1、 高三年级数学试题高三年级数学试题 绝密绝密 启用前启用前 2021 届届新高考新高考高三年级高三年级学科素养提升试卷（学科素养提升试卷（一一） 数数 学学 本试卷本试卷适用于基于旧课适用于基于旧课标标的新高考模式省份（的新高考模式省份（河北、重庆、广东、福建、湖南河北、重庆、广东、福建、湖南） 注意事项注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考准考证号填写在答题卡上。证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
2、动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一一单项单项选择题选择题（共共 8 题，共计题，共计 40 分分） 1. 设设 i 为虚数单位，为虚数单位，“复数复数是纯虚数是纯虚数“是是“”的（的（ ） A. 充分而不必要条件充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件必要而不充分条件 C. 充分必要条件充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 2. 加强体育锻
3、炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状 态时，若两只胳态时，若两只胳膊的夹角膊的夹角为为 60 ，每只胳膊的拉力大小均为，每只胳膊的拉力大小均为 400N，则该学生的体重（单位：，则该学生的体重（单位：kg）约为（）约为（ ） （参考数据：取重力加速度大小为（参考数据：取重力加速度大小为） A. 63 B. 69 C. 75 D. 81 3. 某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度 d（每层玻璃的厚
4、度相同）及两层玻璃间夹空气（每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气 层厚度层厚度 l 对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量 q 满足关系式满足关系式，其中玻璃的热传，其中玻璃的热传 导系数导系数焦耳焦耳/（厘米（厘米 度），不流通、干燥空气的热传导系数度），不流通、干燥空气的热传导系数焦耳焦耳/（厘米（厘米 度），度），为为 室内外温度差，室内外温度差，q 值越小，保温效果越好，现有值越小，保温效果越好，现有 4 种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表：种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表： 型号型号 每层玻璃厚度每层玻璃厚度 d（单位：厘米）
5、（单位：厘米） 玻璃间夹空气层厚度玻璃间夹空气层厚度 l（单位：厘（单位：厘 米）米） A 型型 0.4 3 B 型型 0.3 4 C 型型 0.5 3 D 型型 0.4 4 则保温效果最好的双层玻璃的型号是（则保温效果最好的双层玻璃的型号是（ ） A. A 型型 B. B 型型 C. C 型型 D. D 型型 4. 在正方形在正方形 ABCD - A1B1C1D1中，棱中，棱 AB，A1D1的中点分别为的中点分别为 E，F，则直线，则直线 EF 与平面与平面 AA1D1D 所成角的余弦值所成角的余弦值 为（为（ ） A. B. C. D. 5. 宁波古圣王阳明的传习录专门讲过易经八卦图，下图
6、是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、宁波古圣王阳明的传习录专门讲过易经八卦图，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、 兑八卦），每一卦由三根线组成（兑八卦），每一卦由三根线组成（“”表示一根阳线，表示一根阳线，“”表示一根阴线）从八卦中任取两卦，这两卦的表示一根阴线）从八卦中任取两卦，这两卦的 六根线中恰有四根阴线的概率为六根线中恰有四根阴线的概率为（ ） 高三年级数学试题高三年级数学试题 A. B. C. D. 6. 执行如执行如图所示的程序框图，输出图所示的程序框图，输出 n 的值为（的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 设设 a、b 为正实数，且为
