1、第三章第三章 圆锥曲线的方程圆锥曲线的方程 3.13.1 椭圆椭圆 3.1.13.1.1 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方 程(重点) 2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆 的标准方程(重点) 3.理解椭圆标准方程的推导过程，并 能运用标准方程解决相关问题(难 点) 1.通过椭圆标准方程及椭圆 焦点三角形的有关问题的学 习，培养学生的数学运算素 养. 2.借助轨迹方程的学习，培 养学生的逻辑推理及直观想 象的核心素养. 情情 景景 导导 学学 探探 新新 知知 2008 年 9 月 25 日 21 时 10 分， “神舟七号”载人
2、飞船顺利升空， 实现多人飞行和出舱活动，标志着我国航天事业又上了一个新台 阶请问，“神舟七号”飞船的运行轨道是什么？ 下面请你固定两个图钉， 拉一根无弹性的细绳， 两端系在图钉上 (如图)，用铅笔抵住细绳并上下左右转动，看铅笔留的轨迹是否是椭 圆？ 1椭圆的定义 把平面内与两个定点 F1， F2的距离的和等于_的 点的轨迹叫做椭圆，这_叫做椭圆的焦点，_ 叫做椭圆的焦距，焦距的_称为半焦距 常数(大于|F1F2|) 两个定点 两焦点间的距离 一半 思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常 数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ (2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”
3、改为“小于|F1F2|”的常数，其他 条件不变，动点的轨迹是什么？ 提示 (1)点的轨迹是线段 F1F2. (2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在 2椭圆的标准方程 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 标准方程 y2 a2 x2 b21(ab0) 焦点 (c,0)与(c,0) _与_ a，b，c 的关 系 c2_ x2 a2 y2 b21(ab0) (0，c) (0，c) a2b2 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆 ( ) (2)已知椭圆的焦点是 F1，F2，P 是椭圆上的一动点，如果延长 F1P 到 Q，使得|PQ|
4、PF2|，则动点 Q 的轨迹为圆 ( ) (3)方程x 2 a2 y2 b21(a0，b0)表示的曲线是椭圆 ( ) 提示 (1) (2) (3) 2设 P 是椭圆 x2 25 y2 161 上的点，若 F1，F2 是椭圆的两个焦点， 则|PF1|PF2|等于( ) A4 B5 C8 D10 D 由椭圆方程知 a225，则 a5，|PF1|PF2|2a10. 3椭圆的两个焦点坐标分别为 F1(0，8)，F2(0,8)，且椭圆上 一点到两个焦点的距离之和为 20，则此椭圆的标准方程为( ) A x2 100 y2 361 B y2 400 x2 3361 C y2 100 x2 361 D y2
5、 20 x2 121 C 由条件知，焦点在 y 轴上，且 a10，c8， 所以 b2a2c236， 所以椭圆的标准方程为 y2 100 x2 361. 4 方程x 2 a2 y2 a61 表示焦点在 x 轴上的椭圆， 则实数 a 的取值 范围是_ (6，2)(3，) 由 a2a60 得 a3 或6a 2. 合合 作作 探探 究究 释释 疑疑 难难 求椭圆的标准方程 【例 1】 求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为 F1(4,0)， F2(4,0)， 并且椭圆上一点 P 与两焦点的距离的和等于 10； (2)焦点坐标分别为(0，2)，(0,2)，经过点(4,3 2)； (
6、3)经过两点(2， 2)， 1， 14 2 . 解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上， 且 c4,2a10，所以 a5， b a2c2 25163，所以椭圆的标准方程为 x2 25 y2 9 1. (2)因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2 a2 x2 b2 1(ab0) 法 一 ： 由 椭 圆 的 定 义 知2a 4023 222 4023 22212， 解得 a6.又 c2， 所以 b a2c24 2. 所以椭圆的标准方程为 y2 36 x2 321. 法二：因为所求椭圆过点(4,3 2)，所以18 a2 16 b2 1. 又 c2a2b24，可解得 a236，b232
