1、 第第 1 1 页页 20122012 江苏江苏 1已知集合 A1，2，4，B2，4，6，则 AB 【分析】【分析】解析：集合 A，B 都是以列举法的形式给出，易得 AB1，2，4，6 2某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334:，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的 学生中抽取容量为 50 的样本，则应从高二年级抽取 名学生 【解析】【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机 抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样 层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性故由 3 105015 知应从高二
2、年级抽取 15 名学生 3设a bR， 11 7i i 12i ab (i 为虚数单位)，则ab的值为 【分析】【分析】由 11 7i i 12i ab 得， 11 7i(11 7i)(12i)11 15i14 i53i 12i(12i)(12i)14 ab ，故5a ， 3b ，8ab 4下图是一个算法流程图，则输出的 k 的值是 【分析】【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表： 是否继续循环 k 2 k5k4 循环前 0 0 第一圈 是 1 0 第二圈 是 2 2 第三圈 是 3 2 第四圈 是 4 0 第五圈 是 5 4 第六圈 否 输出 5 故最终输出结果 k5
3、 第第 2 2 页页 5函数 f(x) 12log6x的定义域为 【解析】【解析】要使函数 f(x) 12log6x有意义，则 x0， 12log6x0. 解得 0 ， ，求 y x 的取值范围 作出()x y，所在平面区域(如图)求出 x ye的切线的斜率e，设过切点 00 ()P x y，的切线为 (0)yexm m， 则 00 000 yexmm e xxx ， 要使它最小， 须0m 故 y x 的最小值在 00 ()P x y，处， 为e此时，点 00 ()P x y，在 x ye上,A B之间当()x y，对应点C时，由 4 53 yx yx 得， 5205 42012 yx yx
4、，故7yx，即7 y x ，故 y x 的最大值在C处，为 7故 y x 的取值范围为 7e，即 b a 的取值范围是 7e， 二、解答题二、解答题 15在ABC中，已知3AB ACBA BC 求证：tan3tanBA； 若 5 cos 5 C ，求 A 的值 【答案】【答案】 因3AB ACBA BC， 故cos3cosAB ACABA BCB， 即c o s3c o sA CAB CB 由 正弦定理，得 sinsin ACBC BA ，故sincos3sincosBAAB又因0，故 sinsin 3 coscos BA BA 即tan3tanBA 第第 5 5 页页 因 5 cos0 5
5、C0)表示的曲线上，其 中 k 与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标 求炮的最大射程； 设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为 32 千米，试问它的横坐标 a 不超过 多少时，炮弹可以击中它？请说明理由 【答案】【答案】 令 y0，得 kx 1 20(1k 2)x20，由实际意义和题设条件知 x0，k0，故 x20k 1k2 20 k1 k 20 2 10，当且仅当 k1 时取等号故炮的最大射程为 10 千米 因为 a0，故炮弹可击中目标存在 k0，使 32ka 1 20(1k 2)a2成立关于 k 的方程 a2k2 20aka2640 有正根判别式 (20a)24a2(a
6、264)0a6 故当 a 不超过 6 千米时，可击中目标 【解析】【解析】求炮的最大射程即求 22 1 (1)(0) 20 ykxkx k与x轴的横坐标，求出后应用基本不 等式求解 第第 7 7 页页 求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解 18若函数)(xfy 在 0 xx 处取得极大值或极小值，则称 0 x为函数)(xfy 的极值点已知 ab，是实数，1 和1是函数 32 ( )f xxaxbx的两个极值点 求a和b的值； 设函数( )g x的导函数( )( )2g xf x，求( )g x的极值点； 设( )( ( )h xf f xc，其中 2 2c ，求函数(
7、 )yh x的零点个数 【答案】【答案】 由 32 ( )f xxaxbx， 得 2 ( ) 32f xxa x b 因 1 和1是函数 32 ( )f xxaxbx 的两个极值点，故(1)320fab ，( 1)320fab ，解得a 0，3b 由得， 3 ( )3f xxx，故 32 ( )( )232(1) (2)g xf xxxxx，解得 12 1xx， 3= 2x因当2x，故1x 不是( )g x的极值点故( )g x的极值点是2 令( )f xt，则( )( )h xf tc先讨论关于x的方程( )f xd根的情况： 2, 2d 当| 2d 时，由可知，( )2f x 的两个不同的
