1、第一章第一章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何 1.11.1 空间向量及其运算空间向量及其运算 1.1.21.1.2 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握空间向量夹角的概念及 表示方法. 2.掌握空间向量的数量积的定 义、性质、运算律及计算方 法(重点) 3.掌握投影向量的概念(重点) 4.能用向量的数量积解决立体 几何问题(难点) 1.通过学习空间向量的数量积运 算，培养学生数学运算的核心素养. 2.借助投影向量概念的学习，培养 学生直观想象和逻辑推理的核心素 养. 3.借助利用空间向量数量积证明垂 直关系、求夹角和距离运算，提升 学生的逻辑
2、推理和数学运算核心素 养. 情情 景景 导导 学学 探探 新新 知知 已知两个非零向量a与b，在空间任取一点O，作OA a，OB b，则AOB叫做向量a与b的夹角 如果a与b的夹角为90 ，则称a与b垂直，记作ab. 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，把a b|a|b|cos 叫 做a与b的数量积(或内积) 类比探究一下：两个空间向量的夹角以及它们的数量积能否像 平面向量那样来定义呢？ 1空间向量的夹角 (1)夹角的定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA a，OB b，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作_ a，b (2)夹角的范围 空间任意两个向量的夹角的取值范围是0，特别
3、地，当 0时，两向量同向共线；当_时，两向量反向共线，所以若 ab，则a，b0或；当a，b 2时，两向量_，记作 _. 垂直 ab 2空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则_叫做a，b 的数量积，记作a b.即a b_ 规定：零向量与任何向量的数量积为_. (2)常用结论(a，b为非零向量) ab_. a a_. cosa，b_. 0 |a|b|cosa，b |a|b|cosa，b a b0 |a|a|cosa，a |a|2 a b |a|b| (3)数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (a) b_a _ 交换律 a b_ 分配律 a (bc)_ (a b) (b) b
4、 a a ba c 思考：(1)若a b0，则一定有ab吗？ (2)若a b0，则a，b一定是锐角吗？ 提示 (1)若a b0，则不一定有ab，也可能a0或b0. (2)当a，b0时，也有a b0，故当a b0时，a b不一 定是锐角 3投影向量 (1)投影向量 在空间，向量a向向量b投影，可以先将它们平移到同一个平面 内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c ，则向量c称为向量a在向量b上的投影向量，同理 向量b在向量a上的投影向量是 . |b|cosa，b a |a| |a|cosa，b b |b| (2)向量a在平面上的投影向量 向量a向平面投影，就是分别由向量a的起点
5、A和终点B作平面 的垂线，垂足分别为A，B，得到向量AB ，则_称为向量a 在平面上的投影向量这时，_的夹角就是向量a所 在直线与平面所成的角 向量a，AB 向量AB 提醒 (1)两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是 正数、负数或零； (2)向量数量积的运算不满足消去律、作商和乘法的结合律 ， 即a ba cbc，a bkbk a，(a b) ca (b c)都不成立 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)对于非零向量a，b，a，b与a，b相等 ( ) (2)对于任意向量a，b，c，都有(a b)ca(b c) ( ) (3)若a bb c，且b0，则ac ( ) (4)(3
6、a2b) (3a2b)9|a|24|b|2 ( ) 提示 (1) (2) (3) (4) 2(教材P8练习T1改编)在正三棱柱ABC- A1B1C1中，若AB BB1，则AB1与BC1所成角的余弦值为( ) A3 8 B 1 4 C 3 4 D 1 8 B 令底面边长为1，则高也为1，AB1 AB BB1 ，BC1 BC CC1 ，AB1 BC1 (AB BB1 ) (BC CC1 )AB BC BB1 CC1 11cos 120 121 2， 又|AB1 |BC1 | 2. cosAB1，BC1 1 2 2 2 1 4.故选B. 3已知a3p2q，bpq，p和q是相互垂直的单位向量，则 a