7、. 所以椭圆的标准方程为 y2 36 x2 321. (3)法一：若焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab 0)由已知条件得 4 a2 2 b21， 1 a2 14 4b21， 解得 a28， b24. 所以所求椭圆的标准方程为x 2 8 y 2 4 1. 若焦点在 y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2 a2 x2 b21(ab0) 由已知条件得 4 b2 2 a21， 1 b2 14 4a21， 解得 b28， a24. 则 a2b2，与 ab0 矛盾，舍去 综上可知，所求椭圆的标准方程为x 2 8 y 2 4 1. 法二： 设椭圆的一般方程为 Ax2By21(A
8、0， B0， AB) 分 别将两点的坐标(2， 2)， 1， 14 2 代入椭圆的一般方程，得 4A2B1， A14 4 B1， 解得 A1 8， B1 4， 所以所求椭圆的标准方程为x 2 8 y 2 4 1. 用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤 (1)定位置： 根据条件判断椭圆的焦点是在 x 轴上， 还是在 y 轴上， 还是两个坐标轴都有可能 (2)设方程：根据上述判断设方程 x2 a2 y2 b21(ab0)或 x2 b2 y2 a2 1(ab0)或整式形式 mx2ny21(m0，n0，mn) (3)找关系：根据已知条件建立关于 a，b，c(或 m，n)的方程组 (4)得方程：解方程组
9、，将解代入所设方程，写出标准形式即为 所求 跟进训练 1求与椭圆 x2 25 y2 9 1 有相同焦点，且过点(3， 15)的椭圆的标 准方程 解 法一：因为所求椭圆与椭圆 x2 25 y2 9 1 的焦点相同，所以 其焦点在 x 轴上，且 c225916. 设所求椭圆的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0) 因为 c216，且 c2a2b2，故 a2b216 . 又点(3， 15)在所求椭圆上，所以3 2 a2 152 b2 1， 即 9 a2 15 b2 1 . 由得 a236，b220， 所以所求椭圆的标准方程为 x2 36 y2 201. 法二：由题意可设所求椭圆的标准方程为
10、x2 25 y2 91. 又椭圆过点(3， 15)， 将 x3， y 15代入方程得 9 25 15 9 1，解得 11 或 21(舍去) 故所求椭圆的标准方程为 x2 36 y2 201. 椭圆中的焦点三角形 【例 2】 (1)已知椭圆 x2 16 y2 121 的左焦点是 F1，右焦点是 F2，点 P 在椭圆上，如果线段 PF1的中点在 y 轴上，那么|PF1|PF2|( ) A35 B34 C53 D43 (2)已知椭圆x 2 4 y 2 3 1 中，点 P 是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的 焦点，且PF1F2120 ，则PF1F2的面积为_ 思路探究 (1)借助 PF1的中点在 y 轴
11、上，且 O 为 F1F2的中点， 所以 PF2x 轴，再用定义和勾股定理解决 (2)利用椭圆的定义和余弦定理，建立关于|PF1|，|PF2|的方程，通 过解方程求解 (1)C (2)3 3 5 (1)依题意知，线段 PF1的中点在 y 轴上，又 原点为 F1F2的中点，易得 y 轴PF2，所以 PF2x 轴，则有|PF1|2 |PF2|24c216，又根据椭圆定义知|PF1|PF2|8，所以|PF1|PF2| 2， 从而|PF1|5，|PF2|3，即|PF1|PF2|53. (2)由x 2 4 y 2 3 1，可知 a2，b 3，所以 c a2b21，从而 |F1F2|2c2. 在 PF1F2
