积 为_ 16. 如图，为正方体，下面结论中正确的结论是_ （把你认为正确的结论都填 上） 平面； 平面； 过点与异面直线与成角的直线有条； 二面角的正切值是. 三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 14 分 ，共计 70 分 ） 17. 如图，已知平面， ， ，且是的中点，
5、（1）求证： 平面； （2）求证：平面平面； （3）求此多面体的体积 18. 如图，在四棱锥中， ， 求证：平面平面； 若为的中点，求证：平面； 若与平面所成的角为，求四棱锥的体积 19. 如图，在棱长均为的直三棱柱中，点是的中点 （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离 20. 如图，在四棱锥中，平面平面， ， ，且 求证：； 过作截面与线段交于点，使得平面，试确定点的位置，并给出证明 21. 如图，直三棱柱中， ， ，是棱上的点， （1）求证：为中点； （2）求直线与平面所成角正弦值大小； （3）在边界及内部是否存在点，使得面，存在，说明位置，不存在，说明理由 景胜中学景胜中学 2020
6、2020 年年 9 9 月高二数学月考试题月高二数学月考试题 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、一、 选择题选择题 （本题共计（本题共计 1212 小题小题 ，每题，每题 5 5 分分 ，共计，共计 6060 分分 ） 1. 【答案】 A 【解答】 解：设圆锥的底面圆的半径为，则由题意可得， 所以，所以圆锥的高. 所以该圆锥的体积. 故选 2. 【答案】 C 【解答】 当这四个点在一个平面内时候，确定一个平面；当三个点在一个平面上，另一个点在 平面外时候，确定四个平面，可想象一些三棱锥的样子 3. 【答案】 D 【解答】 解：由三视图可知：该几何体是一个棱长和底面边长都是的正三棱柱砍去
7、一个三棱锥 得到的几何体 故选 4. 【答案】 D 【解答】 解：若直线， ，则或，故不对； 若平面， ，则或，故不对； 若平面， ， ，则或，是异面直线，故不对； 根据垂直于同一条直线的两个平面平行，可得正确， 故选 5. 【答案】 C 【解答】 解：取中点，中点，连接， ， ， ， 则就是直线与所成角设则， ， 所以， 即直线与所成角的余弦值为. 故选 6. 【答案】 B 【解答】 解：如图，连接， ，连接并延长交于点，取中点为，连接， ， ， 则， ， ， ， 即为中点，故. 在正方体中，四边形为正方形， ， . 又， . 又为中点， 同理易得， 四边形为菱形， 故， 又平面，平面， 平
8、面经过点， ， ， 即平面为正方体被平面所截得的截面. 在菱形中，连接，则与必相交，交点为， 由于，为菱形的对角线， ， ， ， . 在正方体中， 易得， . 又， 故， ， ， . 即正方体被平面所截得的截面面积为 故选. 7. 【答案】 A 【解答】 解：取的中点为，连接， 因为是边长为的等边三角形， 所以，且， 又因平面平面，平面平面， 所以平面，所以就是直线与平面所成的角. 又平面， 可得 由平面，平面可得， 又， 所以平面, 所以 在中，由 可得 在中， . 故选 8. 【答案】 C 【解答】 解：如图，取中点，连结， ， 取中点，连结， ， 易知， ， 为平行四边形， ，故正确；
9、平面，平面， 平面，故正确； 异面直线与所成的角为，故正确； 若，由已知得， 故平面，则， 而由已知是正三角形得是正三角形，矛盾， 故错误 故选 9. 【答案】 D 【解答】 解：根据题意得图： 设的中点为， . , 可知平面即为平面, 且平面， 棱与平面所成角为， , 棱与平面所成角的余弦值为. 故选. 10. 【答案】 D 【解答】 解：根据几何体的三视图知，该几何体是侧棱底面的三棱锥，如图所示： 是边长为的正三角形，取的三等分点， 则为的外心，作平面， 为直角三角形，外心是的中点，则平面， 则为三棱锥外接球的球心， ， ， 三棱锥外接球的半径， 该几何体外接球的表面积： 故选 11. 【
