1、 天一大联考 20202021 学年高中毕业班阶段性测试（一） 理科数学 考生注意： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡 上的指定位置. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1. 已知全集| 23,UxxxZ ，1, 2A ， 2 |
2、230,Bx xxxN， 则 U CAB中 元素的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知复数z满足2zi ii，则z （ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 10 3. 已知平面向量a，b的夹角为60，且2a ，22 3ab，则b （ ） A. 1 B. 2 3 C. 3 D. 2 4. 已知 3 log 5x ， 2 log3y ， 3 2 3z ，则（ ） A. xyz B. yzx C. zyx D. yxz 5. 从 5 名大学毕业生中选派 4 人到甲、乙、丙三个贫困地区支援，要求甲地区 2 人，乙、丙地区各一人， 则不同的选派方法总数为（ ） A. 40
3、 B. 60 C. 100 D. 120 6. 九章算术商功中有这样一段话： “斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.”其中 “解” 字的意思是用一个平面对某几何体进行切割.已知正方体 1111 ABCDABC D， 随机在线段 1 AC上取一 点，过该点作垂直于 1 AC的平面，则平面“解”正方体 1111 ABCDABC D所得的大、小两部分体积之 比大于 5 的概率为（ ） A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 7. 1 x f xxe x 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 在ABC中，BC，且 2 2 sin 2(13sin) sin A
4、 A B ，则tan A（ ） A. 4 3 B. 1 C. 3 3 D. 1 3 9. 若x，y满足约束条件 5 3 4 xy x y ，则 1 xy z x 的取值范围为（ ） A. 5 ,5 3 B. 5 5 , 4 2 C. 7 5 , 4 2 D. 7 14 , 45 10. 已知向量4cos ,1ax，cos, 2 3 bx ， 则函数 f xa b在, 6 3 上的所有零点之和 为（ ） A. 3 B. 2 C. 2 3 D. 11. 已知双曲线C： 22 22 10,0 xy ab ab 的左、 右焦点分别为 1 F， 2 F， 离心率为 2， 且经过点 3,2， 点P在C上，
5、 12 60FPF，则点P到x轴的距离为（ ） A. 3 2 B. 6 2 C. 3 D. 6 12. 若对任意xR，不等式20 x axa恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. ln2,0e B. 0, ln2e C. 2 ln2,0e D. 0,2 ln2e 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 下表是x，y之间的一组数据： x 0 1 2 3 4 y 5 7 8 c 19 且y关于x的回归方程为3.23.6yx，则表中的c_. 14. 已知2sincos5，则tan2_. 15. 四面体ABCD中，ACAD，24ABAC，2 5BC ，2 2AD，当四面
6、体的体积最大时， 其外接球的表面积是_. 16. 抛物线C： 2 20ypx p的焦点为1,0F，过点F的直线与C交于A，B两点，C的准线与x轴 的交点为M，若MAB的面积为 8 3 3 ，则 AF BF _. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都 必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. 设等比数列 n a的前n项和为 n S，若 5 32a ，且 2 S， 1 S， 3 S成等差数列. （）求 n a的通项公式； （）比较2 n S与 12nn SS 的大小. 18.