12、中 ， 由 余 弦 定 理 得 |PF2|2 |PF1|2 |F1F2|2 2|PF1|F1F2|cosPF1F2，即|PF2|2|PF1|242|PF1|. 由椭圆定义得|PF1|PF2|2a4. 由联立可得|PF1|6 5. 所以 SPF1F21 2|PF1|F1F2|sinPF1F2 1 2 6 52 3 2 3 3 5 . 椭圆定义在焦点三角形中的应用技巧 (1)椭圆的定义具有双向作用， 即若|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)， 则点 M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点 M 到两焦点的距离之 和必为 2a. (2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|，|PF2|看作一个整体
13、，运用 |PF1|2 |PF2|2 (|PF1| |PF2|)2 2|PF1| |PF2| 及 余 弦 定 理 求 出 |PF1| |PF2|，而无需单独求解 1本例(2)中，把“PF1F2120 ”改为“PF1F290 ”，求 F1PF2的面积 解 由椭圆方程x 2 4 y 2 3 1， 知 a2， c1， 由椭圆定义， 得|PF1| |PF2|2a4，且|F1F2|2，在PF1F2中，PF1F290 . |PF2|2|PF1|2|F1F2|2. 从而(4|PF1|)2|PF1|24， 则|PF1|3 2， 因此 SPF 1F2 1 2 |F1F2| |PF1| 3 2. 故所求PF1F2的
14、面积为3 2. 2 本例(2)中方程改为x 2 a2 y2 b21(ab0)， 且“PF1F2120 ” 改为“F1PF2120 ”，若PF1F2的面积为 3，求 b 的值 解 由 F1PF2 120， PF1F2的 面 积 为3 ， 可 得 1 2 |PF1|PF2| sinF1PF2 3 4 |PF1| |PF2| 3，|PF1|PF2|4.根据椭圆 的定义可得|PF1|PF2|2a.再利用余弦定理可得 4c2|PF1|2|PF2|2 2|PF1|PF2|cos 120 (|PF1|PF2|)2|PF1| |PF2|4a24， b21，即 b1. 与椭圆有关的轨迹问题 探究问题 1用定义法
15、求椭圆的方程应注意什么？ 提示 用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目 条件转化为到两定点的距离之和为定值， 然后判断椭圆的中心是否在原 点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义确定椭圆的基本量 a，b，c. 2利用代入法求轨迹方程的步骤是什么？ 提示 (1)设点：设所求轨迹上动点坐标为 M(x，y)，已知曲线 上动点坐标为 P(x1，y1) (2)求关系式：用点 M 的坐标表示出点 P 的坐标，即得关系式 x1gx，y， y1hx，y. (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的 方程，并把所得方程化简即可 【例 3】 (1)已知 P 是椭圆x 2 4 y 2 8 1
16、上一动点，O 为坐标原点， 则线段 OP 中点 Q 的轨迹方程为_ (2)如图所示， 圆 C： (x1)2y225 及点 A(1,0)， Q 为圆上一点， AQ 的垂直平分线交 CQ 于点 M，求点 M 的轨迹方程 思路探究 (1)点 Q 为 OP 的中点点 Q 与点 P 的坐标关系 代入法求解 (2)由垂直平分线的性质和椭圆的定义进行求解 (1)x2y 2 2 1 设 Q(x，y)，P(x0，y0)，由点 Q 是线段 OP 的中点 知 x02x，y02y， 又x 2 0 4 y 2 0 8 1， 所以2x 2 4 2y 2 8 1， 即 x2y 2 2 1. (2)解 由垂直平分线的性质可知
17、|MQ|MA|， |CM|MA|CM|MQ|CQ|， |CM|MA|5. 点 M 的轨迹为椭圆，其中 2a5，焦点为 C(1,0)，A(1,0)， a5 2，c1 ，b 2a2c225 4 121 4 . 所求点 M 的轨迹方程为 x2 25 4 y2 21 4 1，即4x 2 25 4y 2 21 1. 1与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法 和代入法，本例(1)所用方法为代入法，例(2)所用方法为定义法 2对定义法求轨迹方程的认识 如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义， 则可以利 用这种已知曲线的定义直接写出其方程， 这种求轨迹方程的方法称为 定义法定义法在我们后