8、根为 I 和一 2 ，注意到( )f x是奇函数，故( )2f x 的两个 不 同 的 根 为 一 和2 当| 2d 时 ， 因( 1)(2)20fdfdd， (1)( 2)20fdfdd ， 于 是( )f x是 单 调 增 函 数 ， 从 而 ( )(2)2f xf此时( )f xd在(2)，无实根当(12)x ，时( )0f x ，于是( )f x是单调 增函数又(1)0fd，(2)0fd，( )yf xd的图象不间断，故( )f xd在(1,2)内有唯一 实根同理，( )f xd在( 2, 1)内有唯一实根当( 11)x ，时，( )0f x ，(1)0fd ，( )yf xd的图象不
9、间断，故( )f xd在( 1,1)内有唯 一实根故，当| 2d 时，( )f xd有两个不同的根 12 xx，满足 1 |1x ， 2 | 2x ；当| 2d 时 ( )f xd有三个不同的根 315 xxx， ，满足| 2 3, 4, 5 i xi，现考虑函数( )yh x的零点： 当| | 2c 时，( )f tc有两个根 12 tt， 满足 1 |t 1， 2 | 2t 而 1 ( )f xt有三个不同的根， 2 ( )f xt 有两个不同的根，故( )yh x有 5 个零点 当| | 2c 时，( )f tc有三个不同的根 345 ttt， ， 满足| 2 3, 4, 5 i it
10、， 而 (3, 4, 5) i if xt 有三个不同的根，故( )yh x有 9 个零点 综上所述，当| | 2c 时，函数( )yh x有 5 个零点；当| | 2c 时，函数( )yh x有 9 个零点 第第 8 8 页页 【解析】【解析】求出)(xfy 的导数，根据 1 和1是函数)(xfy 的两个极值点代入列方程组求解 即可 由得， 3 ( )3f xxx，求出( )g x，令( )0g x，求解讨论即可 比较复杂，先分| 2d 和| 2d 讨论关于x的方程( )f xd根的情况；再考虑函数( )yh x的 零点 19如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆x 2 a2 y2 b21
11、(ab0)的左、右焦点分别为 F1(c，0)， F2(c，0)已知点(1，e)和(e， 3 2 )都在椭圆上，其中 e 为椭圆的离心率 (1)求椭圆的方程； (2)设 A，B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点，且直线 AF1与直线 BF2平行，AF2与 BF1交于点 P ()若 AF1BF2 6 2 ，求直线 AF1的斜率； ()求证：PF1PF2是定值 解 (1)由题设知 a2b2c2，ec a，由点(1，e)在椭圆上，得 1 a2 c2 a2b2 1，解得 b21，于是 c2a21，又点(e， 3 2 )在椭圆上，故e 2 a2 3 4b21，即 a21 a4 3 41，解得 a 2 2因此
12、，所求椭圆的方程是x 2 2y 21 (2)由(1)知 F1(1，0)，F2(1，0)，又直线 AF1与 BF2平行，故可设直线 AF1的方程为 x1my， 直线 BF2的方程为 x1my设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，y10，y20由 x 2 1 2y 2 11， x11my1， 得(m2 2)y212my110，解得 y1m 2m 22 m22 ，故 AF1 （x11）2（y10）2 （my1）2y21 2（m21）mm21 m22 同理，BF2 2（m21）mm21 m22 ()由得AF1BF22m m 21 m22 ，解2m m 21 m22 6 2 得m22，注意到m0，故m
13、 2故直 线 AF1的斜率为1 m 2 2 ()因直线AF1与BF2平行，故 PB PF1 BF2 AF1，于是 PBPF1 PF1 BF2AF1 AF1 ，故PF1 AF1 AF1BF2BF1由B 点在椭圆上知 BF1BF22 2，从而 PF1 AF1 AF1BF2(2 2BF2)同理 PF2 BF2 AF1BF2 (2 2 AF1)，故 PF1PF2 AF1 AF1BF2(2 2BF2) BF2 AF1BF2 (2 2AF1)2 2 2AF1 BF2 AF1BF2又由知 第第 9 9 页页 AF1BF22 2（m 21） m22 ，AF1 BF2m 21 m22，故 PF1PF22 2 2
14、 2 3 2 2 故 PF1PF2是定 值 【解析】【解析】根据椭圆的性质和已知(1) e，和 3 () 2 e，都在椭圆上列式求解 根据已知条件 12 6 2 AFBF，用待定系数法求解 20已知各项均为正数的两个数列an和bn满足：an1 anbn a2nb2n， nN* (1)设 bn11bn an，nN *，求证：数列 bn an 2 是等差数列； (2)设 bn1 2 bn an，nN *，且a n是等比数列，求 a1和 b1的值 (1)证明 由题设知 an1 anbn a2nb2n 1bn an 1 bn an 2 bn1 1 bn an 2，所以 bn1 an1 1 bn an