7、 如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，平面PAD 平面ABCD，APPD. （）求证：PDPB； （）设ABBC，若PBPC，且二面角A PB C的余弦值为 10 5 ，求的值. 19. 已知椭圆E： 22 22 10 xy ab ab ，直线l：10 xmy 过E的右焦点F.当1m时，椭圆的长 轴长是下顶点到直线l的距离的 2 倍. （）求椭圆E的方程. （）设直线l与椭圆E交于A，B两点，在x轴上是否存在定点P，使得当m变化时，总有 OPAOPB （O为坐标原点）？若存在，求P点的坐标；若不存在，说明理由. 20. 甲、乙、丙、丁 4 名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i
8、的方框表示第i场比赛， 方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i” ，负者称为“负者i” ，第 6 场为决赛， 获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为 3 4 ，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同. （）求甲获得冠军的概率； （）求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率. 21. 已知函数 2 ln1 x x fx e ， g xxfx，其中 fx是 f x的导数. （）求 f x的最值； （）证明：0 x ， 2 1 1 e g x x . （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22. 选修
9、 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 23 4 xt yt （t为参数） ，以坐标原点为极点，x轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为 2 6 cos4 sin120. （）求圆C的圆心的直角坐标和半径； （）已知直线l交圆C于A，B两点，点 7 ,2 2 P ，求PA PB. 23. 选修 4-5：不等式选讲 已知集合| 213Axx. （）若存在xA使不等式22xm成立，求m的取值范围； （）取m为（）所求范围中的最小正整数，解不等式312xxm . 天一大联考 20202021 学年高中毕业班阶段性测试（） 理科数学答案 、选择题：本题共
10、12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 1.【答案】B 【命题意图】本题考查集合的表示与运算，以及不等式的解法. 【解析】2, 1,0,1,2,3U ，0,1,2B ，2, 1,0,1,2AB ，所以 3 U CAB ，只有一 个元素. 2.【答案】A 【命题意图】本题考查复数的概念和运算性质. 【解析】由题意可得 2 211 i ziiii i ，则2zz. 3.【答案】A 【命题意图】本题考查平面向量的数量积运算. 【解析】 222 24cos60412abaa bb，所以 2 20bb，解得1b （负值舍去）. 4.【答案】D 【命题意图】本题考查指数、对数函数的性质以及不等式的性质
11、. 【解析】 3 log 5(1,2)x ， 2 log3(0,1)y ， 3 2 33z . 5.【答案】B 【命题意图】本题考查排列组合的综合应用. 【解析】不同的选派方法有 211 532 60C C C 种. 6.【答案】D 【命题意图】本题考查空间几何体的结构特征. 【解析】 如图所示， 由正力体的性质可知， 1 AC垂直于平面 1 ABD和平面 11 CB D， 设P和Q分别是平面 1 ABD 和平面 11 CB D与线段 1 AC的交点，易知 11 111 1 11 1 6 AABDC C B DABCD A BC D VVV ，当平面取平面 1 ABD或平面 11 CB D时，
12、切割得到的大、小两部分体积之比恰好为 5，要满足条件，应在线段AP或 1 QC上取点，而 1 APPQQC，所以所求的概率为 1 1 2 3 APQC AC . 7.【答案】C 【命题意图】本题考查函数的图象与性质. 【解析】因为 f xfx，所以 f x为奇函数，排除 B，0 x时， 1 x f xxe x ， 2 1 11 x ex xx fx 2 111 2 10 xx exex xxx ， 所以 f x在0,上单调递增， 选 C. 8.【答案】C 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理的应用. 【解析】由BC得bc，由 2 2 sin 2(13sin) sin A A B 及正弦定理得
13、 22 2(13sin)abA，又根据余弦 定 理 222 2cosabcbcA， 得 22 2(1 cos)2(13sin)bAbA， 所 以cos3 sinAA， 于 是 3 tan 3 A . 9.【答案】B 【命题意图】本题考查不等式与平面区域. 【解析】作出约束条件 5 3 4 xy x y 所表示的平面区域，如图中阴影部分所示. 1 1 11 xyy z xx 表示阴影 部分上的动点, x y与定点1,1D 连线的斜率加 1.易求得1,4A，3,2B，则 4 13 1 12 AD k ， 2 11 3 14 BD k ，所以 55 42 z. 10.【答案】A 【命题意图】本题考查