18、续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用， 是一种重要的解题方法 3代入法(相关点法) 若所求轨迹上的动点 P(x，y)与另一个已知曲线 C：F(x，y)0 上的动点 Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点 Q 的坐标用点 P 的坐 标表示出来，然后代入已知曲线 C 的方程 F(x，y)0，化简即得所 求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法) 跟进训练 2已知 x 轴上一定点 A(1,0)，Q 为椭圆x 2 4 y21 上任一点，求 线段 AQ 中点 M 的轨迹方程 解 设中点 M 的坐标为(x，y)，点 Q 的坐标为(x0，y0) 利用中点坐标公式， 得 xx 01 2 ，
19、yy0 2 ， x02x1， y02y. Q(x0，y0)在椭圆x 2 4 y21 上，x 2 0 4 y2 01. 将 x02x1，y02y 代入上式， 得2x1 2 4 (2y)21. 故所求 AQ 的中点 M 的轨迹方程是 x1 2 2 4y21. 课课 堂堂 小小 结结 提提 素素 养养 1平面内到两定点 F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|MF2| 2a，当 2a|F1F2|时，轨迹是椭圆；当 2a|F1F2|时，轨迹是一条线 段 F1F2；当 2a|F1F2|时，轨迹不存在 2由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标，或求参数的值(或取值 范围) (1)求椭圆的焦点坐标时，若方程不为标
20、准方程，应先将其化为 标准方程，确定 a2，b2的值和焦点所在的坐标轴，再利用关系式 a2 b2c2求出 c，即可写出焦点坐标 (2)已知方程求参数的值(或取值范围)时，需注意：对于方程x 2 m y2 n 1，当 mn0 时，方程表示焦点在 x 轴上的椭圆；当 nm0 时，方程表示焦点在 y 轴上的椭圆特别地，当 nm0 时，方程 表示圆心在原点的圆若已知方程不是标准方程，需先进行转化 3 椭圆上的点 P 与两焦点 F1， F2构成的三角形叫做焦点三角形， 在焦点三角形中，令F1PF2，如图 (1)当点 P 与 B1或 B2重合时，F1PF2最大 (2)焦点PF1F2的周长为 2(ac) (
21、3)|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos . (4)SPF1F21 2|PF1|PF2|sin ，且当 P 与 B1 或 B2重合时，面积最 大 4求与椭圆有关的轨迹方程的方法一般有：定义法、直接法和 代入法(相关点法) 1 椭圆 x2 25y 21 上一点 P 到一个焦点的距离为 2， 则点 P 到另 一个焦点的距离为( ) A5 B6 C7 D8 D 根据椭圆的定义知，P 到另一个焦点的距离为 2a225 28. 2已知椭圆 4x2ky24 的一个焦点坐标是(0,1)，则实数 k 的值 是( ) A1 B2 C3 D4 B 椭圆方程可化为 x2y 2 4 k 1
22、，由题意知 4 k1， 4 k11， 解得 k 2. 3若方程x 2 m y2 2m11 表示椭圆，则实数 m 满足的条件是 _ m m1 2且m1 由 方 程 x2 m y2 2m1 1表 示 椭 圆 ， 得 m0， 2m10， m2m1， 解得 m1 2且 m1. 4 椭圆的两焦点为 F1(4,0)， F2(4,0)， 点 P 在椭圆上， 若PF1F2 的面积最大为 12，则椭圆方程为_ x2 25 y2 9 1 如图，当 P 在 y 轴上时PF1F2的面积最大， 1 28b12，b3. 又c4，a2b2c225. 椭圆的标准方程为 x2 25 y2 9 1. 5设 F1，F2分别是椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点， 设椭圆 C 上一点 3， 3 2 到两焦点 F1， F2的距离和等于 4， 写出椭圆 C 的方程和焦点坐标 解 椭圆上一点到两焦点的距离之和为 4， 2a4，a24， 点 3， 3 2 是椭圆上的一点， 3 2 4 3 2 2 b2 1，b23，c21， 椭圆 C 的方程为x 2 4 y 2 3 1. 焦点坐标分别为(1,0)，(1,0) 点击右图进入点击右图进入 课课 时时 分分 层层 作作 业业 Thank you for watching !