10、答案】 【解答】 此题暂无解答 12. 【答案】 C 【解答】 解：如图，取的外心，连接， ， 则必过， ，且平面， 可知为侧棱与底面所成的角， 即. 取的中点，连接，. 设圆，的半径分别为， ， 令， 则， ， ， ， ， 所以， 即. 从而， 所以， 则， 所以球与球的表面积之比为 故选 二、二、 填空题填空题 （本题共计（本题共计 4 4 小题小题 ，每题，每题 5 5 分分 ，共计，共计 2020 分分 ） 13. 【答案】 【解答】 正方体的共有条棱中， 成异面直线的有： ， ， ， ， ， ，共条 14. 【答案】 【解答】 解：如图，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱
11、长为， 则， ， 解得， 正方体的棱长为， 故答案为： 15. 【答案】 【解答】 由三视图知，该几何体由正方体沿面与面截去两个角所得 正方体的棱长为，该几何体的体积为， 16. 【答案】 【解答】 解：在正方体中，由于， 由直线和平面平行的判定定理可得平面，故正确 由正方体的性质可得， ， 故平面 ，故 .同理可得 再根据直线和平面垂直的判定定理可得，平面，故正确 过点与异面直线成 角的直线必和也垂直， 过点与直线 成 角的直线必和垂直， 则该直线必和平面 垂直，满足条件的只有直线 ，故不正确 取 的中点，则 即为二面角的平面角， 中， ，故正确 故答案为：. 三、三、 解答题解答题 （本题
12、共计（本题共计 5 5 小题小题 ，每题，每题 1414 分分 ，共计，共计 7070 分分 ） 17. 【考点】 直线与平面平行的性质 平面与平面垂直的判定 柱体、锥体、台体的体积计算 【解答】 此题暂无解答 18. 【答案】 证明证明 因为，所以，又因为，所以平面 所以平面平面 取的中点，连接， 因为为的中点，所以， 又因为， 所以 所以四边形是平行四边形， 又平面，平面， 所以平面 【考点】 二面角的平面角及求法 平面与平面垂直的判定 【解析】 此题暂无解析 【解答】 略 略 解解 法：过作于，连接 因为，所以为中点， 又因为平面平面， 所以平面 如图建立空间直角坐标系 设由题意得， ，
13、 所以 设平面的法向量为，则 即 令，则所以 因为与平面所成角为， 所以 解得 所以四棱锥的体积 法：取中点，连接， ，设 ， 四边形为平行四边形， ， 与面所成角即与面 所成角，设为 在三棱锥中， ， ， 19. 【答案】 【考点】 直线与平面所成的角 直线与平面垂直的判定 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 20. 【答案】 证明：连结交于点， ， ， ， ， ，则， 平面平面， 平面平面， 平面， 又平面， 由，易知， ， 又平面，平面平面， ， ， 即为线段上靠近点的五等分点，即 【考点】 两条直线垂直的判定 直线与平面垂直的性质 直线与平面平行的性质 【解析】 左侧图片未
14、提供解析 左侧图片未提供解析 【解答】 证明：连结交于点， ， ， ， ， ，则， 平面平面， 平面平面， 平面， 又平面， 由，易知， ， 又平面，平面平面， ， ， 即为线段上靠近点的五等分点，即 21. 【答案】 证明：（1）根据题意以、 、所在直线为， ，轴， 建立空间直角坐标系， ， ， ， ， ， ， ，解得， 为的中点 （2） ， 设面的法向量， 则，设，得， 设直线与平面所成角为， 则 直线与平面所成角正弦值大小为 （3）设， ， ， ， ， 面， ， ，解得， ， 在边界及内部是不存在点，使得面 【解答】 证明：（1）根据题意以、 、所在直线为， ，轴， 建立空间直角坐标系， ， ， ， ， ， ， ，解得， 为的中点 （2） ， 设面的法向量， 则，设，得， 设直线与平面所成角为， 则 直线与平面所成角正弦值大小为 （3）设， ， ， ， ， 面， ， ，解得， ， 在边界及内部是不存在点，使得面
