1、定积分的应用（二）定积分的应用（二）平面曲线的弧长与曲率平面曲线的弧长与曲率定积分在物理中的某些应用定积分在物理中的某些应用第一步第一步 利用“分割（化整为零）,代替（以曲代直或以常代变）”求出局部量的近似值，即微分表达式xxfUd)(d第二步第二步 利用“求和（积零为整）,取极限（无限累加）”求出整体量的精确值，即得积分表达式Uxxfbad)(这种分析方法成为微元法（又称元素法）法（又称元素法）微元的几何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳 等定义定义:若在弧 AB 上任意作内接折线,0M1iMiMnMAByox当折线段的最大边长 0 时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧 A
2、B 的弧长,即并称此曲线弧为可求长的.iiMM1定理定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.（见P247）(证明略)ni 10lims则称(),(),xx tyy t t()x t()y t22()()0,xtytt ()x t()y t,22()().sxtyt dtsdyxabo)()(bxaxfy)(xfy 弧长元素(弧微分):xxxdxyd12因此所求弧长xysbad12xxfbad)(12(P249)22)(d)(ddyxs)()()(ttytx弧长元素(弧微分):因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs)()(rr,sin)(,cos)(ryrx令因
3、此所求弧长d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr则得sd弧长元素(弧微分):(自己验证)ch(cxccxccsh1)(chbxbcxcy成悬链线.求这一段弧长.解解:xysd1d2xcxdsh12xcxdchbxcxs0dch2cxc sh20bcbcsh22chxxeex)(chx2shxxeex)(sh xxshxchcxbboy下垂悬链线方程为ttyxdcos2解解:,0cosx22xxysd1222的弧长.xxd)cos(12202xxd2cos22200sin22222x4)cos1()sin(tayttax)0(a一拱)20(t的弧长.解解:tstytxd)()(
4、d2dd2dd )cos1(22tata22sintdttad)cos1(2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8xyoa2d222aa相应于 02一段的弧长.解解:)0(aarxa2oar d)()(22rrsdd12 ad1202as212a21ln2102)412ln(24122aa一、一、变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功二、二、液体的侧压力液体的侧压力三、引力问题三、引力问题二、定积分在物理中的某些应用 四、惯性问题四、惯性问题设物体在连续变力 F(x)作用下沿 x 轴从 xa 移动到,bx 力的方向与运动方向平行,求变力所做的功.xabxxxd，上任取
5、子区间在d,xxxba在其上所作的功微元为xxFWd)(d因此变力F(x)在区间,ba上所作的功为baxxFWd)(一个单求电场力所作的功.qorabrrdr 11解解:当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律库仑定律电场力为2rqkF 则功微元为rrqkWdd2所求功为barrqkWd2rqk1ab)11(baqk说明说明:处的电势为电场在ar arrqkd2aqk位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处(a b),在一个带+q 电荷所产生的电场作用下,S体,求移动过程中气体压力所ox解解:由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为S 的活塞从点 a 处移动到点 b 处(如图),作的功.a
6、b建立坐标系如图.xxdx 由波义耳马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比,即,SxkVkp 功微元为WdxFdxxkd故作用在活塞上的SpFxk所求功为baxxkWdbaxk lnabkln力为在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功?解解:建立坐标系如图.oxm3xxxdm5在任一小区间d,xxx上的一薄层水的重力为gxd32这薄层水吸出桶外所作的功(功微元功微元)为Wdxxdg9故所求功为50Wxxdg9g922xg5.112设水的密度为05一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m,底圆半径为3m,面积为 A 的平板设液体密度为 深为 h 处的压强:hp
7、gh当平板与水面平行时,ApP 当平板不与水面平行时,就涉及到侧压力问题.所受侧压力问题就需用积分解决.整张平板所受的压力为因为各点受力均等，所以平板一侧所受压力也为这个结果.小窄条上各点的压强xpg33g2R 的液体,求桶的一个端面所受的侧压力.解解:建立坐标系如图.所论半圆的22xRy)0(Rx 利用对称性,侧压力微元RP0 xxRxdg222oxyRxxxd222xR Pdxg端面所受侧压力为xd方程为一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 质量分别为21,mm的质点,相距 r,1m2mr二者间的引力:大小:221rmmkF 方向:沿两质点的连线若考虑物体物体对质点的引力,则需用积
8、分解决.设有一长度为 l,线密度为 的均匀细直棒,其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M,M该棒对质点的引力.解解:建立坐标系如图.y2l2l,dxxx细棒上小段对质点的引力大小为 dkF xm d22xa 故垂直分力元素为cosddFFya22dxaxmk22xaa23)(d22xaxamkaxox在试计算FdxFdyFdxxd利用对称性利用对称性223022)(d2lxaxamkFy02222lxaaxamk22412laalmk棒对质点引力的水平分力.0 xF22412llmkFaa故棒对质点的引力大小为2lFdxFdyFdMy2laoxxxxd棒对质点的引力的垂直分力为 y
9、2l2laoxxxdxamk22)若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处1)当细棒很长时,可视 l 为无穷大,此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒.移到 b(a 2 R)的水池底,水的密度多少功?解解:建立坐标系如图.则对应d,xxx上球的薄片提到水面上的微功为1dWxy d2提出水面后的微功为2dW)(dg2xRxyxxRxRd)(g22,0 xxRHxRd)(g)(220H),(yxxyxo现将其从水池中取出,需做微元体积所受重力上升高度g)(0)(xRH21dddWWWxxRd)(g22球从水中提出所做的功为WxxRxRHRRd)()()(2200g“偶倍奇零偶倍奇零”xxRRd)(2
10、20g)(34003RHR)(g200RHH)(0)(0 xR Hxoyx(1)以每秒 a 升的速度向空容器中注水,求水深为为h(0 h R)时水面上升的速度.(2)设容器中已注满水,求将其全部抽出所做的功最少应为多少?解解:过球心的纵截面建立坐标系如图.oxy则半圆方程为2x22yyR hR设经过 t 秒容器内水深为h,.)(thh 则oxyhRthdd由题设,经过 t 秒后容器内的水量为而高为 h 的球缺的体积为半球可看作半圆绕 y 轴旋转而成体积元素:yx d2222yyRx)(hVyyRyhd)2(20故有t ayyRyhd)2(20两边对 t 求导,得)2(2hRhthddathdd)2(2hRhaat(升),为将全部水提对应于d,yyyyx d2微元体积:微元的重力:yx dg2薄层所需的功元素oxRyWdyx dg2)(yR yyRyRyd)(2(g2故所求功为WR0gyyyRyRd)32(3224g4Ry到池沿高度所需的功.0arcsin22g4222RRxRxRxR,d222xxR 当桶内充满液体时,)(gxR 小窄条上的压强为侧压力元素Pd故端面所受侧压力为RRxxRxRPd)(g222奇函数奇函数3gR)(gxR RxxRR022dg4tRxsin令(P350 公式67)oxyRxxxd