14、向量的坐标运算、三角恒等变换以及三角函数的性质. 【 解 析 】()4 c o sc o s2 3 fxxx 13 4coscossin23sin2cos21 22 xxxxx 2 s i n21 6 x ，令 0f x ，则 1 sin 2 62 x ， 63 x ， 5 2 666 x ， 2 66 x 或 5 6 ，0 x或 3 x . 11.【答案】B 【命题意图】本题考查双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系. 【解析】由双曲线的离心率为2，可知双曲线为等轴双曲线，ab，将点 3,2代入双曲线方程得 1ab.根据对称性，不妨设P点在第一象限，P到x轴的距离为h. 12 2 2FF ，
15、12 2PFPF， 由 余 弦 定 理 得 222 121212 2cos60FFPFPFPFPF 2 1212 PFPFPFPF， 所 以 12 4PFPF，由三角形面积公式可得 1212 11 sin60 22 PFPFFFh，得 6 2 h . 12.【答案】C 【命题意图】本题考查不等式的概念以及利用导数研究函数. 【解析】不等式即21 x a x ，则曲线2xy 位于直线1ya x的上方，当0a时，直线与曲 线恒有交点，不满足条件.当0a时，直线与曲线没有交点，满足条件.当0a时，当直线与曲线相切时， 设切点为,2mm， 切线方程为22 ln2() mm yxm， 切线过点1,0，
16、代入方程得 2 1 1log 2 ln2 me ， 此时切线斜率为2 ln2e，由图可知，02 ln2ae ，即2 ln20ea.综上2 ln20ea. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.【答案】11 【命题意图】本题考查回归方程的概念与性质. 【解析】回归直线经过样本中心点 , x y， 0 1234 2 5 x ，3.2 23.610y ， 57819 10 5 c ，解得11c. 14.【答案】 4 3 【命题意图】本题考查三角函数求值，三角恒等变换的应用. 【解析】由题意得 22 2 22 4sincos4sincos (2sincos ) sinco
17、s 2 2 4tan4tan1 5 tan1 ，整理 得 2 tan4tan40，解得tan2.所以 2 2tan4 tan2 1tan3 . 15.【答案】28 【命题意图】本题考查空间几何体的结构特征，多面体与球的关系. 【解析】由已知可得 222 BCACAB，所以ACAB，又因为ACAD，所以AC 平面ABD，四 面体ABCD的体积 11 sin 32 VACAB ADBAD， 当90BAD时V最大， 把四面体ABCD补全为 长方体，则它的外接球的直径2R即长方体的体对角线， 2 2 22 228ACABRAD ，所以外接球的 表面积为 2 428R. 16.【答案】3 或 1 3 【
18、命题意图】本题考查抛物线的方程和性质、抛物线与直线的位置关系. 【解析】由条件可得抛物线的方程为 2 4yx，设AB的方程为1xmy，联立抛物线方程消去x得 2 440ymy，则 4 4 AB AB yym y y ，因此 1 2 MABABAB SMFyyyy 2 2 41616 ABAB yyy ym 8 3 3 ，解得 2 1 3 m ，代入，解得3 A B AFy BFy 或 1 3 . 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.【命题意图】本题考查等差数列，等比数列的性质，求和公式. 【解析】 （）因为 2 S， 1 S， 3 S成等差数列，所以 12
19、3 2SSS， 整理可得 32 2aa ，所以 n a的公比为-2. 又 4 51 ( 2)32aa ，得 1 2a ， 所以2 n n a ， * nN. （）因为2 n n a ， * nN， 所以 1 ( 2) 1 ( 2) 2( 2) 1 ( 2)3 n n n S . 于是 2 4( 2) 2 3 n n S ， 又因为 23 12 2( 2)2( 2) 3 nn nn SS 2 4( 2) 3 n ， 所以 12 2 nnn SSS . 18.【命题意图】本题考查四棱锥的结构特征，空间位置关系的证明，空间角的计算，以及空间向量的应用. 【解析】 （）因为四棱锥PABCD的底面是矩形
20、，所以ABAD， 因为平面PAD 平面ABCD，且交线为AD，所以AB 平面PAD. 所以ABPD. 又因为APPD，且PAABA，所以PD 平面PAB. 所以PDPB. （）由PBPC和（）可知RtBAPRtCDP，所以PAPD，PAD为等腰直角三角形. 如图，以AB为x轴，AD为y轴建立空间直角坐标系Axyz. 设2BC ，则2AB. 则0,0,0A，2 ,0,0B，2 ,2,0C，0,2,0D，0,1,1P. 2 , 1, 1PB ，0,2,0BC ，0,1, 1PD . 因为PD 平面PAB，所以PD是面PAB的一个法向量. 设平面PBC的一个法向量为, ,nx y z， 则 20 2
