1、第一课时 三角形的内角和 考点清单解读 重难题型突破 易错易混分析 方法技巧点拨考点清单解读返回目录返回目录考点考点 三角形内角和定理三角形内角和定理定理定理三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于 180 180定量判定定量判定图示图示如图，如图，A+B+C=180A+B+C=180第一课时 三角形的内角和考点清单解读返回目录返回目录注意注意三角形内角和定理适用于任意三角形，定理成立三角形内角和定理适用于任意三角形，定理成立的前提是在同一个三角形中的前提是在同一个三角形中三角形的三个内角中至少有两个锐角，最多有一三角形的三个内角中至少有两个锐角，最多有一个直角或钝角，且最大的内角不小于个
2、直角或钝角，且最大的内角不小于 60 60，最小，最小的内角不大于的内角不大于 60 60第一课时 三角形的内角和续表续表考点清单解读返回目录返回目录第一课时 三角形的内角和归纳总结归纳总结 用已知角的度数求未知角的度数时，若所求角与已知角用已知角的度数求未知角的度数时，若所求角与已知角不在同一个三角形中，则可利用平行线的性质、对顶角的性不在同一个三角形中，则可利用平行线的性质、对顶角的性质等将所求角与已知角质等将所求角与已知角“转化转化”到同一个三角形中到同一个三角形中.考点清单解读返回目录返回目录第一课时 三角形的内角和典例典例 如图，如图，ABCDABCD，AC AC 与与 BD BD
3、相交于点相交于点 O O，若，若A=25A=25 ，D=45 D=45 ，则，则AOBAOB的大小为的大小为 _._.对点典例剖析考点清单解读返回目录返回目录第一课时 三角形的内角和答案答案 110110解解题思路题思路 重难题型突破返回目录返回目录题型题型 利用三角形内角和定理解决折叠问题利用三角形内角和定理解决折叠问题例例 如图，在折纸活动中，小明制作了一张如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC ABC 纸片，纸片，点点D D，E E 分别在边分别在边 AB AB，AC AC 上，将上，将ABC ABC 沿着沿着DE DE 折叠压平，折叠压平，A A 与与 A A重合，若重合，若A=60
4、A=60，则，则1+2=1+2=（）A A 120 120 B B 110 110C C 100 100 D D 80 80第一课时 三角形的内角和重难题型突破返回目录返回目录第一课时 三角形的内角和解解析析答案答案 A A重难题型突破返回目录返回目录第一课时 三角形的内角和变式衍生变式衍生 把把ABC ABC 沿沿 EF EF 翻折后的图形如图所示，翻折后的图形如图所示，若若A=60A=60，1=951=95，则，则2 2 的度数是（的度数是（）A A 15 15B B 20 20C C 25 25D D 35 35C重难题型突破返回目录返回目录第一课时 三角形的内角和解题通法解题通法 利用
5、折叠得到的等角、三角形内角和定理利用折叠得到的等角、三角形内角和定理和已知条件推出的角度关系，把所求角和已知角联系起来，和已知条件推出的角度关系，把所求角和已知角联系起来，是这类题型常用的解题思路是这类题型常用的解题思路.易错易混分析返回目录返回目录对三角形的类型考虑不全导致漏解对三角形的类型考虑不全导致漏解例例 已知，在已知，在ABC ABC 中，中，BD BD 是是 AC AC 边上的高，边上的高，ABD=30ABD=30，则，则BAC BAC 的度数为的度数为 _._.第一课时 三角形的内角和易错易混分析返回目录返回目录第一课时 三角形的内角和解解析析如图如图 1 1，当，当BAC BA
6、C 为锐角时，为锐角时，BD BD 是是 AC AC边上边上的高，的高，ADB=90ADB=90，A=180A=180-90-90-ABD=180-ABD=180-9090-30-30=60=60；如图如图 2 2，当，当BAC BAC 为钝角时，为钝角时，BD BD 是是 AC AC 边上的高，边上的高，ADB=90ADB=90，BAD=180BAD=180-90-90-30-30=60=60，BAC=180BAC=180-BAD=120-BAD=120.综上所述，综上所述，BAC=60BAC=60或或 120 120.易错易混分析返回目录返回目录第一课时 三角形的内角和答案答案 6060或
