1、第7章 PID控制第第7 7章章 PIDPID控制控制7.1 PID基本控制规律7.2 PID控制器的设计7.3 PID控制器的调整法则7.4 PID控制方案的修正习题第7章 PID控制在第6章中我们学习了超前校正、滞后校正及滞后超前校正的基本原理及校正方法，这类校正属于无源校正网络。它们都是由电阻和电容组成的网络，虽然结构简单，但是本身没有放大作用，而且输入阻抗低，输出阻抗高，当系统要求较高时，往往不能满足要求。这时需要采用有源校正网络。有源校正网络一般由运算放大器和电阻、电容组成的反馈网络联接而成，被广泛地应用于工程控制系统中，常常被称为调节器。第7章 PID控制其中，PID控制及各种变形
2、或修正的PID控制方案在当今工业控制中得到了广泛的应用。PID调节器是指按偏差的比例(Proportional)、积分(Integral)和微分(Derivative)或三者之间的组合进行控制的调节器。PID调节器已经形成了典型结构，其参数整定方便，结构改变灵活(P、PI、PD、PID等)，在许多工业过程控制中获得了良好的效果。对于那些数学模型不易精确求得、参数变化较大的被控对象，采用PID调节器也往往能得到满意的控制效果。第7章 PID控制7.1 PID基本控制规律基本控制规律所谓PID基本控制规律，就是对偏差(t)进行比例、积分、微分及其组合变换的控制规律，如比例微分、比例积分、比例积分微
3、分控制规律等。在确定校正装置的形式时，应首先了解校正装置所需提供的控制规律，以便选择相应的元件。第7章 PID控制一、一、比例（比例（P）控制规律）控制规律比例控制器方框图如图7-1所示。比例控制器又称为P控制器，其输出信号m(t)能成比例地反映其输入信号(t)。比例控制器的运动方程为m(t)=Kp(t)(7-1)第7章 PID控制图7-1 比例控制器方框图第7章 PID控制式中，Kp为比例系数，又称为P控制器的增益。比例控制器的传递函数为比例控制器的实质是具有可调增益的放大器，其作用是增大控制器的增益。通过比例控制器可使系统稳态性能提高，但相对稳定性却下降，甚至可能造成系统不稳定。因此，在系
4、统校正设计中，很少单独采用比例控制器。(7-2)p)()()(KsEsMsGc第7章 PID控制二、二、积分（积分（I）控制规律）控制规律积分控制器方框图如图7-2所示。积分控制器又称为I调节器。积分控制器输出信号m(t)能成比例地反映其输入信号(t)的积分，即(7-3)ttkTtm0i0id)(d)(1)(第7章 PID控制图7-2 积分控制器方框图第7章 PID控制其中，称为积分时间常数，ki称为可调的比例系数。积分控制器的传递函数为 通过积分控制器可以提高系统的型别，因此有利于提高系统的稳态性能，但会使系统的相对稳定性变差。因此，控制系统的校正设计中，通常不采用单一的积分控制器。(7-4
5、)sTsEsMsGci1)()()(ii1kT 第7章 PID控制三、三、比例微分（比例微分（PD）控制规律）控制规律比例微分控制器方框图如图7-3所示。比例微分控制器又称为PD控制器。其输出信号m(t)与输入信号(t)的关系为其中，Kp为比例系数，Td为微分时间常数。比例微分控制器的传递函数为(7-5)(7-6)ttTKtKtmd)(d)()(dpp)1()()()(dpsTKsEsMsGc第7章 PID控制图7-3 PD控制器方框图第7章 PID控制特别地，当Kp=1时，其传递函数为Gc(s)=1+Tds (7-7)频率特性为Gc(j)=1+jTd (7-8)PD控制器对应的Bode图如图
