1、公众号：上海 maths做上海学生身边给力的辅助！ ！ C1 D1 B1 A1 C A B D E 20212021 届高三一模暨春考数学模拟试卷届高三一模暨春考数学模拟试卷六六 2020.10.5 一、填空题：一、填空题： 1、已知数列 n a的前n项和为21 n n S ，则此数列的通项公式为_ 2、函数 1f xx的反函数是_ 3、 6 12x的展开式中 3 x项的系数为_ （用数字作答） 4、如右图，已知正方体 1111 ABCDABC D， 1 2AA ，E为棱 1 CC的 中点，则三棱锥 1 DADE的体积为_ 5、一个袋子中共有 6 个球，其中 4 个红色球，2 个蓝色球. 这些
2、球的质地和形状一样，从中 任意抽取 2 个球，则所抽的球都是红色球的概率是_. 6、已知直线l：0 xyb被圆 C： 22 25xy所截得的弦长为 6，则b _. 7、若复数(1)(2)aii在复平面上所对应的点在直线yx上，则实数a _. 8、函数( )( 3sincos )( 3cossin )f xxxxx的最小正周期为_. 9、若函数 2 21yaxax 存在零点，则实数a的取值范围是_ 10、已知数列 n a中， 11 1,(1)1 nn anana ，若对于任意的 2,2a 、 * nN，不 等式 1 32 1 t n a a n 恒成立，则实数t的取值范围为_ 11、若 axax
3、xf3，且1 , 0 x上的值域为 1, 0 f，则实数a的取值范围 是_； 12、设函数 0, 0 6 sin AxAxf ，2 , 0 x，若 xf恰有 4 个零点，则 下列结论中： 若 xfxf 0 恒成立，则 0 x的值有且仅有 2 个； xf在 19 8 , 0 上单调递增； 存在和 1 x，使得 2 11 xfxfxf对任意2 , 0 x恒成立； 公众号：上海 maths做上海学生身边给力的辅助！ ！ “1A”是“方程 2 1 xf在2 , 0内恰有五个解”的必要条件. 所有正确结论的编号是_； 二、选择题：二、选择题： 13.“1,2m”是“ln1m ”的成立的（） A. 充分非
4、必要条件B. 必要非充分条件 C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 14. 设集合 | 1Axxa，1, 3, Bb，若AB，则对应的实数对( , )a b有（） A. 1 对B. 2 对C. 3 对D. 4 对 15设 n a是等差数列，下列命题中正确的是() （A）若 12 0aa，则 23 0aa（B）若 13 0aa，则 12 0aa （C）若 12 0aa，则 213 aa a（D）若 1 0a ，则 2123 0aaaa 16元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买 2 只玫瑰与 1 只康乃馨所需费用之和大于 8 元， 而购买 4 只玫瑰与 5 只康乃馨所需费用之和小于 22 元；
5、 设购买 2 只玫瑰花所需费 用为A元，购买 3 只康乃馨所需费用为B元，则A、B的大小关系是() （A）AB（B）AB （C）AB（D）A、B的大小关系不确定 三、解答题：三、解答题： 17、在长方体ABCD 1111 ABC D中（如图） ，1 1 AAAD，2AB=，点E是棱AB的 中点 （1）求异面直线 1 AD与EC所成角的大小； （2） 九章算术中，将四个面都是直角三角形的 四面体称为鳖臑. 试问四面体 1 DCDE是否为 鳖臑？并说明理由. A B C D E A1 B1 C1 D1 公众号：上海 maths做上海学生身边给力的辅助！ ！ 河流 A B 20km 河流 A B 污
6、水处理厂污水处理厂 x 18、已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，过 2 F的一条直线交椭 圆于P、Q两点，若 12 PFF的周长为44 2，且长轴长与短轴长之比为2 :1. （1）求椭圆C的方程； （2）若 12 FPF QPQ ，求直线PQ的方程. 19、如图所示，沿河有 A、B 两城镇，它们相距20千米以前，两城 镇的污水直接排入河里，现为保护环境，污水需经处理才能排放两 城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污水处理厂（在两城镇之间 或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送）依 据经验公式，建厂的费用为 0.7 ( )