7、或 120 120易错易错 6060 错因错因 忽略了忽略了ABC ABC 是钝角三角形的情况是钝角三角形的情况.易错易混分析返回目录返回目录第一课时 三角形的内角和易错警示易错警示 涉及三角形的高时，若题目没有给出图形，涉及三角形的高时，若题目没有给出图形，往往需要分锐角三角形和钝角三角形进行分类讨论往往需要分锐角三角形和钝角三角形进行分类讨论.领悟提能领悟提能 有些几何题目只有文字描述而没有图形时，有些几何题目只有文字描述而没有图形时，可能存在不同情形，所以根据题意画图时要注意全面考虑可能存在不同情形，所以根据题意画图时要注意全面考虑各种情况，进行分类讨论，避免漏解各种情况，进行分类讨论，
8、避免漏解.方法技巧点拨返回目录返回目录方法：利用方程思想求三角形内角度数方法：利用方程思想求三角形内角度数在一个三角形中，若已知一个角的度数及另外两个角之在一个三角形中，若已知一个角的度数及另外两个角之间的数量关系，或不知道任何一个角的度数，只知道三个间的数量关系，或不知道任何一个角的度数，只知道三个角之间的数量关系，一般根据角之间的数量关系，一般根据“三角形的内角和是三角形的内角和是 180 180”这一数量关系列方程（或方程组）求解这一数量关系列方程（或方程组）求解.第一课时 三角形的内角和方法技巧点拨返回目录返回目录第一课时 三角形的内角和例例 一个三角形三个内角的度数之比为一个三角形三
9、个内角的度数之比为 249 249，这个，这个三角形是三角形是 （）A A 直角三角形直角三角形 B B 等腰三角形等腰三角形C C 钝角三角形钝角三角形 D D 锐角三角形锐角三角形方法技巧点拨返回目录返回目录第一课时 三角形的内角和解解析析 三个内角的度数之比为三个内角的度数之比为 249 249，可设三个内角度数分别为可设三个内角度数分别为 2x 2x，4x4x，9x,9x,由三角形内角和定理，得由三角形内角和定理，得 2x+4x+9x=180 2x+4x+9x=180，解得，解得 x=12 x=12，2x=242x=24，4x=484x=48，9x=1089x=108，这个三角形的三个
10、内角度数分别为这个三角形的三个内角度数分别为 24 24，4848，108108，三角形最大的内角是钝角，三角形最大的内角是钝角，这个三角形是钝角三角形这个三角形是钝角三角形答案答案 C C第二课时 直角三角形的性质与判定 考点清单解读 重难题型突破 易错易混分析考点清单解读返回目录返回目录考点一考点一 直角三角形的性质直角三角形的性质性质性质文字文字语言语言直角三角形的两个锐角直角三角形的两个锐角互余互余符号符号语言语言若若ABC ABC 是直角三角形，是直角三角形，C=90C=90，则，则A+B=90A+B=90表示表示直角三角形可以用符号直角三角形可以用符号“Rt“Rt”表示，直角三角形
11、表示，直角三角形ABC ABC 可以写成可以写成 Rt RtABCABC注意注意在三角形中，两个锐角互余的前提是必须在直角在三角形中，两个锐角互余的前提是必须在直角三角形中，并且在同一个直角三角形中三角形中，并且在同一个直角三角形中第二课时 直角三角形的性质与判定考点清单解读返回目录返回目录第二课时 直角三角形的性质与判定归纳总结归纳总结 若所求角是直角三角形中的一个锐角，直接求度数不方若所求角是直角三角形中的一个锐角，直接求度数不方便，则可转化为求同一个直角三角形中另一个锐角的度数，便，则可转化为求同一个直角三角形中另一个锐角的度数，再利用直角三角形中两锐角的互余关系求解再利用直角三角形中两
12、锐角的互余关系求解.考点清单解读返回目录返回目录第二课时 直角三角形的性质与判定典例典例1 1 如图，在如图，在ABC ABC 中，中，ACB=90ACB=90，过点，过点 C C 作作 EFABEFAB，若，若ECA=55ECA=55，则，则B B 的度数为的度数为 （）A A 55 55B B 45 45C C 35 35D D 25 25对点典例剖析考点清单解读返回目录返回目录第二课时 直角三角形的性质与判定解解题思路题思路EFABEFAB，A=ECA=55A=ECA=55.ACB=90ACB=90，B=90B=90-A=35-A=35答案答案 C C考点清单解读返回目录返回目录考点二考