15、2 ，从而 bn1 an1 2 bn an 2 1(nN*)，所以数列 bn an 2 是以 1 为公差的等差数列 (2)解 因为 an0，bn0， 所以（anbn） 2 2 a2nb2n(anbn)2，从而 1an1 anbn a2nb2n 2 (*)设等比数列a n的公比为 q，由 an0 知 q0下证 q1 若 q1，则 a1a2 q a2 2，故当 nlogq 2 a1 时，an1a1qn 2，与(*)矛盾； 若 0q1，则 a1a2 q a21，故当 nlogq 1 a1时，an1a1q n1，与(*)矛盾 综上，q1，故 ana1(nN*)，所以 1a1 2 又 bn1 2 bn
16、an 2 a1 bn(nN*)，所以bn是公比为 2 a1 的等比数列若 a1 2，则 2 a1 1，于是 b1 b2b3又由a1 a1bn a21b2n得b na 1 a 2 1 2a21 a211 (nN*)，所以b1，b2，b3中至少有两项相同，矛盾， 所以 a1 2，从而 bna1 a 2 1 2a21 a211 2所以 a1b1 2 【解析】【解析】 根据题设 an1 anbn a2nb2n和 b n11b n an， 求出 bn1 an1 1 bn an 2， 从而证明 bn1 an1 2 bn an 21 而得证 第第 1010 页页 根据基本不等式得到 1an1 anbn a2
17、nb2n 2，用反证法证明等比数列a n的公比 q1 从而得到 ana1(nN*)的结论， 再由 bn1 2 bn an 2 a1 bn(nN*)知， bn是公比是 2 a1 的等比数列 最 后用反证法求出 a1b1 2 数学数学(附加题附加题) B选修 4 - 2：矩阵与变换已知矩阵 A 的逆矩阵 A 1 1 4 3 4 1 2 1 2 ，求矩阵 A 的特征值 【解】因 A 1AE，故A(A1)1因 A1 1 4 3 4 1 2 1 2 ，故A(A 1)1 2 3 2 1 ，于是矩阵 A 的 特征多项式为 f() 2 3 2 1 234令 f()0，解得 A 的特征值 11，24 【解析】【
18、解析】由矩阵A的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A，从而求出矩阵A 的特征值 C 选修 4 - 4： 坐标系与参数方程在极坐标中， 已知圆C经过点( 2,) 4 P ， 圆心为直线 3 sin() 32 与极轴的交点，求圆C的极坐标方程 【答【答案】案】因圆C圆心为直线 3 sin() 32 与极轴的交点，故在 3 sin() 32 中令=0， 得1 故 圆C的 圆 心 坐 标 为(1,0) 因 圆C经 过 点(2 ,) 4 P ， 故 圆C的 半 径 为 22 ( 2)12 12cos1 4 PC 故圆C经过极点故圆C的极坐标方程为2cos 【解析】解析】根据圆C圆心为直线 3 sin() 32
19、与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆C经过点 ( 2,) 4 求出圆C的半径从而得到圆C的极坐标方程 22设 为随机变量，从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条，当两条棱相交时，0；当两 条棱平行时， 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1 求概率 P(0)； 求 的分布列，并求其数学期望 E() 【答案】【答案】若两条棱相交，则交点必为正方体 8 个顶点中的 1 个，过任意 1 个顶点恰有 3 条棱， 所以共有 8C23对相交棱，因此 P(0)8C 2 3 C212 83 66 4 11 第第 1111 页页 若两条棱平行，则它们的距离为1或 2，其中距离为 2的共有6对，故P(
20、2) 6 C212 1 11， 于是 P(1)1P(0)P( 2)1 4 11 1 11 6 11，所以随机变量 的分布列是 0 1 2 P 4 11 6 11 1 11 因此 E()1 6 11 2 1 11 6 2 11 【解析】【解析】求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率(0)P 求出两条棱平行且距离为2的共有6 对，即可求出(2)P，从而求出(1)P(两条棱平行 且距离为 1 和两条棱异面)，故得到随机变量的分布列，求出其数学期望 23设集合 Pn1，2，n，nN*，记 f(n)为同时满足下列条件的集合 A 的个数： APn；若 xA，则 2xA； 若 xPnA，则 2
21、xPnA (1)求 f(4)； (2)求 f(n)的解析式(用 n 表示) 【答案】【答案】(1)当 n4 时，符合条件的集合 A 为：2，1，4，2，3，1，3，4，故 f(4)4 (2)任取偶数 xPn，将 x 除以 2，若商仍为偶数，再除以 2，经过 k 次以后，商必为奇数，此 时记商为m，于是 xm 2k，其中m为奇数，kN*由条件知，若mA，则 xAk 为偶数；若 mA，则 xAk 为奇数于是 x 是否属于 A 由 m 是否属于 A 确定设 Qn是 Pn中所有奇数的集 合，因此f(n)等于Qn的子集个数当n为偶数(或奇数)时，Pn中奇数的个数是n 2 或n1 2 ，所以f(n) 2 2 n ，n为偶数， 2 1 2 n ，n为奇数. 【解析】解析】找出4n 时，符合条件的集合个数即可 由题设，根据计数原理进行求解
