1、第一章第一章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何 1.11.1 空间向量及其运算空间向量及其运算 1.1.11.1.1 空间向量及其线性运算空间向量及其线性运算 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解空间向量的概念(难点) 2.掌握空间向量的线性运算 (重 点) 3.掌握共线向量定理、共面向量 定理及推论的应用(重点、难 点) 1.通过空间向量有关概念的学习， 培养学生的数学抽象核心素养. 2.借助向量的线性运算、共线向量 及共面向量的学习， 提升学生的直 观想象和逻辑推理的核心素养. 情情 景景 导导 学学 探探 新新 知知 国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观
2、 赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图 1，游客的实际位移是什 么？可以用什么数学概念来表示这个过程？ 图 1 图 2 如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图 2，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？ 1空间向量 (1)定义：在空间，具有_和_的量叫做空间向量 (2)长度或模：空间向量的_ (3)表示方法： 几何表示法：空间向量用_表示； 字母表示法：用字母 a，b，c，表示；若向量 a 的起点是 A， 终点是 B，也可记作：_，其模记为_或_. 大小 方向 大小 有向线段 AB |a| |AB | 2几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 _ _ _
3、 单位向量 任意 _ 相反向量 _ 相等 a 的相反向量：_ AB 的相反向量：_ 相等向量 相同 _ ab 任意 0 0 1 相反 a BA 相等 3.空间向量的线性运算 (1)向量的加法、减法 加法 OB _ab 空间向量的 运算 减法 CA _ab 加法运算律 交换律：ab_ 结合律：(ab)c_ OA OC OA OC ba a(bc) (2)空间向量的数乘运算 定义：实数 与空间向量 a 的乘积_仍然是一个_，称为 向量的数乘运算 当 0 时，a 与向量 a 方向_； 当 0 时，a 与向量 a 方向_； 当 0 时，a_；a 的长度是 a 的长度的_倍 a 向量 相同 相反 0 |
4、 运算律 a结合律：(a)_. b分配律：()a_，(ab)_. (a) ()a ab aa 思考：向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？ 提示 没有关系 4.共线向量 (1) 定 义 ： 表 示 若 干 空 间 向 量 的 有 向 线 段 所 在 的 直 线 _，则这些向量叫做_或平行向量 (2)方向向量：在直线 l 上取非零向量 a，与向量 a_的非零向 量称为直线 l 的方向向量 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量 a，都有 0a. 互相平行或重合 共线向量 平行 (3)共线向量定理：对于空间任意两个向量 a，b(b0)，ab 的 充要条件是存在实数 使_. (4)如图，O 是直
5、线 l 上一点，在直线 l 上取非零向量 a，则对于 直线 l 上任意一点 P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知， 存在实数 ，使得OP a. ab 5共面向量 (1)定义：平行于_的向量叫做共面向量 (2)共面向量定理：若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a， b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使_. (3)空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件： 存在有序实数对(x， y), 使AP _或对空间任意一点 O，有OP _. 同一个平面 px ay b xAB yAC OA xAB yAC 思考：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？ (2)若空间
6、任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，满足OP 1 3OA 1 3OB 1 3OC ，则点 P 与点 A，B，C 是否共面？ 提示 (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内， 成 为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量 (2)由OP 1 3OA 1 3OB 1 3OC 得OP OA 1 3(OB OA )1 3(OC OA ) 即AP 1 3AB 1 3AC ，因此点 P 与点 A，B，C 共面 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)空间向量 a，b，c，若 ab，bc，则 ac ( ) (2)相等向量一定是共线向量 ( ) (3)三个空间向量一定是共面向量 ( )