7、25f mm（万元），m表示污水流 量；铺设管道的费用（包括管道费）( )3.2g xx（万元） ，x表示输 送污水管道的长度（千米） 已知城镇 A 和城镇 B 的污水流量分别为 1 3m 、 2 5m ，A、 B两城镇连接污水处理厂的管道总长为20千米假定：经管道 输送的污水流量不发生改变，污水经处理后直接排入河中 请解答下列问题（结果精确到0.1） ： （1）若在城镇 A 和城镇 B 单独建厂，共需多少总费用？ （2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇 A 到拟建厂的距离 为x千米，求联合建厂的总费用y与x的函数关系式，并求y的 取值范围 公众号：上海 maths做上海学生身边给力的辅助！
8、 ！ 20、已知函数)(xfy ,若存在实数m、k（0m） ，使得对于定义域内的任意 实数x，均有)()()(kxfkxfxfm成立，则称函数)(xf为“可平衡”函 数，有序数对km,称为函数)(xf的“平衡”数对. （1）若1m，判断xxfsin)(是否为“可平衡”函数，并说明理由； （2）若aR，0a，当a变化时，求证： 2 )(xxf与 x axg2)(的“平衡” 数对相同； （3）若 1 m、 2 m R，且 2 , 1 m、 4 , 2 m均为函数xxf 2 cos)(的“平衡”数 对.当 4 0 x时，求 2 2 2 1 mm的取值范围. 21. 数列 n a与 n b满足： 1
9、aa， 1nnn baa ， n S是数列 n a的前n项和（ * nN）. （1）设数列 n b是首项和公比都为 1 3 的等比数列，且数列 n a也是等比数列，求a的值； （2）设 1 21 n nn bb ，若3a 且 4n aa对 * nN恒成立，求 2 a的取值范围； （3） 设4a ，2 n b ， 2 2 n n n S C （ * nN，2 ） ， 若存在整数k、l， 且1kl， 使得 kl CC成立，求的所有可能值. 公众号：上海 maths做上海学生身边给力的辅助！ ！ 参考答案： 一、填空题： 1 1 2n n a ； 2 2 1 1(1)fxxx ； 3160； 4 4
10、 3 ；5、 2 5 ；6、4 2； 7、3；8、；9、 3 0, 3 ；10、, 1 ；11、 4 1 , 0；12、； 二、选择题： 13、A；14、D；15、C；16、A； 三、解答题： 17、 解： （1） 作CEEA/交CD于 E ， 因为 1 1ADAADE， 所以 1 2AED E， 故EAD 1 为正三角形，异面直线 1 AD与EC所成角为606 分 （2）E是棱AB上的中点，则ADE、CBE均为等腰直角三角形， 故90DEC，所以DEC为直角三角形.9 分 由 1 DD 平面ABCD，DECE，知CE 平面 1 DD E，故 1 CED E，所以ECD1 为直角三角形13 分
11、 而显然 1 DD E、 1 DDC均为直角三角形，故四面体 1 DCDE四个面均为直角三角形， 为鳖臑. 14 分 18、解： （1）由条件知：2244 2ac， :2 :1a b 222 cba 解得：2 2,2,2abc，4 分 所以椭圆C的方程为 22 1 84 xy 6 分 （2）设直线 2 PF的方程为：2,xty 1122 ( ,),(,)P x yQ xy； 因为 1212 FPF QFOOPF OOQOPOQ ， 所以OPOQPQ ，所以OPOQ,所以 1212 0 x xy y。9 分 22 1 84 2 xy xty 22 2440tyty 1212 22 44 , 22
12、 t yyy y tt 11 分 公众号：上海 maths做上海学生身边给力的辅助！ ！ 2 12121212 1240 x xy yty yt yy 解得： 2 12 , 22 tt 13 分 所以直线PQ的方程为22 20 xy14 分 19解 （1）分别单独建厂，共需总费用 0.70.7 1 253255131.1y 万元4 分 （2）联合建厂，共需总费用 0.7 25353.23.2 20yxx（020 x） 所以y与x的函数关系式为 0.7 25 83.220yxx（020 x）8 分 令 20h xxx（020 x） 2 2 202202021010020,40hxxxx10 分
