1、53一元一次方程的应用第1课时图形的等积变形问题1通过分析图形问题中的等量关系，建立方程解决问题；2进一步了解一元一次方程在解决实际问题中的应用重点列一元一次方程解简单的图形变化的实际问题难点从复杂问题中寻找等量关系一、导入新课1课件出示两瓶矿泉水(容量一样，一瓶短而宽，另一瓶长而窄).教师：哪瓶矿泉水多？为什么？2教师演示：先用一块橡皮泥捏出一个“瘦长”的圆柱体，然后再让这个“瘦长”的圆柱“变矮”，变成一个“又矮又胖”的圆柱教师：在刚才操作的过程中，圆柱由“高”变“低”，圆柱的底面直径变了没有？圆柱的高呢？在这个变化过程中，是否有不变的量？是什么没变？学生思考后回答问题，教师点评二、探究新知
2、某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6 cm，12 cm的圆柱形易拉罐饮料经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6 cm.那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米？(1)这个问题中包含哪些量？它们之间有怎样的等量关系？(2)设新包装的高度为x cm，你能借助下面的表格梳理问题中的信息吗？有关量旧包装新包装底面半径/cm3.33高/cm12x容积/cm33.321232x(3)根据等量关系，你能列出怎样的方程？引导学生找出等量关系：旧包装的容积新包装的容积设新包装的高度为x cm.根据等量关系，列出方程：3.321232x解这个方程，得x14.52因此，易拉罐
3、的高度将变为14.52 cm.归纳：列一元一次方程解应用题的步骤：1、审题，2、设未知数，3、列方程，4、解方程，5、作答课件出示实验题：一个圆柱形玻璃杯中装满了水，把杯中的水倒入一个长方体形状的可盛水的盒子里(玻璃杯的容积大于长方体的容积)，当盒子装满水时，玻璃杯中的水下降了多少？要求学生用玻璃杯按要求分组实验后，全班交流各组得到的结果及解决问题的方法、步骤，并派小组代表进行操作示范、讲解教师巡视课堂，指导、参与学生的实验例1用一根长为10 m的铁丝围成一个长方形(1)如果该长方形的长比宽多1.4 m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？(2)如果该长方形的长比宽多0.8 m，那么此时长方形的
4、长、宽各为多少米？此时的长方形与(1)中的长方形相比，面积有什么变化？(3)如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米？正方形的面积与(2)中长方形的面积相比又有什么变化？分析：本题涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？你能分别用含未知数的式子表示它们的数量关系吗？让学生独立完成解答过程，然后教师点评在上面的问题中，所列方程的两边分别表示什么量？列方程的思路是什么？与同伴进行交流三、课堂练习1教材第149页“随堂练习”2某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆柱形储水箱现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4 m减少为3.2 m
5、那么在容积不变的前提下，水箱的高度由原先的4 m变为多少米？【答案】2.设水箱的高度由原先的4 m变为x m，由题意列方程为()24()2x，解得x6.25.答：水箱的高度由原先的4 m变为6.25 m四、课堂小结1通过本节课的学习，你有什么收获？2列一元一次方程解实际问题时，关键是什么？五、课后作业教材第154页习题5.3第1，4，5题本节课是一元一次方程的应用易拉罐变形在课堂上，让学生观察易拉罐由“矮”变“高”的变化过程，引导学生找出问题中的等量关系，列出方程，并解方程，使问题得到解决通过学生自己动手操作实验、思考、计算、讨论，调动学生学习的积极性和主动性，充分体现“自主、合作、交流、探究