7、(4)零向量没有方向 ( ) 提示 (1) 若 b0 时，a 与 c 不一定平行 (2) 相等向量一定共线，但共线不一定相等 (3) 空间两个向量一定是共面向量，但三个空间向量可能是 共面的，也可以是不共面的 (4) 零向量有方向，它的方向是任意的 2如图所示，在四棱柱 ABCD- A1B1C1D1所有的棱中，可作为直 线 A1B1的方向向量的有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 D 共四条 AB，A1B1，CD，C1D1. 3点 C 在线段 AB 上，且|AB|5，|BC|3，AB BC ，则 _. 5 3 因为 C 在线段 AB 上，所以AB 与BC 方向相反，又因|AB| 5
8、，|BC|3，故 5 3. 4在三棱锥 A- BCD 中，若BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB 1 2BC 3 2DE AD 化简的结果为_ 0 延长DE交边BC于 点F，连接AF，则有 AB 1 2 BC AF ，3 2DE AD AD DF AF ，故AB 1 2 BC 3 2 DE AD 0. 合合 作作 探探 究究 释释 疑疑 难难 空间向量的有关概念 【例 1】 (1)给出下列命题： 若|a|b|，则 ab 或 ab； 若向量 a 是向量 b 的相反向量，则|a|b|； 在正方体 ABCD- A1B1C1D1中，AC A1C1 ； 若空间向量 m，n，p 满足 mn，np，则
9、mp. 其中正确命题的序号是_ (2)如图所示，在平行六面体 ABCD- ABCD中，顶点连接的向量 中，与向量AA 相等的向量有_；与向量AB 相反的向量有 _(要求写出所有适合条件的向量) (1) (2)BB ，CC ，DD BA ，BA ，CD ，CD (1)对于 ，向量 a 与 b 的方向不一定相同或相反，故错； 对于，根据相反向量的定义知|a|b|，故正确； 对于，根据相等向量的定义知，AC A1C1 ，故正确； 对于，根据相等向量的定义知正确 (2)根据相等向量的定义知，与向量AA 相等的向量有BB ，CC ， DD .与向量AB 相反的向量有BA ，BA ，CD ，CD . 解答
10、空间向量有关概念问题的关键点及注意点 (1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向 (2)注意点：注意一些特殊向量的特性 零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向 量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性 单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1. 两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相 等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等,方向相反, 则它们为相反向量. 跟进训练 1下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是( ) 长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； 平行且模相等的两个向量是相等向量； 若 ab，则|a|b|； 两个向量相等，则它们
11、的起点与终点相同 A0 B1 C2 D3 B 根据向量的定义， 知长度相等、 方向相同的两个向量是相等 向量，正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是 相反向量，不正确；当 ab 时，也有|a|b|，不正确；只要 模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无 关，不正确综上可知只有正确，故选 B. 空间向量的线性运算 【例 2】 (1)如图所示，在正方体 ABCD- A1B1C1D1中，下列各 式中运算结果为向量AC1 的有( ) (AB BC )CC1 ； (AA1 A1D1 )D1C1 ； (AB BB1 )B1C1 ； (AA1 A1B1 )B1C1 . A1
12、 个 B2 个 C3 个 D4 个 (2)已知正四棱锥 P- ABCD，O 是正方形 ABCD 的中心，Q 是 CD 的中点，求下列各式中 x，y，z 的值 OQ PQ yPC zPA ； PA xPO yPQ PD . 思路探究 (1)合理根据向量的三角形和平行四边形法则， 以及 在平行六面体中， 体对角线向量等于从同一起点出发的三条棱向量的 和如AC1 AB AD AA1 . (2)根据数乘向量及三角形或平行四边形法则求解 (1)D 对于，(AB BC )CC1 AC CC1 AC1 ； 对于，(AA1 A1D1 )D1C1 AD1 D1C1 AC1 ； 对于，(AB BB1 )B1C1