13、0.70.7 121.525 83.22025 83.240127.4y y的取值范围为121.5,127.414 分 20、 【解】 （1）若1m，则xxfmsin)( kxkxkxfkxfsinsin)()(kxcossin2 要使得)(xf为“可平衡”函数，需使故0sincos21xk对于任意实数x均成 立，只有 2 1 cosk3 分，此时 3 2 nk，Zn，故k存在，所以 xxfsin)(是“可平衡”函数 （2） 2 )(xxf及 x axg2)(的定义域均为 R 根据题意可知，对于任意实数x， 22 22 2 22kxkxkxmx 即 222 22kxmx,即022 22 kxm
14、对于任意实数x恒成立 只有0, 2km，故函数 2 )(xxf的“平衡”数对为0 , 2 对于函数 x axg2)(而言， 公众号：上海 maths做上海学生身边给力的辅助！ ！ kkxkxkxx aaaam 2222222 所以 kkxx aam 22222 02222 mam kkx ， 02 22 ma m kk ， 即 2 2 m m ，故2m，只有0k，9 分， 所以函数 x axg2)(的“平衡”数对为0 , 2 综上可得函数 2 )(xxf与 x axg2)(的“平衡”数对相同 （3） 2 cos 2 coscos 222 1 xxxm，所以xxm 22 1 sin2cos 4
15、cos 4 coscos 222 2 xxxm，所以1cos2 2 xm 由于 4 0 x，所以1cos 2 1 2 x， 故xm 2 1 tan22 , 0,2 , 1sec2 2 xm 2 2 2 1 mm1tan2tan5tan4tan1 2 2 24 2 2 xxxx 5 4 5 1 tan5 2 2 x， 由于由于 4 0 x，所以1tan0 2 x时，时， 5 6 tan 5 1 5 1 2 x 832tan21 2 2 x，所以1 2 2 2 1 mm8 21.（1）由条件得 1 () 3 n n b ， * Nn，即 1 1 () 3 n nn aa ，1 分 则 21 1 3
16、 aa ， 2 32 11 () 39 aa ，设等比数列 n a的公比为q， 则 32 21 1 3 aa q aa ，又 1 (1) 3 a q ，则 1 4 a .3 分 当 1 4 a ， 1 3 q 时， 1 11 () 43 n n a ， * Nn， 则 11 1 111111111 ()()() () () 434334433 nnnn nn aa 满足题意， 公众号：上海 maths做上海学生身边给力的辅助！ ！ 故所求的a的值为 1 4 .4 分 （2）当2n 时， 1 1 21 n nn bb ， 2 12 21 n nn bb ， 21 2 1bb， 以上1n个式子相加
17、得， 123 1 2222(1) nnn n bbn ， 2 分 又 1212 3baaa，则 1 22 2(12) (1)324 12 n n n bnana ， 即 2 24 n n bna. 由 1 210 n nn bb 知数列 n b是递增数列，4 分 又 1nnn baa ，要使得 4n aa对 * Nn恒成立， 则只需 343 454 0 0 baa baa ，即 32 42 10 80 ba ba ，则 2 81a .6 分 （3） 由条件得数列 n a是以4为首项，2为公差的等差数列， 则42(1)22 n ann， 2 (422) 3 2 n nn Snn ， 则 2 23
18、2 22 n n nn Snn C .2 分 则 222 1 11 (1)3(1)23242 222 nn nnn nnnnnn CC ， 当3n 时， 22 4233428282 ( 2)40nn ， 即3n 时， 1nn CC ， 则当3kl 时， kl CC与 kl CC矛盾.4 分 又1l ，即2l 时， 2 325 22 k kk . 当5k 时， 22 5 3253 5220 2216 k kk ， 又 205207207 ( 2)3 0 16216168 ， 即当5k ，2l 时， 2 325 22 k kk ，与 2 325 22 k kk 矛盾. 又2kl ，则3k 或4， 公众号：上海 maths做上海学生身边给力的辅助！ ！ 当3k 时， 22 3 3233 325 222 k kk ，解得1 ； 当4k 时， 22 4 3243 425 222 k kk ，解得2 . 综上得的所有可能值为1和2.8 分