6、”的新课程理念观察、演示、分析问题中各个量之间的关系使学生初步体验把实际问题转化为数学问题的“化归”过程第2课时盈余与不足问题1理解盈余与不足之间的数量关系；2会通过列表格解一元一次方程的有关问题重点理解盈余与不足之间的数量关系难点列表格解一元一次方程的有关问题一、导入新课教师：列方程解决实际问题的关键是什么呢？学生回答，教师点评教师：今天，我们学习一元一次方程的一个应用盈余与不足问题二、探究新知课件出示问题：九章算术“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱合伙人数、物品的价
7、格分别是多少？(1)问题中有哪些已知量和未知量？它们之间有怎样的等量关系？(2)设人数为x，其他未知量能用含x的代数式表示吗？请完成下表有关量每人出8钱每人出7钱人数xx出钱总数8x7x物价8x37x4(3)根据等量关系，你能列出怎样的方程？设人数为x.根据等量关系，列出方程：8x37x4解这个方程，得x7因此，人数为7人，物价为53钱如果设物价为y，你能列出怎样的方程？与同伴进行交流例2九章算术“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百问人数、金价各几何？题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱合伙人数、金价各是多
8、少？分析：设人数为x，你能把下表补充完整吗？有关量每人出400钱每人出300钱人数xx出钱总数400x300x金价400x3400300x100解：设合伙人数为x，则金价可表示为400x3400，还可表示为300x100，根据等量关系，列出方程：400x3400300x100.解这个方程，得x33.300331009800.因此，人数为33，金价为9800钱对于例2，如果设金价为y，能列出怎样的方程？归纳：九章算术给出了一种算法：人数两次剩余钱数之差两次每人所出钱数之差；物价每人出的较多钱数人数剩余钱数，物价每人出的较少钱数人数不足的钱数教师：通过上面的讲解和练习，你能总结出列一元一次方程解决
9、实际问题的步骤吗？引导学生总结：分析问题，找出等量关系式；列出方程，求出方程的解；验证方程的解是否合理三、课堂练习1教材第150页“随堂练习”四、课堂小结1通过本节课的学习，你有什么收获？2盈余与不足问题中如何找等量关系？3列一元一次方程解实际问题的步骤有哪些？五、课后作业教材第154页习题5.3第7题本节课是一元一次方程的应用盈余与不足在教学过程中，通过由具体实例中的数量关系分析、思考，形成方程的模型，初步培养学生利用方程的观点认识现实世界的意识和能力通过分组学习，让学生学会在活动中与他人合作、交流，调动学生学习的积极性和主动性，体现了以人为本的现代教学理念第3课时行程问题1通过画线段图分析
10、追及问题中的数量关系，找出等量关系；2进一步培养学生分析问题、解决问题的能力；3学会用一元一次方程解决复杂的实际问题重点找出追及问题中的等量关系，列出方程，解决实际问题难点通过画线段图找等量关系一、导入新课问题1：以前学习的行程问题中，路程、速度、时间三者间有什么关系？问题2：若小明每秒跑4 m，那么他5 s能跑多少米？问题3：小明用4 min绕学校操场跑了两圈(每圈400米)，那么他的速度为多少？问题4：已知小明家距离火车站1500 m，他以4 m/s的速度骑车到达车站需要几分钟？学生举手回答，教师点评二、探究新知1出示课件：教材第151页引例：小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000
11、m的学校上学小明以80 m/min的速度出发，5 min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书于是，爸爸立即以180 m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他(1)爸爸追上小明用了多长时间？(2)追上小明时，距离学校还有多远？引导学生根据题意画出线段图(设爸爸追上小明用了x min)：引导学生从线段图中找出等量关系：小明所用时间5爸爸所用时间；小明走过的路程爸爸走过的路程教师：根据等量关系，如何解决这两个问题呢？指名学生写出解题过程，教师点评解：(1)设爸爸追上小明用了x min.根据题意，得180x80x805.化简，得100x400.x4.因此，爸爸追上小明用了4 min.(2)180472