6、7-4所示。显然，PD校正能使相位超前。第7章 PID控制图7-4 PD控制器的Bode图第7章 PID控制采用PD控制器后，系统相位裕量增加，稳定性增强，幅值穿越频率增加，系统的快速性抽调。所以，PD控制规律可以提高系统的动态性能，但由于高频增益增大，因此系统的抗干扰能力减弱。PD控制可以用有源网络来实现，例如图7-5所示的PD校正环节。根据复阻抗概念，有22111,1RZCsRRZ第7章 PID控制传递函数为显然，上式符合PD校正律，式中比例系数Kp=R2/R1，微分时间常数Td=R1C，所以图7-5所示网络为PD校正环节。)1()()()()()(11212ioCsRRRsZsZsUsU
7、sGc第7章 PID控制图7-5 PD校正环节第7章 PID控制例例7-1 试分析如图7-6所示的具有PD控制器的控制系统中，PD控制规律对该系统性能的影响。解解：无PD控制器时，所给系统的闭环特征方程为Js2+1=0显然该系统为无阻尼二阶系统，其输出信号xo(t)为等幅振荡，系统处于临界稳定状态。加入PD控制器后，所给系统的特征方程为Js2+KpTds+Kp=0第7章 PID控制图7-6 PD控制系统方框图第7章 PID控制其阻尼比为 因此闭环系统是稳定的。这是因为PD控制器的加入提高了给定系统的阻尼比，使系统由无阻尼系统转化为有阻尼系统。系统的阻尼比大小可通过PD控制器的参数Kp和Td进行
8、调整。022pdpdJKTKJT（J，Kp，Td均大于0）第7章 PID控制四、四、比例积分（比例积分（PI）控制规律）控制规律比例积分控制器方框图如图7-7所示。比例积分控制器又称为PI控制器，其输出信号m(t)与输入信号(t)的关系为其中，Kp为比例系数，Ti称为积分时间常数。比例积分控制器的传递函数为(7-9)(7-10)tttTKtKtm0ippd)()()(sTKsEsMsGcip11)()()(第7章 PID控制图7-7 PI控制器方框图第7章 PID控制特别地，当Kp=1时，其传递函数为频率特性为 PI控制器对应的Bode图如图7-8所示。显然，PD校正使相位滞后。(7-11)(
9、7-12)sTsGci11)(ij11)j(TGc第7章 PID控制图7-8 PI控制器的Bode图第7章 PID控制在保证系统稳定的基础上，采用PI控制器可以提高系统的型别（无差度），从而使其稳态性能得以改善。这是因为，PI控制器相当于在系统中增加了一个位于原点的开环极点和一个位于s平面左半平面的开环零点。位于原点的极点可以提高系统的型别，减小系统的稳态误差，从而改善稳态性能；而负实零点用来减小系统的阻尼度，从而减小PI控制器极点对系统稳定性和动态过程产生的不利影响。加入PI控制器后，虽然系统的型别提高了，稳态误差得以消除或减小，但相位裕量有所减小，稳定性变差，所以PI控制器仅适合稳定裕量比
10、较大的系统。第7章 PID控制实现PI控制规律的有源网络如图7-9所示。根据复阻抗概念，有其传递函数为 显然，上式符合PI校正律，式中比例系数Kp=R2/R1，积分时间常数Ti=R2C，所以图7-9所示网络为PI校正环节。CsRZRZ1,221111)()()()()(21212ioCsRRRsZsZsUsUsGc第7章 PID控制图7-9 PD校正环节第7章 PID控制例例7-2 如图7-10所示的PI控制系统，校正前系统的传递函数为试分析PI控制器对改善给定系统稳态性能的作用。解解：采用PI校正前，系统的开环传递函数为显然这是一个型系统。当系统采用PI校正后，系统的开环传递函数为)1()(
11、TssKsG)1()(TssKsG)1()1()(2iipTssTsTKKsG第7章 PID控制图7-10 控制系统方框图第7章 PID控制系统的型别由提高到。型别提高，系统的稳态性能得以改善。采用PI控制器后，控制系统的特征方程为TiTs3+Tis2+KKpTis+KKp=0其中，T、Ti、Kp、K皆为正数，所以在以上特征方程中，自变量s的各次幂的系数也将全部大于零，满足系统稳定的必要条件。只要合理选择上述各参数，采用PI控制器的给定型系统完全可以做到既能保证闭环稳定性又能提高稳态性能。第7章 PID控制五、五、比例积分微分（比例积分微分（PID）控制规律）控制规律由比例、积分、微分基本规律
