1、1 1第三章 简单优化模型3.1 森林救火模型森林救火模型3.2 血管分支模型血管分支模型3.3 最优价格模型最优价格模型3.4 存贮模型存贮模型3.5 生猪的出售时机模型生猪的出售时机模型2 2由于受全球气候变暖的影响，我国北方持续干旱少雨，森林火灾时常见诸报端.那么森林失火以后，如何去救火才能最大限度地减少损失，这是森林防火部门面临的一个现实问题.当然在接到报警后消防部门派出队员越多，灭火速度越快，森林损失越小，但同时救援开支会增大.所以需要综合考虑森林损失费和救援费与消防队员人数之间的关系，以总费用最小来确定派出队员的数目.3.1 森林救火模型森林救火模型3 3.问题分析问题分析森林救火
2、问题的总费用主要包括两个方面，即损失费和救援费.森林损失费一般与森林烧毁的面积成正比，而烧毁的面积又与失火、灭火、扑火的时间有关，灭火时间又取决于消防队员的数目，队员越多，灭火越快.因此救援费用不仅与消防队员人数有关，而且与灭火的时间长短有关.4 4设失火时刻为t0，开始救火时刻为tt1，火被扑灭的时刻为tt2，设t时刻森林烧毁面积为B(t)，则造成损失的森林烧毁面积为B(t2)；单位时间烧毁的面积为(这也表示了火势蔓延的程度).在消防队员到达之前，即0tt1期间，火势越来越大，从而随t的增加而增加；开始救火之后，即t1tt2期间，如果消防队员救火能力足够强，火势会越来越小，即应减少，并且当t
3、t2时，.dttdB)(dttdB)(dttdB)()0dB tdt=5 5救援费用包括两部分：一部分是灭火器材的消耗及消防队员的工资，这一项费用与队员的人数和所用时间有关，另一部分是运送队员和器材的费用，只与队员人数有关.6 62.模型假设模型假设(1)由于损失费与森林烧毁面积B(t2)成正比，设比例系数为C1(C1为烧毁单位面积的损失费，显然C10).(2)从火灾发生到开始救火期间，即0tt1，火势蔓延速度与时间t成正比，设比例系数为(称为火势蔓延的速度).(3)设派出消防队员x名，开始救火以后，即tt1，火势蔓延速度变为x，其中可称为每个队员的平均灭火速度，显然应有x.ttBd)(d7
4、7(4)设每个消防队员单位时间的费用为C2，于是每个队员的救火总费用为C2(t2t1)，每个队员的一次性支出为C3.附注：火势以失火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，所以蔓延半径r与时间t成正比，又因为烧毁面积B(t)与r2成正比，故B(t)与t2成正比，从而与t成正比.ttBd)(d8 83.模型建立和求解模型建立和求解根据假设条件(2)和(3)，火势蔓延程度 在0tt1期间线性增加，而在t1t0)ddIpddCp2828且每件产品的成本与产量无关，则利润为:U(p)(pq)(abp)用微分法可求出使U(p)最大的最优价格p*为(3.3.2)*22papb=+29292.模型结果分析模型
5、结果分析式(3.3.2)中参数a可理解为产品免费供应时的需求量，称为“绝对需求量”，为价格上涨一个单位时，销售量下降的幅度，同时也是价格下跌一个单位时销售量上升的幅度，它反映市场需求对价格的敏感程度.实际工作中a，b可由价格p和销售量x的统计数据用最小二乘法拟合来确定.式(3.3.2)还表明最优价格包括两部分：一部分为成本的一半，另一部分与“绝对需求量”成正比，与市场需求对价格的敏感系数成反比.ddxbp3030为了使生产和销售有条不紊地进行，一般的工商企业总需要存贮一定数量的原料或商品，然而大量库存不但积压了资金，而且会使仓库保管的费用增加.因此，寻求合理的库存量乃是现代企业管理的一个重要课
6、题.需要注意的是，存贮问题的原型可以是真正的仓库存货，水库存水，也可以是计算机的存贮器的设计问题，甚至是大脑的存贮问题.3.4 存贮模型存贮模型31 31衡量一个存贮策略优劣的直接标准是该策略所消耗的平均费用的多寡.这里的费用通常主要包括：存贮费、订货费(订购费和成本费)、缺货损失费和生产费(指货物为本单位生产，若是外购，则无此费用).由此可知，存贮问题的一般模型为：min订货费(或生产费)存贮费缺货损失费 下面我们讨论几个重要的存贮模型.32323.4.1 不允许缺货的订货销售模型不允许缺货的订货销售模型为了使问题简化，我们作如下假设：(1)由于不允许缺货，所以规定缺货损失费为无穷大.(2)