13、点二 直角三角形的判定直角三角形的判定第二课时 直角三角形的性质与判定判定判定文字文字语言语言有两个角互余的三角有两个角互余的三角形是直角三角形形是直角三角形符号符号语言语言 A+B=90 A+B=90 ，则则ABC ABC 是直角三角形是直角三角形其他其他方法方法定义法：有一个角是直角的三角形是直角三角形定义法：有一个角是直角的三角形是直角三角形考点清单解读返回目录返回目录第二课时 直角三角形的性质与判定归纳总结归纳总结直角三角形的判定方法：证明三角形中有一个内角为直角三角形的判定方法：证明三角形中有一个内角为9090或证明三角形的两条边互相垂直；证明一个三角形中或证明三角形的两条边互相垂直
14、；证明一个三角形中有两个内角互余；证明三角形的一个内角与已知的直角相有两个内角互余；证明三角形的一个内角与已知的直角相等等.考点清单解读返回目录返回目录第二课时 直角三角形的性质与判定对点典例剖析答案答案B B 重难题型突破返回目录返回目录题型题型 直角三角形性质和判定的综合应用直角三角形性质和判定的综合应用例例 如图，在如图，在ABC ABC 中，点中，点 D D 是是 BC BC 延长线上一点，延长线上一点，点点 E E 是是AB AB 上一点，连接上一点，连接 DE DE，若，若AED=BEDAED=BED，AOE=B.AOE=B.求证：求证：OCD OCD 是直角三角形是直角三角形.第
15、二课时 直角三角形的性质与判定重难题型突破返回目录返回目录第二课时 直角三角形的性质与判定答案答案 证明：证法一：证明：证法一：AED=BEDAED=BED，AED+BED=180AED+BED=180，AED=BED=90AED=BED=90，在，在 Rt RtBDE BDE 中，中，BED=90BED=90，B+D=90B+D=90.AOE=B.AOE=B，AOE=CODAOE=COD，B=CODB=COD，COD+D=90COD+D=90，OCD OCD 是直角三角形是直角三角形.证法二：证法二：AED=BEDAED=BED，AED+BED=180AED+BED=180，AED=BED=
16、90AED=BED=90，AOE+A=90AOE+A=90.AOE=BAOE=B，A+B=90A+B=90，ACB=180ACB=180-90-90=90=90，OCD=90OCD=90，OCD OCD 是直角三角形是直角三角形重难题型突破返回目录返回目录第二课时 直角三角形的性质与判定变式衍生变式衍生 如图，在如图，在 Rt RtABCABC中，中，BAC=90BAC=90，BD BD 平平分分ABCABC，且，且1=21=2，求证：，求证：ABD ABD 是直角三角形是直角三角形.解：BD 平分ABC，ABD=2，又 1=2，ABD=1，BAC=BAD+1=90，BAD+ABD=90，AB
17、D 是直角三角形.重难题型突破返回目录返回目录第二课时 直角三角形的性质与判定解题通法解题通法 见直角三角形，可得两锐角互余；见三角见直角三角形，可得两锐角互余；见三角形中两内角互余，可得直角三角形形中两内角互余，可得直角三角形.易错易混分析返回目录返回目录直角不确定时，没有分类讨论导致丢解直角不确定时，没有分类讨论导致丢解第二课时 直角三角形的性质与判定例例 如图，已知如图，已知AOD=30AOD=30，点，点 C C 是射线是射线 OD OD 上的一个上的一个动点在点动点在点 C C 的运动过程中，的运动过程中，AOC AOC 恰好是直角三角形，恰好是直角三角形，则此时则此时A A 所有可
18、能的度数为所有可能的度数为 _._.易错易混分析返回目录返回目录第二课时 直角三角形的性质与判定解解析析 在在AOC 中，中，AOC=30，AOC 恰好是直角三角形时，分两种情况：恰好是直角三角形时，分两种情况：如果如果A 是直角，那么是直角，那么A=90；如果如果ACO 是直角，那么是直角，那么A=90-AOC=60答案答案 6060或或 90 90易错易错 6060 错因错因 想当然地认为想当然地认为ACO ACO 是直角，丢了是直角，丢了A A 是直是直角的情况角的情况.易错易混分析返回目录返回目录第二课时 直角三角形的性质与判定易错警示易错警示 对于此类动点问题，直角三角形中没有给出对于此类动点问题，直角三角形中没有给出明确度数的内角都可能是直角，注意分类讨论，以防丢解明确度数的内角都可能是直角，注意分类讨论，以防丢解.领悟提能领悟提能 遇到求特殊三角形（直角三角形和等腰三角遇到求特殊三角形（直角三角形和等腰三角形）中的边、角问题时，若有不确定的元素，往往需要分形）中的边、角问题时，若有不确定的元素，往往需要分类讨论，并注意所有情况是否符合三边关系和内角和定理类讨论，并注意所有情况是否符合三边关系和内角和定理.