7、b( ) A1 B2 C3 D4 A 由题意知，p q0，p2q21. 所以a b(3p2q) (pq)3p2p q2q2321. 4设ab，a，c 3 ，b，c 6 ，且|a|1，|b|2，|c| 3，则向量abc的模是_ 176 3 因为|abc|2(abc)2 |a|2|b|2|c|22(a ba cb c) 1492 0131 223 3 2 176 3， 所以|abc| 176 3. 合合 作作 探探 究究 释释 疑疑 难难 空间向量数量积的运算 【例1】 (1)如图，三棱锥A- BCD中，ABACAD2， BAD90 ，BAC60 ，则AB CD 等于( ) A2 B2 C2 3
8、D2 3 (2)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA1， OB2，OC3，G为ABC的重心，求OG (OA OB OC )的值 (1)A CD AD AC ，AB CD AB (AD AC )AB AD AB AC 022cos 60 2. (2)解 OG OA AG OA 1 3(AB AC ) OA 1 3(OB OA )(OC OA ) 1 3OB 1 3OC 1 3OA . OG (OA OB OC ) 1 3OB 1 3OC 1 3OA (OA OB OC ) 1 3OB 21 3OC 21 3OA 2 1 32 21 33 21 31 214 3 . 在几何体中求
9、空间向量的数量积的步骤 1首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. 2利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向 量的数量积. 3根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模. 4代入公式a b|a|b|cosa，b求解. 跟进训练 1在长方体ABCD- A1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E为侧 面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点，求下列向量的数量积： (1)BC ED1 ；(2)BF AB1 . 解 如图，设 AB a， AD b， AA1 c，则|a|c|2，|b| 4，a bb cc a0. (1)BC ED1 BC (EA1 A1D1 )b 1 2(ca
10、)b|b| 24216. (2)BF AB1 (BA1 A1F ) (AB AA1 )ca1 2b (ac)|c| 2|a|2 22220. 利用数量积证明空间垂直关系 【例2】 已知空间四边形OABC中，AOBBOC AOC，且OAOBOC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的 中点，求证：OGBC. 思路探究 首先把向量OG 和BC 均用OA 、OB 、OC 表示出来， 通过证明OG BC 0来证得OGBC. 证明 连接ON，设AOBBOCAOC， 又设OA a，OB b，OC c， 则|a|b|c|. 又OG 1 2(OM ON ) 1 2 1 2OA 1 2OB OC 1 4(ab
11、c)，BC cb. OG BC 1 4(abc) (cb) 1 4(a ca bb cb 2c2b c) 1 4(|a| 2 cos |a|2 cos |a|2|a|2)0. OG BC ，即OGBC. 用向量法证明垂直关系的步骤 1把几何问题转化为向量问题； 2用已知向量表示所证向量； 3结合数量积公式和运算律证明数量积为0； 4将向量问题回归到几何问题. 跟进训练 2.如图，四棱锥P- ABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB 60 ，AB2AD，PD底面ABCD.证明：PABD. 证明 由底面ABCD为平行四边形，DAB60 ，AB2AD 知，DABD，则BD DA 0. 由PD底面
12、ABCD知，PDBD，则BD PD 0. 又PA PD DA ，PA BD (PD DA ) BD PD BD DA BD 0，即PABD. 夹角问题 【例3】 (1)已知abc0，|a|2，|b|3，|c|4，则向量a 与b之间的夹角a，b为( ) A30 B45 C60 D以上都不对 (2)如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC 5，OAC45 ，OAB60 ，求异面直线OA与BC的夹角的余 弦值 思路探究 (1)根据题意，构造ABC，使AB c，AC b，BC a，根据ABC三边之长，利用余弦定理求出向量a与b之间的夹角 即可 (2)求异面直线OA与BC所成的角，首先