21、0 n PBxyz n BCy ，可取1,0,2n. 所以 2 2 cos, 241 PD n PD n PD n ， 根据题意可知 2 210 5 241 ， 解得1. 19.【命题意图】本题考查直线、椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系. 【解析】 （）设椭圆的焦距为2c，直线l恒过定点1,0，所以1c. 当1m时，直线l：10 xy ， 椭圆的下顶点0, b到直线l的距离 1 2 b d ， 由题意得 22 1 2 1 b a ab ，解得2a ，1b. 所以椭圆E的方程为 2 2 1 2 x y. （）当0m时，显然在x轴上存在点P，使得OPAOPB. 当0m时，由 2 2 1 2 10
22、 x y xmy 消去x可得 22 2210mymy . 设 11 ,A x y， 22 ,B x y，则 12 2 2 2 m yy m ， 12 2 1 2 y y m . 设点,0P t满足题设条件，易知PA，PB的斜率存在， 则 1212 1212 11 PAPB yyyy kk xtxtmytmyt 1212 12 (1)2 0 11 tyymy y mytmyt ， 则 1212 (1)20tyymy y，即2 (1)22 (2)0mtmmt， 2t 时，上式恒成立. 所以在x轴上存在点2,0P满足题设条件. 20.【命题意图】本题考查概率的概念、事件的关系以及概率的运算性质. 【
23、解析】 （）甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况： 1 胜 3 胜 6 胜；1 负 4 胜 5 胜 6 胜；1 胜 3 负 5 胜 6 胜. 所以甲获得冠军的概率为 33 33181 2 444128 . （）若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况： 甲：1 胜 3 胜，乙：1 负 4 胜 5 胜； 甲：1 负 4 胜 5 胜，乙：1 胜 3 胜. 所以甲与乙在决赛相遇的概率为 3311133127 44224442128 . 若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第 3 场和第 6 场相遇，两人参加的比赛的结果有两种情况： 乙：1 胜 3 胜，丙：2 胜 3 负 5 胜； 乙：1
24、 胜 3 负 5 胜，丙：2 胜 3 胜. 同时考虑甲在第 4 场和第 5 场的结果，乙与丙在第 3 场和第 6 场相遇的概率为 111311111131115 42244424224442128 . 丁与丙的情况相同，所以乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为 275537 128128128128 . 21.【命题意图】本题考查导数的计算，利用导函数研究函数的性质. 【解析】 （） f x的定义域为0,， 2 1 1 l n x fx x x e . 令 0fx 可得1x ，当01x时， 1 1 ln0 x x ，当1x 时， 1 1 ln0 x x ， 所以 f x在0,1上单
25、调递增，在1,上单调递减， 所以 max 1f xfe. 即 f x的最大值为e，没有最小值. （）由题意知 2 1ln x xx g e x x . 由 2 1 ( ) 1 e g x x 得 2 1 1ln1 1 x e xxx xe . 设( )1lnh xxxx ，则 2 lnh xx ，令 0h x 得 2 1 x e ， 当 2 1 0 x e 时， 0h x ， h x单调递增；当 2 1 x e 时， 0h x ， h x单调递减. 所以 22 11 ( )1h xh ee . 设 1 x xex，当0 x时， 10 x xe ， 所以 00 x，即1 x ex，1 1 x e
26、 x . 由可得 2 1 1ln1 1 x e xxx xe ，因此原命题正确. 22.【命题意图】本题考查参数方程与极坐标系，直线参数方程中参数的几何意义. 【解析】 （）由cosx，siny， 可知圆C的直角坐标方程为 22 64120 xyxy，即 22 (3)(2)1xy， 所以圆C的圆心的直角坐标为3,2，半径为 1. （）当 1 2 t 时，由直线l的参数方程得 37 2 22 x ，2y ， 所以点 7 ,2 2 P 在l上，将l的参数方程改写为 73 25 4 2 5 xm ym （m为参数）. 代入圆C的方程中，整理得 2 33 0 54 mm， 由参数的几何意义得 3 4 PAPB. 23.【命题意图】本题考查绝对值不等式相关的综合问题. 【解析】 （）设2 2 2 | 2 2 2 m Bm m xxxx ， 因为| 213|21Axxx xx 或， 存在xA使不等式22xm成立，等价于AB ， 当 2 1 2 2 2 2 m m 即20m 时，AB ， 故所求的m的取值范围是 , 20, . （）由题意知1m. 当1x时，原不等式转化为1 312xx ，无解； 当 1 1 3 x 时，原不等式转化为1 312xx ，解得 11 23 x； 当 1 3 x 时，原不等式转化为3112xx ，解得 1 2 3 x. 综上，不等式的解集为 1 ,2 2 .