7、当库存量为零时，可立即得到补充.(3)需求是连续均匀的，且需求速度(单位时间的需求量)为常数.(4)每次订货量不变，订货费不变.(5)单位存贮费不变.3333假定每隔时间t补充一次存货，货物单价为k，订货费为C3，单位存储费为C1，需求速度为R.由于不允许缺货，所以订货费为Rt，从而成本费为kRt，总的订货费为C3kRt，平均订货费为.3CkRt3434又因为t时间内的平均存货量为，所以平均存储费为.于是，在时间t内，总的平均费用为.这样，问题就变成t取何值时，费用C(t)最小，即存贮模型为0112tR dRttt t=112C Rt311()2CC tkRC Rtt=+311min()2CC
8、 tkRC Rtt=+3535这是一个简单的无条件极值问题，很容易求得它的最优解为：即每个t*时间订货一次，可使平均订货费用C(t)最小.每次批量订货为：这就是存储论中著名的经济订购批量公式(Economic Ordering Quantity)，简称EOQ公式.*312CtRC=*312RCQRtC=3636例例1 某商店出售某种商品，每次采购该种商品的订购费为2040元，其存贮费为每年170元吨.顾客对该种商品的年需求量为1040吨，试求商店对该商品的最佳定货批量、每年订货次数及全年的费用.解解 取时间单位为年，则有R1040，C32040，C1170于是订货批量为：*22040 1040
9、24960158170Q创=3737订货间隔为：全年费用为:于是每年的订货次数为:*22040 10400.0230.152170 1040t创=*20401()170 10400.152228580.1522C t=+创*116.580.152t=3838 由于订货的次数应为正整数，故可以比较订货次数分别为6次和7次的费用.若订贷次数为6，可得每年的总费用为.若订货次数为7，可得每年的总费用为.所以，每年应订货7次，每次订货批量为10407吨，每年的总费用为22908元.1229736C骣=桫1229087C骣=桫39393.4.2 不允许缺货的生产销售模型不允许缺货的生产销售模型3.4.1
10、小节所述模型中的货物是通过从其他单位订购而获得的，然后再进行销售.现在讨论货物不是从其它单位订购的，而是本单位生产的销售模型.由于生产需要一定时间，所以除保留前述模型的假设外，再设生产批量为Q，所需生产时间为T，故生产速度为，而且需求速度RP.假设t0时Q0，则在时间区间0，T内，存贮量以速度PR增加；在时间区间T，t内存贮量以速度R减少(如图3-3).QPT4040图 3-341 41图中T和t皆为待定数.由图3-3可知(PR)TR(tT)，即PTRt.这说明以速度P生产T时间的产品恰好等于t时间内的需求.由于t时间内的存贮量等于图3-3中三角形的面积，故t时间内的存储量为：从而存贮费用为.
11、RtTP=1()2PR Tt-11()2C PR Tt-4242如果再设t时间内的生产费用为C3，则t时间内的平均总费用C(t)为于是，所求数学模型为13213311 1()()21 1()21()2C tC PR TtCtRtC PRCtPCC PR RtPt=-+=-+=-+311min()()2CC tC PR RtPt=-+4343利用微积分方法，可得生产的最佳周期为由此可求出最佳生产批量为Q*，最佳费用C(t*)及最佳生产时间T*分别为*312()C PtC R PR=-*312()C RPQRtC PR=-*13()2PRC TCC RP-=*312()C RRtTPC P PR=
12、-4444这里的Q*，t*与前述模型的Q*，t*相比较，即知它们只相差一个因子.可见，当P相当大(即生产速度相当大，从而生产时间就很短)时，趋近于1，这时两个模型就近似相同了.()PPR-()PPR-4545例例2 假设某厂每月需某种产品100件，生产率为500件/月，每生产一批产品需准备费5元，每月每件产品的存贮费为0.4元，试求最佳生产周期、最佳生产批量以及最佳费用和最佳生产时间.解解 由题意知C10.4，C35，P500，R100.利用公式得:t*0.56(月)，Q*56(件)C(t*)14.8(元)，T*0.12(月)46463.4.3 允许缺货的订货销售模型允许缺货的订货销售模型所谓