13、来求OA 与BC 的夹角，但 要注意异面直线所成角的范围是 0， 2 ，而向量夹角的取值范围为 0，注意角度的转化 (1)D abc0，|a|2，|b|3，|c|4， 以这三个向量首尾相连组成ABC； 令AB c，AC b，BC a，则ABC三边之长分别为BC2， CA3，AB4； 由余弦定理，得：cosBCABC 2CA2AB2 2BC CA 2 23242 223 1 4， 又向量BC 和CA 是首尾相连， 这两个向量的夹角是180 BCA， cosa，b1 4， 即向量a与b之间的夹角a，b不是特殊角 (2)解 BC AC AB ，OA BC OA AC OA AB |OA | |AC
14、| cosOA ，AC |OA | |AB | cosOA ，AB 84cos 135 86cos 120 2416 2. cosOA ，BC OA BC |OA | |BC | 2416 2 85 32 2 5 ，异面直 线OA与BC的夹角的余弦值为32 2 5 . 利用向量数量积求夹角问题的思路 (1)求两个向量的夹角有两种方法：结合图形，平移向量，利 用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围；先求 a b，再利用公式cosa，b a b |a|b| 求出cosa，b的值，最后确 定a，b的值 (2)求两条异面直线所成的角，步骤如下： 根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直
15、线的方向 向量)； 将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题； 利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小； 异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹 角的余弦值时应将余弦值加上绝对值，从而求出异面直线所成的角 的大小 跟进训练 3.如图，在正方体ABCD- A1B1C1D1中，求BC1 与AC 夹角的大小 解 不妨设正方体的棱长为1，则BC1 AC (BC CC1 ) (AB BC ) (AD AA1 ) (AB AD ) AD AB AD 2AA 1 AB AA1 AD 0AD2 00AD2 1， 又|BC1 | 2，|AC | 2， cosBC1 ，AC BC1 AC |BC1
16、|AC | 1 2 2 1 2. BC1 ，AC 0，BC1 ，AC 3. 即BC1 与AC 夹角的大小为 3. 距离问题 探究问题 1用数量积解决的距离问题一般有哪几种？ 提示 线段长度即点点距、点线距、点面距 2求模的大小常用哪些公式？ 提示 由公式|a| a a可以推广为|a b| a b2 a2 2a bb2. 3.如图，已知线段AB平面，BC，CDBC，DF平面 ，且DCF30 ，D与A在平面的同侧，若ABBCCD2，试 求A，D两点间的距离 提示 AD AB BC CD ，|AD |2(AB BC CD )2|AB |2|BC |2|CD |22AB BC 2AB CD2BC CD
17、 122(2 2 cos 90 2 2 cos 120 2 2 cos 90 )8， |AD |2 2，即A，D两点间的距离为2 2. 【例4】 如图所示，在平行四边形ABCD中，ABAC1， ACD90 ，沿着它的对角线AC将ACD折起，使AB与CD成60 角，求此时B，D间的距离 思路探究 BD BA AC CD |BD |2 注意对BA ，CD 的讨论，再求出 B，D 间距离 解 ACD90 ，AC CD0，同理可得AC BA 0.AB 与CD成60 角，BA ，CD 60 或BA ，CD 120 .又BD BA AC CD ，|BD |2|BA |2|AC |2|CD |22BA AC
18、 2BA CD 2AC CD 3211cosBA ，CD 当BA ，CD 60 时，|BD |24，此时B，D间的距离为2； 当BA ，CD 120 时，|BD |22，此时B，D间的距离为 2. 求两点间的距离或线段长的方法 (1)将相应线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模 (2)因为a a|a|2，所以|a| a a，这是利用向量解决距离问题的 基本公式另外，该公式还可以推广为|a b| a b2 a2 2a bb2. (3)可用|a e|a|cos |(e为单位向量，为a，e的夹角)来求一个 向量在另一个向量所在直线上的投影 跟进训练 4.如图所示，在平面角为120 的二面角-
