1、第二章第二章 直线和圆的方程直线和圆的方程 2.22.2 直线的方程直线的方程 2.2.12.2.1 直线直线的点斜式方程的点斜式方程 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解直线方程的点斜式的推导过 程(难点) 2.掌握直线方程的点斜式并会应用(重 点) 3.掌握直线方程的斜截式， 了解截距的概 念(重点、易错点) 通过对直线的点斜式 方程的学习，培养逻 辑推理、数学运算的 数学素养. 情情 景景 导导 学学 探探 新新 知知 斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足若以桥面所在直 线为 x 轴，桥塔所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可 看成过桥塔上同一点的直线 已知某一斜拉索
2、过桥塔上一点 B，那么该斜拉索位置确定吗？ 1直线的点斜式方程和斜截式方程 点斜式 斜截式 已知条件 点 P(x0，y0)和斜率 k 斜率 k 和直线在 y 轴上的截距_ 图示 b 点斜式 斜截式 方程形式 yy0_ _ 适用条件 斜率存在 k(xx0) ykxb 思考：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？ 提示 不能有斜率的直线才能写成点斜式方程，凡是垂直于 x 轴的直线，其方程都不能用点斜式表示 2直线在 y 轴上的截距 定义：直线 l 与 y 轴的交点(0，b)的_. 符号：可正，可负，也可为零 纵坐标b 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)直线的点斜式方程能表示
3、平面上的所有直线 ( ) (2)yy 0 xx0k 与 yy0k(xx0)都是直线的点斜式方程 ( ) (3)直线的纵截距是直线与 y 轴交点的纵坐标 ( ) 提示 (1) (2) (3) 2 直线l的点斜式方程是y23(x1)， 则直线l的斜率是( ) A2 B1 C3 D3 C 由直线的点斜式方程可知直线 l 的斜率是 3. 3直线 x a2 y b21 在 y 轴上的截距是( ) A|b| Bb2 Cb2 D b B 令 x0，则 yb2. 4过点(2,1)且与直线 y3x1 平行的直线的点斜式方程为 _ y13(x2) y3x1 的斜率为 3，所求直线的斜率为 3， 即所求直线方程的点
4、斜式方程为 y13(x2) 合合 作作 探探 究究 释释 疑疑 难难 直线的点斜式方程 【例 1】 (1)一条直线经过点(2,5)，倾斜角为 45 ，则这条直线 的点斜式方程为_ (2)经过点(5,2)且平行于 y 轴的直线方程为_ (1)y5x2 (2)x5 (1)因为倾斜角为 45 ， 所以斜率 ktan 45 1， 所以直线的点斜式方程为 y5x2. (2)因为直线平行于 y 轴，所以直线不存在斜率，所以方程为 x 5. 求直线的点斜式方程的步骤 提醒：斜率不存在时，过点 P(x0，y0)的直线与 x 轴垂直，直线上 所有点的横坐标相等，都为 x0，故直线方程为 xx0. 跟进训练 1分
5、别求出经过点 P(3,4)，且满足下列条件的直线方程，并画 出图形 (1)斜率 k2；(2)与 x 轴平行；(3)与 x 轴垂直 解 (1)由点斜式方程得 y42(x3) (2)与 x 轴平行时，k0， y40(x3)，即 y4. (3)与 x 轴垂直，斜率不存在，方程为 x3. 直线的斜截式方程 【例 2】 根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为 2，在 y 轴上的截距是 5； (2)倾斜角为 150 ，在 y 轴上的截距是2； (3)倾斜角为 60 ，与 y 轴的交点到坐标原点的距离为 3. 解 (1)由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为 y2x5. (2)因为倾斜角 150
6、，所以斜率 ktan 150 3 3 ，由斜截 式可得直线方程为 y 3 3 x2. (3)因为直线的倾斜角为 60 ， 所以斜率 ktan 60 3.因为直线 与 y 轴的交点到坐标原点的距离为 3， 所以直线在 y 轴上的截距 b3 或 b3，故所求直线的斜截式方程为 y 3x3 或 y 3x3. 求直线的斜截式方程 (1)先求参数 k 和 b，再写出斜截式方程 (2)斜率可以是已知的，也可以利用倾斜角来求出，还可以利用 平行、垂直关系求出斜率 (3)b 是直线在 y 轴上的截距，即直线与 y 轴交点的纵坐标，不是 交点到原点的距离 跟进训练 2 已知直线 l 的斜率为1 6， 且和两坐标
