1、 第 1 页 共 3 页 解题技巧专题：共顶点的等腰三角形解题技巧专题：共顶点的等腰三角形 形成精准思维模式，快速解题 类型一 共顶点的等腰直角三角形 1如图，已知 ABC 和 DBE 均为等腰直角三角形 (1)求证：ADCE； (2)猜想：AD 和 CE 是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不 用写理由 2如图，在 ABC 和 BCD 中，BACBCD90 ，ABAC，CBCD，延长 CA 至点 E，使 AEAC，延长 CB 至点 F，使 BFBC.连接 BD，AD，AF，DF，EF.延长 DB 交 EF 于点 N.求证： (1)AFAD； (2)EFBD. 第 2 页
2、共 3 页 类型二 共顶点的等边三角形 3如图， APB 与 CDP 是两个全等的等边三角形，且 PAPD，有下列四个结论： PBC15 ；ADBC；直线 PC 与 AB 垂直其中正确的有( ) A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 第 3 题图 第 4 题图 4如图，在 ABC 中，分别以 AC，BC 为边作等边三角形 ACD 和等边三角形 BCE， 连接 AE，BD，交于点 O，则AOB 的度数为_ 5如图，等边 ABC 中，D 是 AB 边上的动点，以 CD 为一边，向上作等边 EDC， 连接 AE. (1) DBC 和 EAC 全等吗？请说明理由； (2)试说明 AEBC 的理由；
3、(3)如图，将(1)中动点 D 运动到边 BA 的延长线上，其他条件不变，请问是否仍有 AEBC？证明你的猜想 第 3 页 共 3 页 参考答案与解析参考答案与解析 1(1)证明：ABC 和 DBE 均为等腰直角三角形，ABBC，BDBE，ABC DBE 90， ABC DBC DBE DBC ， 即 ABD CBE ， ABDCBE，ADCE. (2)解：垂直理由如下：延长 AD 分别交 BC 和 CE 于 G 和 F.由(1)知 ABDCBE， BADBCE.BADABCBGABCEAFCCGF180 ，BGA CGF，AFCABC90 ，ADCE. 2 证明： (1)ABAC， BAC9
4、0 ， ABCACB45 ， ABF180 ABC 135 ，ACDACBBCD135 ，ABFACD.CBCD，CBBF，BF CD，ABFACD(SAS)，AFAD. (2)由(1)知 ABFACD，AFAD，FABDAC.BACBADDAC 90 ，EABEAFFAB90 ，EAFBAD.AEAC，ABAC，AEAB， AEFABD(SAS)，EFBD. 3D 4 120 解析： 设 AC 与 BD 交于点 H.ACD， BCE 都是等边三角形， CDCA， CBCE，ACDBCE60 ，ACDACBBCEACB，即DCBACE， DCBACE， CDBCAE.DCHCHDBDC180
5、， AOHAHO CAE180 ，DHCOHA，AOHDCH60 ，AOB180 AOH 120 . 5 解： (1) DBC 和 EAC 全等 理由如下： ABC 和 EDC 都是等边三角形， AC BC， DCEC， ACB60 ， DCE60 ， BCD60 ACD， ACE60 ACD， BCDACE.在 DBC 和 EAC 中， BCAC， BCDACE， DCEC， DBCEAC(SAS) (2)由(1)知 DBCEAC，EACB60 .又ACB60 ，EACACB， AEBC. (3)仍有 AEBC.证明如下：ABC， EDC 为等边三角形，BCAC，DCCE， BCADCE60 ，BCAACDDCEACD，即BCDACE.在 DBC 和 EAC 中， BCAC， BCDACE， CDCE， DBCEAC(SAS)，EACB60 .又 ACB60 ，EACACB，AEBC.