19、AB- 中，AC，BD ，且ACAB，BDAB，垂足分别为A，B.已知ACABBD 6，求线段CD的长 解 ACAB，BDAB，CA AB 0，BD AB 0. 二面角- AB- 的平面角为120 ，CA ，BD 180 120 60 . CD 2(CA AB BD )2CA 2AB2BD22CA AB 2CA BD 2BD AB 362262cos 60 144，CD12. 课课 堂堂 小小 结结 提提 素素 养养 1空间两向量的数量积与平面向量的数量积类似，由于数量积 不满足结合律，因此在进行数量积运算时，一次、二次式与实数运 算相同，运算公式也相同，三次及以上必须按式中的运算顺序依次 进
20、行运算 2空间向量数量积运算的两种方法 (1)利用定义：利用a b|a|b|cosa，b并结合运算律进行计 算 (2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一 顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算 3在几何体中求空间向量数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式 (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向 量的数量积 (3)代入a b|a|b|cosa，b求解 4空间向量中求两向量夹角与平面向量中的求法完全相同，都 是应用公式cosa，b a b |a| |b| ，解题的关键就是求a b和|a|、|b|.求 模时注意|a|2a a
21、的应用 1.如图，空间四边形 ABCD 的每条边 和对角线的长都等于 1，E，F，G 分别是 AB，AD，DC 的中点，则FG AB ( ) A 3 4 B1 4 C 1 2 D 3 2 B 由题意可得FG 1 2 AC ， FG AB 1 2 11cos 60 1 4. 2已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|b|1，a b 1 2，则两直线的夹角为( ) A30 B60 C120 D150 B 设向量a，b的夹角为，则cos a b |a|b| 1 2 ，所以 120 ，则两个方向向量对应的直线的夹角为180 120 60 . 3在空间四边形ABCD中， AB CD BC AD C
22、A BD _. 0 原式AB CD BC AD CA (AD AB ) AB (CD CA )AD (BC CA ) AB AD AD BA 0. 4.如图所示，在一个直二面角- AB- 的棱上有两点A，B，AC， BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，且AB4，AC 6，BD8，则CD的长为_ 2 29 CD CA AB BD AB AC BD ， CD 2(AB AC BD )2 AB 2AC2BD22AB AC 2AB BD 2AC BD 163664116， |CD |2 29. 5.如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于 a，点M，N分别是边AB，CD的中点
23、 (1)求证：MN为AB和CD的公垂线； (2)求MN的长； (3)求异面直线AN与MC所成角的余弦值 解 设AB p，AC q，AD r. 由题意，可知|p|q|r|a，且p，q，r三向量两两夹角均为 60 . (1)证明：MN AN AM 1 2(AC AD )1 2AB 1 2(qrp)， MN AB 1 2(qrp) p 1 2(q pr pp 2) 1 2(a 2 cos 60 a2 cos 60 a2)0 MNAB，同理可证MNCD. MN为AB与CD的公垂线 (2)由(1)可知MN 1 2(qrp)， |MN |2(MN )21 4(qrp) 21 4q 2r2p22(q rq
24、pr p) 1 4(a 2a2a22 a2 2 a 2 2 a 2 2 1 42a 2a 2 2 . |MN | 2 2 a， MN 的长度为 2 2 a. (3)设向量AN 与MC 的夹角为， AN 1 2(AC AD )1 2(qr)，MC AC AM q1 2p， AN MC 1 2(qr) q1 2p 1 2 q21 2q pr q 1 2r p 1 2 a21 2a 2 cos 60 a2cos 60 1 2a 2 cos 60 1 2 a2a 2 4 a 2 2 a 2 4 a 2 2 . 又|AN |MC | 3 2 a， AN MC |AN | |MC | cos 3 2 a 3 2 a cos a 2 2 . cos 2 3. 向量AN 与MC 的夹角的余弦值为2 3. 从而异面直线AN与MC所成角的余弦值为2 3. 点击右图进入点击右图进入 课课 时时 分分 层层 作作 业业 Thank you for watching !