12、组合起来的控制器，称为比例积分微分控制器，简称为PID控制器，其方框图如图7-11所示。PID控制器的输出信号m(t)与输入信号(t)之间关系为由上式可求得PID控制器的传递函数为(7-13)(7-14)ttKTKtKtmtd)(dd)()()(dp0ippsTsTKsEsMsGcdip11)()()(第7章 PID控制图7-11 PID控制器方框图第7章 PID控制当Kp=1时，其传递函数为频率特性为对应的Bode图如图7-12所示。(7-15)(7-16)sTsTsGcdi11)(dijj11)j(TTGc第7章 PID控制图7-12 PID控制器的Bode图第7章 PID控制由图7-12
13、可以看出，PID控制器的控制作用主要有以下几点：（1）比例控制器决定控制作用的强弱，加大比例系数Kp可以减小系统的稳态误差，提高系统动态响应速度，但过分加大比例系数Kp会使系统的动态性能变差，系统的稳定裕度变小，甚至使系统变的不稳定。（2）加入积分控制器可以削除或减小系统的稳态误差，但它会使系统的动态过程变慢，响应快速性变差，而且过强的积分作用可使系统的超调量增大，从而导致系统的稳定性变坏。第7章 PID控制（3）微分控制器的作用和偏差的变化速度有关，它能够预测偏差，产生超前校正作用，有助于减小超调量，使系统趋于稳定，并能加快系统的响应速度，减小调整时间，但它会放大噪声信号。因此，只有合理地选
14、择PID控制器的参数，才可以在提高系统的稳态性能的同时，又提高系统的动态性能。对于PID控制规律，其有源网络如图7-13所示。根据复阻抗概念，有sCRZsCRsCRZ222111111,11第7章 PID控制其传递函数为式中显然，上式符合PID校正律，所以图7-13所示网络为PID校正环节。sTsTKsZsZsUsUsGcdip12io11)()()()()(22112211d2211i212211p,CRCRCRCRTCRCRTCRCRCRK第7章 PID控制图7-13 PID校正环节第7章 PID控制7.2 PID控制器的设计控制器的设计一、一、最优模型最优模型工程上常常采用的两种典型最优
15、模型是二阶系统最优模型和高阶系统最优模型。1.二阶系统最优模型二阶系统最优模型二阶系统最优模型的Bode图如图7-14所示,其开环传递函数为(7-17)1()(KTssKsG第7章 PID控制图7-14 二阶系统最优模型的Bode图第7章 PID控制闭环传递函数为式中，为无阻尼固有频率；，为阻尼比。(7-18)2nn22n2B2)(ssKsTsKsGTKnKT21第7章 PID控制2.高阶系统最优模型高阶系统最优模型高阶系统最优模型的Bode图如图7-15所示。若规定开环对数幅频特性+3015 dB到的范围称为中频段，则可以将开环对数幅频特性分成三个区域，小于1的区域称为低频段；14之间的区域
16、称为中频段；大于4的区域称为高频段。第7章 PID控制这三个区域各有其特点：低频段主要反映系统的稳态性能，其增益要选得足够大，以保证稳态精度的要求；中频段主要反映系统的动态性能，中频段一般应以20 dB/dec的斜率穿越0 dB线，并保持一定的宽度以保证合适的相位裕度和幅值裕度，从而使系统得到良好的动态性能；高频段主要反映系统抑制噪声的能力及小参数的影响，高频段的增益要尽可能小，以便使系统的噪声影响降低到最小程度。第7章 PID控制图7-15 高阶系统最优模型的Bode图第7章 PID控制由于动态性能主要反映在中频段的形状上，因此在初步设计时，可以取c=3/2；中频段宽度取（712）2；穿越0