7、正实数，且，则，则有（有（ ） A. 最小值最小值 9 B. 最大值最大值 9 C. 最小值最小值 10 D. 最大值最大值 10 8. 已知点已知点，分别是双曲线分别是双曲线 C： (，)的左的左右焦点，右焦点，M 是是 C 右支上的右支上的 一点，一点，与与 y 轴交于点轴交于点 P， 的内切圆在边的内切圆在边上的切点为上的切点为 Q， 若， 若， 则， 则 C 的离心率为 （的离心率为 （ ） A. B. 3 C. D. 二二多项多项选择题选择题（共共 4 题，共计题，共计 20 分分） 9. （多选题）已知奇函数（多选题）已知奇函数 f(x)是定义在是定义在 R 上的减函数，且上的减函
8、数，且，若，若，则下列结论一定成，则下列结论一定成 立的是立的是( ) A. B. C. D. 10. （多选（多选题）下列命题正确的是（题）下列命题正确的是（ ） A. 若随机变量若随机变量，且，且，则，则 B. 已已知函数知函数 f(x)是定义在是定义在 R 上的偶函数，且在上的偶函数，且在0,+)上单调递减上单调递减，则不等式，则不等式的解集为的解集为 C. 已知已知，则，则“”是是“”的充分不必要条件的充分不必要条件 D. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，
9、若样本若样本中心点为中心点为，则，则 11（多选题）若直线过点（多选题）若直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线 l 方程可能为（方程可能为（ ） A. B. C. D. 12. （多选（多选题）若存在实常数题）若存在实常数 k 和和 b，使得函数，使得函数和和对其公共定义域上的任对其公共定义域上的任意实数意实数 x 都满足：都满足： 和和恒成立，则称此直线恒成立，则称此直线为为和和的的“隔离直线隔离直线”，已知函数，已知函数 高三年级数学试题高三年级数学试题 ，（ 为自然对数的底数），则（为自然对数的底数），则（ ） A. 在在内单调递增；内
10、单调递增； B. 和和之间存在之间存在“隔离直线隔离直线”，且，且 b 的最小值为的最小值为4； C. 和和之间存之间存在在“隔离直线隔离直线”，且，且 k 的取值范围是的取值范围是4,1； D. 和和之间之间存在存在唯一的唯一的“隔离直线隔离直线”. 三三填空填空题题（共共 4 题，共计题，共计 20 分分） 13. 北京大兴国际机场为北京大兴国际机场为 4F 级国际机场、大型国际枢纽机场、国家发展新动力源，于级国际机场、大型国际枢纽机场、国家发展新动力源，于 2019 年年 9 月月 25 日正式日正式 通航通航.目前建有目前建有“三纵一横三纵一横”4 条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东
11、一跑道、北一跑道，如图所示；若有条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东一跑道、北一跑道，如图所示；若有 2 架架 飞往不同目的地的飞飞往不同目的地的飞机要机要从以从以上不同跑道同上不同跑道同时起飞，且西一跑道、西二跑道至少有一道被选取，则共有时起飞，且西一跑道、西二跑道至少有一道被选取，则共有_ 种不同的安排方法种不同的安排方法.(用数字作答用数字作答). 14. 已知数已知数列列an满满足足，设设an的的前前 n 项和项和为为 Sn，则则_，_ 15. 如图，正六边形如图，正六边形 ABCDEFABCDEF 中，有下列四个命题：中，有下列四个命题： + +=2=2； =2=2+2+2； = =
12、；（；（ ）= =（ ） 其中其中真命题的代号是真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）（写出所有真命题的代号） 16.为满足人民群众便利消费、 安全消费、 放心消费的需求， 某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为满足人民群众便利消费、 安全消费、 放心消费的需求， 某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为为 2400m2 的新型生鲜销售市场市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面的新型生鲜销售市场市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共共 80 间每间蔬菜水果类店面的建造面积间每间蔬菜水果类店面的建造面积为为 28 m2，月租费，月租费为为 x 万元；每间万元；每间肉食水产店肉食水产店面的建造面积面的建