7、轴围成面积为 3 的三角形， 求 l 的斜截式方程 解 设直线方程为 y1 6xb，则 x0 时，yb； y0 时，x6b. 由已知可得1 2 |b| |6b|3， 即 6|b|26，b 1. 故所求直线方程为 y1 6x1 或 y 1 6x1. 斜截式在两直线平行与垂直中的应用 探究问题 1已知 l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，若 l1l2，应满足什么 条件？若 l1l2，应满足什么条件？ 提示 k1k2且 b1b2；k1 k21. 2一次函数的解析式与直线的斜截式方程 ykxb 有什么不 同？ 提示 一次函数的 x 的系数 k0，否则就不是一次函数，而斜 截式方程 ykxb 中的
8、k 可以是 0. 【例 3】 (1)当 a 为何值时，直线 l1：yx2a 与直线 l2：y (a22)x2 平行？ (2)当 a 为何值时，直线 l1：y(2a1)x3 与直线 l2：y4x3 垂直？ 思路探究 由直线的斜截式方程中 k、b 的几何意义及直线平 行、垂直的条件建立关于 a 的方程及不等式，求出 a 的值 解 (1)由题意可知，kl11，kl2a22，l1l2， a221， 2a2， 解得 a1. 故当 a1 时，直线 l1：yx2a 与直线 l2：y(a22)x2 平行 (2)由题意可知，kl12a1，kl24，l1l2，4(2a1)1， 解得 a3 8. 故当 a3 8时，
9、 直线 l1： y(2a1)x3 与直线 l2： y4x3 垂直 1变结论本例(1)中 l2恒过哪个定点？过该定点且与 l1平行的 直线方程是什么？ 解 在 y(a22)x2 中，当 x0 时，y2. 故直线 l2恒过定点(0,2) 当与 l1平行时，斜率 k1. 故过(0,2)且与 l1平行的直线方程为 yx2. 2变结论在例(2)中 a 为何值时，两直线平行？ 解 根据平行的条件知， 2a14 33 ，解得 a5 2. 即 a5 2时，l1l2. 已知两直线的斜截式方程，判定两直线平行与垂直 设直线 l1的方程为 yk1xb1，直线 l2的方程为 yk2xb2. (1)l1l2k1k2，且
10、 b1b2； (2)l1与 l2重合k1k2，且 b1b2； (3)l1l2k1 k21. 课课 堂堂 小小 结结 提提 素素 养养 1建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个 定点的连线的斜率相同，故有yy 1 xx1k，此式是不含点 P1(x1，y1)的两 条反向射线的方程，必须化为 yy1k(xx1)才是整条直线的方 程当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为 xx1. 2斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过点(0，b)、斜 率为 k 的直线 ybk(x0)，即 ykxb，其特征是方程等号的一 端只是一个 y，其系数是 1；等号的另一端是 x 的一次式，而不一定
11、 是 x 的一次函数(k0 时)如 yc 是直线的斜截式方程，而 2y3x 4 不是直线的斜截式方程 1倾斜角为 135 ，在 y 轴上的截距为1 的直线方程是( ) Axy10 Bxy10 Cxy10 Dxy10 D 135 的斜率 k1，所以方程为 yx1 即 xy1 0. 2已知直线的方程是 y2x1，则( ) A直线经过点(1,2)，斜率为1 B直线经过点(2，1)，斜率为1 C直线经过点(1，2)，斜率为1 D直线经过点(2，1)，斜率为 1 C 直线方程 y2x1 可化为 y(2)x(1)，故 直线经过点(1，2)，斜率为1. 3已知直线 l 过点 A(2,1)且与直线 y14x3
12、 垂直，则直线 l 的方程为_ y11 4(x2) 由条件可知 kl 1 4，方程为 y1 1 4(x 2) 4 无论 k 取何值时， 直线 ykx2k3 所过的定点是_ (2，3) 直线方程能化成点斜式方程：y3k(x2)， 所以过定点(2，3) 5直线 l1过点 P(1,2)，斜率为 3 3 ，把 l1绕点 P 按顺时针方 向旋转 30 角得直线 l2，求直线 l1和 l2的方程 解 直线 l1的方程是 y2 3 3 (x1)， 即 3x3y6 30. k1 3 3 tan 1， 1150 . 如图，l1绕点 P 按顺时针方向旋转 30 ，得到直线 l2的倾斜角为 2150 30 120 ，k2tan 120 3， l2的方程为 y2 3(x1)，即 3xy2 30. 点击右图进入点击右图进入 课课 时时 分分 层层 作作 业业 Thank you for watching !