17、 dB线的斜率为20 dB/dec直线频段，称为中间频段，用h来表示，其大小为h=3/2；与中间频段两侧相毗邻的直线斜率为40 dB/dec。第7章 PID控制二、二、设计举例设计举例例7-3 设单位反馈系统的开环传递函数为给定的性能指标为：系统速度误差系数Kv40 s1，幅值穿越频率c50 rad/s，相位裕度50。试确定有源串联校正装置Gc(s)的参数。)110887.5)(115.0()(3KsssKsG第7章 PID控制解解：校正前系统为 型系统，所以有K=Kv，按设计要求Kv40，所以取K=Kv=40。作出校正前系统的Bode图如图7-16所示。由图可得系统的剪切频率为c=16 ra
18、d/s，相位裕度为17.2，均小于设计要求，因此需要进行系统校正。本例选择串联PD校正，并选二阶最优模型为希望的校正后系统频率特性。已知PD校正环节的传递函数为Gc(s)=Kp(1+Tds)第7章 PID控制图7-16 PD校正系统的Bode图第7章 PID控制为了使得校正后的系统开环Bode图为希望的二阶最优模型，可设法消去未校正系统的一个极点。为此取Td=0.15，即Gc(s)=Kp(1+0.15s)故)110887.5(56 )110887.5)(115.0()1()()(33dpsssssKsTKsGsGc第7章 PID控制校正后系统的开环频率特性如图7-16所示。校正后系统的剪切频率
19、为=56 rad/s，速度误差系数Kv=KKp=5640，相位裕度为所以采用上述PD校正后，系统的动态性能和稳态性能均满足给定要求。c78.71)10887.5arctan(90180c3第7章 PID控制7.3 PID控制器的调整法则控制器的调整法则一、一、PID控制器的调整控制器的调整若能够推导出控制对象的数学模型，则可以采用各种不同的设计方法，确定控制器的参数，以满足闭环系统的瞬态和稳态性能指标。但是在工程实际中，控制对象往往是很复杂的，在多数情况下其数学模型不能够得到。因此，PID控制器设计的各种解析方法就无法适用了。这时，只能借助于实验的方法来设计PID控制器。第7章 PID控制为了
20、满足给定的性能指标，选择控制器参数（设置Kp、Ti、Td的值）的过程通常称为控制器调整。齐格勒和尼柯尔斯提出了调整PID控制器的齐格勒尼柯尔斯法则，该法则是在实验阶跃响应的基础上，或者是在仅采用比例控制作用的条件下，根据临界稳定性中的Kp值建立起来的。当不知道控制对象的数学模型时，采用齐格勒尼柯尔斯法则进行控制器调整很方便，当然这一法则也可以应用到已知对象数学模型时的系统中。第7章 PID控制但是应当注意的是，齐格勒尼柯尔斯法则给出的是参数值的一种合理的估值，而不是在一次尝试中给出Kp、Ti、Td的最终设置。要兼顾系统的稳定性、准确性和快速性，必须进行进一步的精细调节，直到获得满意的结果。实际
21、上，齐格勒尼柯尔斯调节法已经提供了进行精细调节的初值。第7章 PID控制二、二、齐格勒齐格勒尼柯尔斯法则尼柯尔斯法则根据给定对象的瞬态响应特性，齐格勒和尼柯尔斯提出了两种确定比例增益Kp、积分时间Ti和微分时间Td的法则，称为齐格勒尼柯尔斯第一和第二法则。这种确定PID控制器参数，或调整PID控制器的方法，允许工程技术人员在实验现场对控制对象进行实时调节。第7章 PID控制1 第一法则第一法则如果控制对象中既不包括积分环节，又不包括主导共轭复数极点，则这时系统的单位阶跃响应曲线看起来像一条S形曲线，如图7-9所示。这种阶跃响应曲线可以通过实验产生，也可以通过控制对象的动态仿真得到。如果响应曲线
22、不呈现为S形，则不能应用此方法。S形曲线可以用延迟时间L和时间常数T描述。通过S形曲线的转折点作切线，与时间轴t和直线xi(t)=K的交点，就可以求得延迟时间L和时间常数T，如图7-17所示。齐格勒和尼柯尔斯提出用表7-1中的公式确定Kp、Ti和Td的值。第7章 PID控制图7-17 系统S形响应曲线第7章 PID控制表7-1 基于控制对象阶跃响应的齐格勒尼柯尔斯法则第7章 PID控制2 第二法则第二法则假设Ti=，Td=0，只给系统施加比例控制，并令Kp从0逐步增加到临界值Kcr。这里的临界值Kcr是使系统的输出首次呈现持续振荡的增益值。如果不论怎样选取Kp的值，系统的输出都不会呈现持续振荡