13、造面积为为 20 m2，月租费，月租费为为 0.8 万元全部店面的建造面积不低于万元全部店面的建造面积不低于 总面积总面积的的 80%，又不能超过总面积，又不能超过总面积的的 85%两类店面间数的建造方案两类店面间数的建造方案为为_种种市场建成后所有店市场建成后所有店 面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的的 90%，则则 x 的最大值的最大值为为_万元万元 四四解答题解答题（共共 5 题，共题，共计计 60 分）分） 17. （12 分分）已知已知 a、b、c 分别
14、为分别为ABC 内角内角 A、B、C 的对边，若的对边，若ABC 是锐角三角形，需要同时满足下列是锐角三角形，需要同时满足下列 四个条件中的三个：四个条件中的三个： （1）条件能否同时满足，请说明理由；）条件能否同时满足，请说明理由； （2）以上四个条件，请在满足三角形有解的所有组合中任选一）以上四个条件，请在满足三角形有解的所有组合中任选一组，并求组，并求出对应的出对应的ABC 的面积的面积. 18. （12 分分）如图，在等腰梯形如图，在等腰梯形 ABCD 中，中，将，将 沿沿 BP 折起，使平面折起，使平面平面平面 PBCD，得到如图所示的四棱锥，得到如图所示的四棱锥 ABCDP，其中，
15、其中 M 为为 AD 的中点的中点 高三年级数学试题高三年级数学试题 （1）试分别在）试分别在 PB，CD 上确定点上确定点 E，F，使，使平面平面平面平面 ABC； （2）求二面角）求二面角的余弦值的余弦值 19.（12 分分） 已知椭圆已知椭圆：的离心率为的离心率为，其左、右焦点分别为，其左、右焦点分别为 F1，F2，点，点 P 为坐标平为坐标平 面内的一点，且面内的一点，且，O 为坐标原点为坐标原点. （1）求椭圆）求椭圆 C 的方程；的方程； （2） 设） 设M为椭圆为椭圆C的左顶点，的左顶点， A、 B是椭圆是椭圆C上两个不同的点， 直线上两个不同的点， 直线MA， MB的倾斜角分别
16、为的倾斜角分别为， ， 且， 且. 证明：直证明：直线线 AB 恒过定点，并求出该定点的坐标，恒过定点，并求出该定点的坐标， 20. （12 分分）已知函已知函数数 （1）讨论函数）讨论函数 f(x)的单调性；的单调性； （2）当）当时，求证：时，求证： 21. （12 分分）山东省高考改革试点方案规定：从山东省高考改革试点方案规定：从 2020 年高考开始，高考物理、化学等六门选考科目的考年高考开始，高考物理、化学等六门选考科目的考 生原始成绩从高到低划分为生原始成绩从高到低划分为 A，B+，B，C+，C，D+，D，E 八个等级八个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数参照正态分布原则，确定
17、各等级人数所占所占 比例分别为比例分别为 3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%.选考科目成绩计入考生总成选考科目成绩计入考生总成绩时，将绩时，将 A 至至 E 等级等级 内的考生原始成绩， 依照等比例转换法则分别转换到内的考生原始成绩， 依照等比例转换法则分别转换到91,100 ， 81,90 ， 71,80 ， 61,70 ， 51,60 ， 41,50 ， 31,40 ，21,30八个分数区间，得到考生的等级成绩八个分数区间，得到考生的等级成绩. 高三年级数学试题高三年级数学试题 某校某校 2017 级学生共级学生共 1000 人，以期末考试成绩为原始成绩转换了本校的等级
18、成绩，为学生合理选科提供依据，人，以期末考试成绩为原始成绩转换了本校的等级成绩，为学生合理选科提供依据， 其中物理成绩获得等级其中物理成绩获得等级 A 的学生原始成绩统计如下的学生原始成绩统计如下 成绩成绩 93 91 90 88 87 86 85 84 83 82 人数人数 1 1 4 2 4 3 3 3 2 7 （1）从物理成绩获得等级）从物理成绩获得等级 A 的学生中任取的学生中任取 3 名，求恰好有名，求恰好有 2 名同学的等级分数不小于名同学的等级分数不小于 95 的概率的概率; （2）待到本级学生高考结束后，从全省考生中不放回的随机抽取学生，直到抽到）待到本级学生高考结束后，从全省
19、考生中不放回的随机抽取学生，直到抽到 1 名同学的名同学的物理高考物理高考成绩等成绩等 级为级为 B+或或 A 结束结束(最多抽取最多抽取 1000 人人)，设抽取的学生个数为，设抽取的学生个数为，求随机变，求随机变量量的数学期望的数学期望(注注: ). 高三年级数学试题高三年级数学试题 绝密绝密 启用前启用前 2021 届届新高考新高考学科素养提升试卷（学科素养提升试卷（一一） 数数 学学 答案答案 本试卷本试卷适用于基于旧课适用于基于旧课标标的新高考模式省份（的新高考模式省份（河北、重庆、广东、福建、湖南河北、重庆、广东、福建、湖南） 1.B 2.B 3.D 4.D 5.B 6.C 7.A