13、AB1 B1C1 AC1 ； 对于，(AA1 A1B1 )B1C1 AB1 B1C1 AC1 . (2)解 如图，OQ PQ PO PQ 1 2(PA PC ) PQ 1 2PC 1 2PA ， yz1 2. O 为 AC 的中点，Q 为 CD 的中点， PA PC 2PO ，PC PD 2PQ ， PA 2PO PC ，PC 2PQ PD ， PA 2PO 2PQ PD ，x2，y2. 1空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、 减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接 (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、 减法
14、运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向 量的自由平移获得运算结果 2利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三 角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量 (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质 跟进训练 2已知空间四边形 ABCD，连接 AC，BD，设 M，G 分别是 BC， CD 的中点，则MG AB AD 等于( ) A3 2DB B3MG C3GM D2MG B MG AB AD MG (AB AD )MG DB MG BD MG 2MG 3MG . 共线问题 【例 3】 (1)设 e1，e2
15、是空间两个不共线的向量，已知AB e1 ke2，BC 5e14e2，DC e12e2，且 A，B，D 三点共线，实数 k_. (2)如图所示，已知四边形 ABCD，ABEF 都是平行四边形且不共 面，M，N 分别是 AC，BF 的中点，判断CE 与MN 是否共线 思路探究 (1)根据向量共线的充要条件求解 (2)根据数乘向量及三角形法则，把MN 表示成 CE 的形式，再根 据向量共线的充要条件求解 (1)1 AD AB BC CD (e1ke2)(5e14e2)(e12e2) 7e1(k6)e2. 设AD AB ，则 7e1(k6)e2(e1ke2)， 所以 7 kk6 ，解得 k1. (2)
16、解 法一：因为 M，N 分别是 AC，BF 的中点，且四边形 ABCD， 四边形ABEF都是平行四边形， 所以MN MA AF FN 1 2CA AF 1 2FB . 又因为MN MC CE EB BN 1 2CA CE AF 1 2FB ， 以上 两式相加得CE 2MN ， 所以CE MN ，即CE 与MN 共线 法二：因为四边形 ABEF 为平行四边形，所以连接 AE 时，AE 必过点 N. CE AE AC 2AN 2AM 2(AN AM )2MN . 所以CE MN ，即CE 与MN 共线 证明空间三点共线的三种思路 对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线 (1)存在实
17、数，使PA PB 成立 (2)对空间任一点O，有OP OA tAB (tR) (3)对空间任一点O，有OP xOA yOB (xy1) 跟进训练 3.如图，在正方体ABCD- A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E 2ED1 ，F在对角线A1C上，且A1F 2 3FC . 求证：E，F，B三点共线 证明 设AB a，AD b，AA1 c， 因为A1E 2ED1 ，A1F 2 3FC ， 所以A1E 2 3A1D1 ，A1F 2 5A1C ， 所以A1E 2 3AD 2 3b， A1F 2 5(AC AA1 )2 5(AB AD AA1 )2 5a 2 5b 2 5c，所以EF A1F A
18、1E 2 5a 4 15b 2 5c 2 5 a2 3bc . 又EB EA1 A1A AB 2 3bcaa 2 3bc， 所以EF 2 5EB ，所以E，F，B三点共线. 向量共面问题 探究问题 1什么样的向量算是共面向量？ 提示 能够平移到同一个平面内的向量称为共面向量 2能说明P，A，B，C四点共面的结论有哪些？ 提示 (1)存在有序实数对(x，y)，使得AP xAB yAC . (2)空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在有序实数组(x， y，z)使得OP xOA yOB zOC (其中xyz1) (3)四点中任意两点的方向向量与另外两点的方向向量共线，如 PA BC . 3已知向量
19、a，b，c不共面，且p3a2bc，mabc， nabc，试判断p，m，n是否共面 提示 设pxmyn，即3a2bcx(abc) y(abc)(xy)a(xy)b(xy)c. 因为a，b，c不共面，所以 xy3， xy2， xy1， 而此方程组无解，所以p不能用m，n表示， 即p，m，n不共面 【例4】 已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若 点M满足OM 1 3OA 1 3OB 1 3OC . (1)判断MA ，MB ，MC 三个向量是否共面； (2)判断M是否在平面ABC内 思路探究 (1)根据向量共面的充要条件，即判断是否 MA xMB yMC ；(2)根据(1)的结论，也可以