23、，则不能应用这种方法。显然，临界增益Kcr和相应的周期Pcr可以通过实验确定，如图7-18所示。齐格勒和尼柯尔斯提出了参数Kp、Ti和Td值的确定法则，如表7-2所示。第7章 PID控制图7-18 系统的持续振荡第7章 PID控制表7-2 基于临界增益和临界周期的齐格勒尼柯尔斯法则第7章 PID控制按照齐格勒尼柯尔斯第二法则调整PID控制器，将给出下列公式：所以PID控制器有一个位于原点的极点和一对位于的零点。sPsPKsPsPKsTsTKsCc2crcrcrcrcrcrdip4075.0125.05.0116.0111)(cr4Ps 第7章 PID控制例例7-4 如图7-19所示的PID控制
24、系统，控制前系统开环传递函数为，PID控制器的传递函数为，试调整参数Kp、Ti和Td的值，使得系统的最大超调量小于25%。解解：因为控制对象具有一个积分环节，所以采用齐格勒尼柯尔斯第二法则调整PID控制器参数。设Ti=，Td=0，得到如下闭环传递函数：)5)(1(1)(kssssGsTsTKsGcdip11)(ppB)5)(1()(KsssKsG第7章 PID控制图7-19 PID控制系统第7章 PID控制利用劳斯稳定判据，求出使系统产生持续振荡，即达到临界稳定状态时的Kp值。由上式写出闭环系统的特征方程为s3+6s2+5s+Kp=0列出劳斯表为p0p1p230630641KsKsKss第7章
25、 PID控制根据劳斯稳定性判据可知，当Kp=30时，系统处于临界稳定，即系统发生持续振荡的临界增益为Kcr=30。此时系统的特征方程为s3+6s2+5s+30=0第7章 PID控制将s=j代入上式，并整理得到6(52)+j(52)=0所以系统持续振荡时的频率为2=5，即，持续振荡的周期为 根据表7-2，可知参数Kp、Ti和Td的值为Kp=0.6Kcr=18，Ti=0.5Pcr=1.405，Td=0.125Pcr=0.35124581.2522crP第7章 PID控制因此，PID控制器的传递函数为加入PID控制环节后系统的闭环传递函数为sssssTsTKsCc2dip)4235.1(3223.6
26、 35124.0405.11118 11)(811.12183223.116811.1218322.6)(2342sssssssG第7章 PID控制现在来分析该系统在单位阶跃输入下的响应，为此编写如下MATLAB程序：num=0 0 6.3223 18 12.811den=1 6 11.3223 18 12.811step(num，den)grid以上程序得到的单位阶跃响应曲线如图7-20的实线所示。由图可以看出，单位阶跃响应曲线的最大超调量约为62，显然不符合给定的设计要求，因此还应该在此基础上精确地调整PID控制器的参数。经过不断调整，若PID控制环节传递函数取第7章 PID控制则此时加入
27、PID控制环节后,系统的闭环传递函数为此时系统的单位阶跃响应曲线如图7-20中虚线所示。由图可以看出，单位阶跃响应曲线的最大超调量约为25，符合给定的设计要求，所以最后参数Kp、Ti和Td的调整值定为Kp=39.42,Ti=3.077,Td=0.7692sssssGc2)65.0(322.307692.0077.31142.39)(811.124186.39322.356811.124186.39322.30)(2342BsssssssG第7章 PID控制图7-20 单位阶跃响应曲线第7章 PID控制7.4 PID控制方案的修正控制方案的修正基本PID控制系统如图7-21所示，图中系统考虑了扰