20、 8.C 9.AC 10.BD 11.ABC 12.ABD 13. 10 14. -1 1010 15. 16. 16； 1 17. （1）不能，理由见解析；（）不能，理由见解析；（2）同时满足，）同时满足，. 解：（解：（1）ABC 不能同时满足，不能同时满足，. 理由如下：理由如下： 若若ABC 同时满足，同时满足， 则在锐角则在锐角ABC 中，中，所以，所以 又因为又因为，所以，所以 所以所以，这与，这与ABC 是锐角三角形矛盾是锐角三角形矛盾 所以所以ABC 不能同时满足，不能同时满足，. （2）因为）因为ABC 需同时满足三个条件，由（需同时满足三个条件，由（1）知不能同时满足）知不
21、能同时满足，故只能，故只能同时满足或同时满足或 若同时满足，因为若同时满足，因为，所以，所以，则，则， 则则这与这与ABC 是锐角三角形矛盾是锐角三角形矛盾. 故故ABC 不能同时满足不能同时满足，只能，只能同时满足同时满足. 因为因为， 所以所以， 解得解得或或. 当当时，时， 所以所以为钝角，与题意不符合，所以为钝角，与题意不符合，所以. 所以所以ABC 的面积的面积. 18. （1），分别为分别为，的中点，证明见解析；（的中点，证明见解析；（2）. 解：（解：（1），分别为分别为，的的中中点，证明如点，证明如下：下： 连接连接， ，分别为分别为，的中点，的中点， 又又为为的中点，且四边形
22、的中点，且四边形为梯形，为梯形，平面平面，平面平面 ， 平面平面，同理，同理平面平面, 又又，,平面平面， 平面平面平面平面 （2）由题意知）由题意知， 两两垂直，以两两垂直，以为坐为坐标原点，标原点，所在的直线所在的直线分别为分别为轴，轴，轴，轴， 轴建立如图轴建立如图所示的空间直角坐标系，所示的空间直角坐标系， 高三年级数学试题高三年级数学试题 在等腰梯形在等腰梯形中，中， ， ， 设平面设平面的法向量为的法向量为， 则则即即 令令，则，则，为平面为平面的一个法向量的一个法向量 同理可得平面同理可得平面的一个法向量为的一个法向量为 设二面角设二面角的平面角为的平面角为， 由图可由图可知知，
23、 则则 二面角二面角的余弦值为的余弦值为 19. （1）；（；（2）证）证明见解析，定点明见解析，定点. 解（解（1）设）设点坐标为点坐标为， 则则， 由题意由题意得得 解得解得. 又又， 所求椭圆所求椭圆的方程为：的方程为： （2）由）由题可知直线题可知直线的斜率存在，则设直线的斜率存在，则设直线方程为方程为，坐标为坐标为， 解方程组解方程组 ， 又由又由， 设直线设直线，斜率分别为斜率分别为，则则 即：即： 化简得：化简得： 得：得：，或，或 当当时，时，过点（，过点（-2，0），不合），不合题意（舍去）题意（舍去） 高三年级数学试题高三年级数学试题 当当时，时，过点，过点， 直线直线恒过
24、定点恒过定点. 20. （1）见解析）见解析;（2）见解析）见解析 （1） ， 当当时，时，则函数，则函数在在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，上单调递增， 令令，解得，解得 当当时，则当时，则当或或时，时，当，当时，时， 函数函数在在，上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，上单调递增， 当当时，则当时，则当或或时，时，当，当时，时，, 函函数数在在，上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，上单调递减， （2）证明：由）证明：由，可得，可得， 即即， 设设， ， 当当时，时，函数，函数单调递增，当单调递增，当时，时，函数，函数单调递减，单调递减， ，设，设 ， 令令，解得，解得， 当当
25、时，时，函数，函数单调递增，单调递增， 当当时，时，函数，函数单调递减，单调递减， 综上所述综上所述 21. 解：（解：（1）设物理成绩获得等级）设物理成绩获得等级的学生原始成绩为的学生原始成绩为，其，其等级成绩为等级成绩为. 由转换公式由转换公式，得，得. 由由，得，得. 显然原始成绩满足显然原始成绩满足的的同学有同学有人，获得等人，获得等级级的的学生有学生有人，人， 恰好有恰好有名名同学同学等级分数不小于等级分数不小于的的概率为：概率为：. （2）由题意得，随机抽取）由题意得，随机抽取 人，其等级成绩为人，其等级成绩为或或的概率为的概率为. 学生个数学生个数的可能取值为的可能取值为； 高三年级数学试题高三年级数学试题 ， ，； 其数学期望是：其数学期望是： 其中：其中： 应用错位相减法应用错位相减法“式式-式式”得：得： 故故.