12、0(m)，1000720280(m).所以，追上小明时，距离学校还有280 m.2课件出示：育红学校七年级学生步行到郊外旅行七(1)班的学生组成前队，步行速度为4 km/h，七(2)班的学生组成后队，速度为6 km/h.前队出发一小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12 km/h.教师：根据上面的事实提出问题并尝试去解答学生分小组讨论交流，教师点评问题1：后队用多长时间追上前队？等量关系：前队所走的路程后队所走的路程设后队x小时可追上前队，则：6x414x.解得x2.所以后队2 h可追上前队问题2：后队出发到追上前队时，联络员骑行了多少
13、千米？这个问题的解答与引例相同联络员的骑行速度为12 km/h，后队追上前队的时间是2 h(问题1的答案)，所以联络员骑行的距离是：12224(km).问题3：当联络员第一次追上前队再返回后队时，后队行进了多少千米？解决这个问题分两步：第一步，设联络员x小时后追上前队，则：12x414x.解得x.所以联络员半小时后追上前队第二步，设y小时后联络员返回后队，则：注意：图中x.6y12y6414.解得y.所以 h后联络员返回后队当联络员第一次追上前队再返回后队时，后队行进的距离为：6(xy)6()4(km).即当联络员第一次追上前队再返回后队时，后队行进了4 km.课件出示例3：小明和小华两人在4
14、00 m的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑260 m，小华每分钟跑300 m，两人起跑时站在跑道同一位置(1)如果小明起跑后1 min小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？(2)如果小明起跑后1 min小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？分析：本题涉及哪些量？你能画图说明小明和小华跑步的情形吗？在问题(1)和(2)中，两人所走的路程分别有什么关系？解：(1)设小华用x min追上小明，根据等量关系，可列出方程260260x300x.解这个方程，得x6.5.因此，小华用6.5 min追上小明(2)设小华起跑后x min两人首次相遇，根据等量关系，可列出方程260x300x4
15、00260.解这个方程，得x0.25.因此，小华起跑后0.25 min两人首次相遇用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？与同伴进行交流三、课堂练习1甲从A地以6 km/h的速度驶向B地，40 min后，乙从A地以8 km/h的速度追甲，结果在甲离B地还有5 km的地方追上甲，求A，B两地的距离2A，B两地相距60 km，甲、乙两人分别同时从A，B两地骑自行车出发，相向而行甲每小时比乙多行2 km，经过2 h相遇问甲、乙两人的速度分别是多少？【答案】1.设乙出发x小时后追上甲根据题意得6(x)8x，解得x2，8x8216，16521(km).答：A，B两地相距21 km2.设乙的速度为y
16、km，则甲的速度为(y2)km/h.由题意可得2(yy2)60.解得y14.则y216.答：甲、乙的速度分别是16 km/h，14 km/h四、课堂小结1通过本节课的学习，你有什么收获？2路程问题中有哪些数量关系？五、课后作业教材第155页第8题本节课是一元一次方程的应用追及问题在教学过程中，通过由具体实例的分析、思考与合作学习，让学生体会到生活中处处有数学培养学生学习数学的兴趣，协助学生发展逻辑思维能力，并能应用数学解决日常生活中的实际问题借助画线段图分析追及问题中的数量关系和等量关系，体会线段图解决问题的优越性通过讲练结合，让学生更熟悉列方程解决实际问题的步骤，要求学生进一步明确必须检验方
17、程的解是否符合题意，培养学生有始有终的习惯问题解决策略：直观分析1能借助图表和示意图直观分析问题，找到数量关系；2会列一元一次方程解决有关商品销售利润问题重点理解售价、成本、利润、利润率之间的关系难点列一元一次方程解决有关商品销售利润的问题一、导入新课教师：列方程解决实际问题的关键是什么呢？学生回答，教师点评教师：今天，我们学习一元一次方程的一个应用打折销售二、探究新知(一)利用示意图解决问题1提出问题一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？2理解问题(1)这个问题中涉及哪些量？哪些是已知量？哪些是未知量？(2)你能用文字