28、动的作用，图7-22为该系统的等效方框图。在图7-22所示的基本PID控制系统中，如果输入信号为阶跃信号，则由于在PID控制环节中存在微分项Tds，因此在操作变量u(t)中将包含一个脉冲函数（函数）。在实际的PID控制器，微分项Tds一般用下式表示:dd1TsT第7章 PID控制式中,的值约为0.1，因此当输入信号为阶跃信号时，操作变量u(t)虽不包含脉冲函数，但却包含一个尖脉动函数。这种现象称为定点冲击。第7章 PID控制图7-21 PID控制系统第7章 PID控制图7-22 PID控制系统等效方框图第7章 PID控制通过图7-22可以知道，操作信号U(s)可以表示为系统在输入作用下的闭环传
29、递函数为 系统在扰动作用下的闭环传递函数为)()(11)(idipsBsXsTsTKsUsTsTsGKsGKsTsTsXsXsGdippdiioB11)(1)(11)()()(sTsTsGKsGsNsXsGNdipo11)(1)()()()(第7章 PID控制一、一、PID控制控制为了避免定点冲击现象的发生，必须对上述PID控制系统作出修正。将导数项Tds安排在反馈回路中，这样就不会对输入的阶跃信号进行微分作用，从而不会使系统产生定点冲击。按照这一思路构成的控制方案如图7-23所示，称其为PID控制。通过图7-23容易发现，PID控制的操作信号U(s)可以表示为)(11)(11)(dipiip
30、sBsTsTKsXsTKsU第7章 PID控制系统在输入作用下的闭环传递函数为系统在扰动作用下的闭环传递函数为 显然，系统在扰动作用下的闭环传递函数GN(s)与基本PID控制系统是一样的。sTsTsGKsGKsTsXsXsGdippiioB11)(1)(11)()()(sTsTsGKsGsNsXsGNdipo11)(1)()()()(第7章 PID控制图7-23 PID控制系统第7章 PID控制二、二、IPD控制控制通过PID控制可以避免定点冲击，但是如果输入信号为阶跃信号，则虽然操作变量u(t)中不包含脉冲函数，但仍然包含有阶跃信号。在实际控制系统中，这个阶跃信号有时候是不希望的，因此将比例
31、控制作用和微分控制作用同时移到反馈回路中，使它们只作用于反馈信号，这种控制方案称为IPD控制，如图7-24所示。第7章 PID控制图7-24 IPD控制系统第7章 PID控制由图7-24可知，IPD控制的操作信号U(s)可以表示为系统在输入作用下的闭环传递函数为)(11)()(dipiipsBsTsTKsXsTKsUsTsTsGKsGKsTsXsXsGdippiioB11)(1)(1)()()(第7章 PID控制系统在扰动作用下的闭环传递函数为 显然，无论是基本PID控制，还是修正的PID控制和IPD控制系统，在扰动作用下的闭环传递函数GN(s)都是一样的。sTsTsGKsGsNsXsGNdi
32、po11)(1)()()()(第7章 PID控制习题习题7.1 简要叙述PI控制器、PD控制器和PID控制器及其动态特性。7.2 已知PID控制器如图7-25所示，设系统增益K1，试求其传递函数。7.3 试比较PID控制系统和IPD控制系统扰动输入量和参考输入量的响应有何异同。7.4 图7-26（a）所示为一个IPD控制系统，图7-26(b)所示为一个带输入滤波器的PID控制系统，试证明这两个系统是等效的。)()(iosXsX第7章 PID控制图7-25 题7.2图第7章 PID控制图7-26 题7.4图第7章 PID控制7.5 试证明图7-27（b）中所示的带前馈控制的IPD控制系统与（a）所示的PID控制系统是等效的。7.6 已知系统的开环传递函数为试设计PID校正装置，使得系统的速度误差系数Kv10s1，相位裕度50，且剪切频率c4 s1。)11.0)(15.0()(KsssKsG第7章 PID控制图7-27 题7.5图