20、利用OM xOA yOB zOC 中xyz是否等于1. 解 (1)OA OB OC 3OM ， OA OM (OM OB )(OM OC )， MA BM CM MB MC ， 向量MA ，MB ，MC 共面 (2)由(1)知向量MA ，MB ，MC 共面，而它们有共同的起点M，且 A，B，C三点不共线，M，A，B，C共面，即M在平面ABC内 1变条件若把本例中条件“OM 1 3 OA 1 3 OB 1 3 OC ”改为 “OA 2OB 6OP 3OC ”，点P是否与点A、B、C共面 解 3OP 3OC OA 2OB 3OP (OA OP )(2OB 2OP )， 3CP PA 2PB ，即P
21、A 2PB 3PC . 根据共面向量定理的推论知：点P与点A，B，C共面 2变条件若把本例条件变成“OP OC 4OA OB ”，点P 是否与点A、B、C共面 解 设OP OA xAB yAC (x，yR)，则 OA xAB yAC OC 4OA OB ， OA x(OB OA )y(OC OA )OC 4OA OB ， (1xy4)OA (1x)OB (1y)OC 0， 由题意知OA ，OB ，OC 均为非零向量，所以x，y满足： 1xy40， 1x0， 1y0， 显然此方程组无解，故点P与点A，B，C不 共面 3变解法上面两个母题探究，还可以用什么方法判断？ 解 (1)由题意知，OP 1
22、6OA 1 3OB 1 2OC. 1 6 1 3 1 21，点P与点A、B、C共面 (2)OP 4OA OB OC ，而41121. 点P与点A、B、C不共面 解决向量共面的策略 1若已知点P在平面ABC内，则有AP xAB yAC 或OP xOA yOB zOC xyz1，然后利用指定向量表示出已知向量，用待 定系数法求出参数. 2证明三个向量共面或四点共面，需利用共面向量定理，证 明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两 个向量来表示. 课课 堂堂 小小 结结 提提 素素 养养 1一些特殊向量的特性 (1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的 (2)单位向量方向虽然不
23、一定相同，但它们的长度都是1. (3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相 等，则它们不仅模相等，方向也相同若两个向量模相等，方向相 反，则它们为相反向量 2.OP OA xAB yAC 称为空间平面ABC的向量表达式由此 可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定 3证明(或判断)A，B，C三点共线时，只需证明存在实数，使 AB BC (或AB AC )即可，也可用“对空间任意一点O，有OC tOA (1t)OB ”来证明A，B，C三点共线 4空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对 (x，y)，使 MP x MA y MB ，满足这个关系式的点都在平面
24、MAB 内；反之，平面MAB内的任一点都满足这个关系式这个充要条件 常用于证明四点共面 5直线的方向向量是指与直线平行或共线的非零向量，一条直 线的方向向量有无穷多个，它们的方向相同或相反 6向量p与向量a，b共面的充要条件是在a与b不共线的前提下 才成立的，若a与b共线，则不成立 1下列条件中使M与A，B，C一定 共面的是( ) AOM 2OA OB OC BOM 1 5OA 1 3OB 1 2OC CMA MB MC 0 DOM OA OB OC 0 C 由 MA MB MC 0得 MA MB MC ，故M，A，B，C共 面 2已知正方体ABCD- A1B1C1D1，若点F是侧面CD1的中
25、心，且 AF AD mAB nAA1 ，则m，n的值分别为( ) A1 2， 1 2 B1 2， 1 2 C1 2， 1 2 D1 2， 1 2 A 由于AF AD DF AD 1 2 (DC DD1 )AD 1 2 AB 1 2 AA1 ，所以m1 2，n 1 2，故答案为A. 3化简： 1 2 (a2b3c)5 2 3a 1 2b 2 3c 3(a2bc) _. 5 6a 9 2 b 7 6 c 原式 1 2 ab 3 2 c 10 3 a 5 2b 10 3 c3a6b3c 1 2 10 3 3 a 15 26 b 3 2 10 3 3 c5 6a 9 2b 7 6c. 4给出下列四个命
26、题： 方向相反的两个向量是相反向量； 若a，b满足|a|b|且a，b同向，则ab； 不相等的两个空间向量的模必不相等； 对于任何向量a，b，必有|ab|a|b|. 其中正确命题的序号为_ 对于，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故 错；对于，向量是不能比较大小的，故不正确；对于，不相 等的两个空间向量的模也可以相等，故错；只有正确 5设两非零向量 e1，e2不共线，且 ke1e2与 e1ke2共线，求 k 的值 解 两非零向量e1，e2不共线，且ke1e2与e1ke2共线， ke1e2t(e1ke2)，则(kt)e1(1tk)e20. 非零向量e1，e2不共线，kt0,1kt0，解得k 1. 点击右图进入点击右图进入 课课 时时 分分 层层 作作 业业 Thank you for watching !