18、语言描述这个问题中所蕴含的等量关系吗？(3)采用什么方式可以更清楚地展示这个问题中各个量之间的关系？3拟定计划(1)想象一下商店从进货、标价到销售获利的过程，你能用示意图直观地表示这一过程吗？(2)根据自己画的示意图，你能写出哪些等量关系？(3)设这种服装每件的成本为x元，你能用含x的代数式表示其他量吗？根据自己写出的等量关系，你能列出怎样的方程？4实施计划列出方程：(140%)x80%x15.解这个方程，得x125.因此，这种服装每件的成本是125元课件出示问题：商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%；另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
19、教师提示：如果进价大于售价就亏损，反之就盈利要求学生列出方程，写出解题过程教师点评，并讲解：本题中，设盈利25%的那件衣服的进价是x元，它的利润就是0.25x元，根据进价利润售价，列出方程x0.25x60.由此得x48.类似地，可以设另一件衣服的进价为y元，它的利润是0.25y元，列出方程y0.25y60.由此得y80.两件衣服的进价是xy128元，而两件衣服的售价是6060120元，进价大于售价，由此可知卖这两件衣服总共亏损8元教师：通过上面的讲解和练习，你能总结出列一元一次方程解决实际问题的步骤吗？引导学生总结：分析问题，找出等量关系式；列出方程，求出方程的解；验证方程的解是否合理(二)利
20、用图表解决问题某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共售出1000张票，筹得票款6950元成人票与学生票各售出多少张？教师：这道题中包含哪些等量关系？学生1：售出的票包括成人票和学生票，因此有：成人票数学生票数1000张学生2：所得的票款包括成人票款和学生票款，因此有：成人票款学生票款6950元教师：设售出的学生票为x张，请同学们把下表补充完整学生成人票数/张票款/元引导学生根据表格列出方程5x8(1000x)6950，解得x350，所以售出成人票650张，学生票350张教师：同学们还有其他的方法吗？学生：设所得的学生票款为y元，则可得1000，解得y1750，所以售出学生票数为350，
21、成人票数为650张教师：如果票价不变，那么售出1000张票所得票款可能是6930元吗？为什么？学生小组内讨论，派代表回答，教师讲评课件出示练习：某文艺团体为“希望工程”募捐义演，全价票为每张18元，学生享受半价某场演出共售出966张票，收入15480元，这场演出共售出学生票多少张？学生独立解答，教师巡视，对有疑问的学生予以帮助指名学生汇报答案，教师点评并引导学生总结运用方程解决实际问题的一般步骤：(1)审题：分析题意，找出题中的数量及其关系；(2)设元：选择一个适当的未知数用字母表示(如x)；(3)列方程：根据等量关系列出方程；(4)解方程：求出未知数的值；(5)检验：检查求得的值是否正确和符
22、合实际情况，并写出答案练习：某商店积压了100件某种商品，为使这批商品尽快卖完，该商店采取了如下销售方案，将价格提高到原来的2.5倍，再做3次降价处理：第1次降价30%，第2次又降价30%，第3次再降价30%，3次降价销售的结果如下表所示：降价次数123销售件数1040一抢而光(1)求第3次降价占原价的百分比(2)该商品按新销售方法销售，相比原价全部卖完，哪一种方案更盈利？三、课堂练习某服装店以135元的价格卖出两件衣服，按成本计算，第一件盈利25%，第二件亏损25%，则该商店卖出这两件衣服总体上是赚了，还是亏了？这两件衣服的成本价会一样吗？算一算【答案】设第一件衣服进价为x元，依题意得x(125%)135，解得x108；设第二次衣服进价为y元，依题意得y(125%)135，解得x180，135210818018(元).该商店卖出这两件衣服总体上亏了，这两件衣服的成本价不一样四、课堂小结1通过本节课的学习，你有什么收获？2列一元一次方程解实际问题的步骤有哪些？五、课后作业教材第157页习题5.4第14题本节课在列一元一次方程解应用题的教学过程中，借助示意图和表格分析复杂问题中的数量关系和等量关系，从而建立方程解决实际问题在所举的例子中，用到了两种设未知数的方法，让同学们体会到可根据题目的特点，灵活选用设元方法