13、允许缺货，就是企业可以在存贮量降到零时，还可以再等一段时间订货.本模型的假设条件除允许缺货外，其余条件皆与3.4.1小节的模型相同.记缺货费(即单位缺货损失费)为C2.假设时间t0时存贮量为S，可以满足t1时间的需求，则在t1这段时间内的存贮量应为.在tt1到t这段时间内，存贮为零，缺货量为，如图3-4所示.112St211()2R tt-4747图 3-44848由于S只能满足t1时间的需求，故SRt1，即 .从而在t时间内的存贮费及缺货费分别为：1StR=21111122SCStCR=2221211()()22RtSCR ttCR-=4949于是平均总费用为：所讨论的问题的数学模型为：这是
14、二元函数的极值问题，用微分法可以求得最佳周期为：221231(,)()22CCC t SSRtSCtRR=+-+221231min(,)()22CCC t SSRtSCtRR=+-+312122()*C CCtC RC+=5050最初的存储量为：最佳订货量为：最佳费用为：231122*()C C RSC CC=+312122()*C R CCQRtC C+=123122(*,*)()C C C RC tSCC=+51 51 如果C2很大(这意味着不允许缺货)，此时所以，.这和3.4.1小节的模型的结论相同.2121()CCC+312*CtC R312*RCQC52521.问题提出问题提出饲养场
15、每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备的开支，估计可使80公斤重的生猪体重增加2公斤.假设市场价格目前为每公斤8元，但是预测每天会降低0.1元，问生猪应何时出售可以获得最大利润？如果估计和预测有误差，对结果有何影响？3.5 生猪的出售时机模型生猪的出售时机模型53532.问题分析问题分析(1)目标函数：选择最佳的生猪出售时机的标准是使得生猪出售的利润最大.因此目标函数应当是利润函数，利润收益成本.影响收益的因素有生猪出售时的体重及生猪出售时的价格，成本完全是由生猪饲养的天数决定.在影响收益的两个因素中，生猪的体重随着饲养天数的增加而增加，而价格却随着饲养天数的增加而减少，这是一对矛盾体，这样也
16、就决定了最终存在一个最佳的出售时机.5454(2)决策变量：生猪饲养的天数t.(3)约束条件：关于天数的约束，t0.(4)求解的方法：虽然有t0的约束，但是总的来说该模型最后可以看成是无约束的优化问题，因此可以使用微分法解决.55553.符号说明符号说明r生猪体重每天的增加量；p(t)t天时生猪的价格；t生猪饲养的天数；i每天的投入费用；w0生猪的当前重量；R(t)第t天生猪卖出时的收益；w(t)t天时生猪的重量；C(t)第t天生猪卖出时的成本；g价格每天的减少量；Q(t)第t天生猪卖出时的利润.p0生猪的当前价格；56564.模型建立模型建立(1)t天后猪的重量：w(t)w0rt (2)t天
17、后猪的价格：p(t)p0gt (3)第t天生猪卖出时的收益：R(t)w(t)p(t)rgt2(rp0gw0)tw0p05757 (4)第t天生猪卖出时的成本：C(t)it (5)第t天生猪卖出时的利润：Q(t)R(t)C(t)rgt2(rp0gw0i)tw0p0 利润的最大化归结为下面的优化问题：maxQ(t)利用微分法可以求解该问题，得到当 (3.5.1)时利润达到最大.002rpgwitrg5858在该问题中p08，w080，i4，r、g为估计值，且r2，g0.1.将其代入公式(3.5.1)可以得到最佳出售天数为第10天.59595.模型分析模型分析1)敏感性分析敏感性分析是分析因素的变动
18、对结果的影响，通常使用相对改变量衡量结果对参数的敏感程度.如函数zg(x，y)中，z对x的敏感度定义为 在本模型中，因此有t对r的敏感度为(ln)(ln)zx zxz x4060,1.5,rtrr26060(,),4060rS t rt rr6060当r2时，敏感度为3，这表明生猪每天的体重增加1%，出售的时间将推迟3%.类似地，t对g的敏感度为，当g0.1时敏感度为3，这说明生猪的价格每天的降低量增加1%，出售时间将提前3%.233(,)(),320gS t gtgg 61 612)稳定性分析在此模型中假设生猪体重的增加和价格的降低都是常数，这是对现实情况的简化，实际的模型应当考虑非线性函数形式和不确定性情形.这样需要讨论当w，p为一般的t函数的情况.此时有Q(t)p(t)w(t)4t640由微分法，可以知道最优解应当满足p(t)w(t)p(t)w(t)4，即出售的最佳时机是保留生猪直到利润的增值等于每天投入的资金为止.
