1、 初中数学初中数学等腰三角形的分类讨论等腰三角形的分类讨论 等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形， 就是因为这种特殊性， 在具体处理问题 时往往又会出现错误，因此，同学们在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论。 那么在什么情况下应该分类讨论呢？本文分以下几种情形讲述。 一一、遇角需讨论遇角需讨论 例 1. 已知等腰三角形的一个内角为 75 则其顶角为（ ） A. 30 B. 75 C. 105 D. 30 或 75 简析：75 角可能是顶角，也可能是底角。当 75 是底角时，则顶角的度数为 180 75 2=30 ；当 75 角是顶角时，则顶角的度数就等于 75 。所以这个等腰三角
2、形 的顶角为 30 或 75 。故应选 D。 说明：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论， 先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解。 二二、遇边需讨论遇边需讨论 例 2. 已知等腰三角形的一边等于 5，另一边等于 6，则它的周长等于_。 简析： 已知条件中并没有指明 5 和 6 谁是腰长谁是底边的长， 因此应由三角形的三边关 系进行分类讨论。当 5 是等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是 6，则此时等 腰三角形的周长等于 16；当 6 是腰长时，这个三角形的底边长就是 5，则此时周长等于 17。 故这个等腰三角形的周长等于 16 或
3、 17。 说明：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三 角形三边关系的前提下分类讨论。 三三、遇中线需讨论遇中线需讨论 例 3. 若等腰三角形一腰上的中线分周长为 9cm 和 12cm 两部分，求这个等腰三角形的 底和腰的长。 简析：已知条件并没有指明哪一部分是 9cm，哪一部分是 12cm，因此，应有两种情形。 若设这个等腰三角形的腰长是xcm，底边长为ycm，可得 ,12 2 1 , 9 2 1 yx xx 或 . 9 2 1 ,12 2 1 yx xx 解得 , 9 , 6 y x 或 . 5 , 8 y x 即当腰长是 6cm 时， 底边长是 9cm；
4、当腰长是 8cm 时， 底边长是 5cm。 说明：这里求出来的解应满足三角形三边关系定理。 四四、遇高需讨论遇高需讨论 例 4. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为 45 ，求这个等腰三角形的顶角的 度数。 简析：依题意可画出图 1 和图 2 两种情形。图 1 中顶角为 45 ，图 2 中顶角为 135 。 例 5. 为美化环境， 计划在某小区内用 2 30m的草皮铺设一块一边长为 10m的等腰三角 形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。 简析： 在等腰 ABC 中， 设 AB=10m， 作 CDAB 于 D， 由30 2 1 CDABS ABC ， 可 得CD=6m。 如 下
5、图 ， 当AB为 底 边 时 ， AD=DB=5m， 所 以 )(61 22 mADCDBCAC。 如下图，当 AB 为腰且 ABC 为锐角三角形时， mACAB10，所以)(8 22 mCDACAD， )(102,2 22 mBDCDBCmBD。 如下图，当 AB 为腰且 ABC 为钝角三角形时， mBCAB10，)(8 22 mCDBCBD， 所以)(106,18 22 mADCDACmAD。 说明：三角形的高是由三角形的形状决定的，对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上 的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外。 五五、遇中垂线需讨论遇中垂线需讨论 例 6.在 ABC 中，AB=
6、AC，AB 的中垂线与 AC 所在直线相交所得的锐角为 50 ，则底 角B=_。 简析：按照题意可画出如图 1 和如图 2 两种情况的示意图。 如图 1，当交点在腰 AC 上时，ABC 是锐角三角形，此时可求得A=40 ，所以 B=C= 2 1 （180 40 ）=70 。 如图 2，当交点在腰 CA 的延长线上时，ABC 为钝角三有形，此时可求得 BAC=140 ，所以B=C= 2 1 （180 140 ）=20 故这个等腰三角形的底角为 70 或 20 。 说明：这里的图 2 最容易漏掉，求解时一定要认真分析题意，画出所有可能的图形，这 样才能正确解题。 六六、和方程问题的综合讨论和方程问
7、题的综合讨论 例7. 已 知ABC的 两 边AB ， AC的 长 是 关 于x的 一 元 二 次 方 程 023) 32( 22 kkxkx 的两个实数根，第三边 BC 长为 5。 （1）k为何值时，ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形？ （2）k为何值时，ABC 是等腰三角形，并求 ABC 的周长。 简析： （1）略。 （2）若 ABC 是等腰三角形，则有 AB=AC，AB=BC，AC=BC 这三种情形。方程 023) 32( 22 kkxkx可 化 为0) 1)(2(kxkx， 即2 1 kx， 1 2 kx， 显 然 21 xx ， 即ACAB 。 当 AB=BC 或 AC=BC 时 ， 5 是 方 程 023) 32( 22 kkxkx的根。当5x时，代入原方程可得0127 2 kk，解 得3 1 k，4 2 k。 当3k时，原方程的解为4, 5 21 xx，等腰 ABC 的三边长分别为 5，5，4，周长 为 14。当4k时，原方程的解为5, 6 21 xx，等腰 ABC 的三边长分别为 5，5，6， 周长为 16。 所以当3k或4k时，ABC 是等腰三角形，周长分别为 14 或 16。
