1、6.6 6.6 余角和补角余角和补角第第6 6章章 基本基本的几何图形的几何图形知识点知识点互为余角与互为补角的概念互为余角与互为补角的概念知知1 1讲讲11.互为余角互为余角若两个角的和为若两个角的和为90，就说这两个角互为余角，简称，就说这两个角互为余角，简称互互余余，其中一个角叫作另一个角的余角，其中一个角叫作另一个角的余角.数学语言：若数学语言：若1290，就说，就说1是是2的的余角，余角，或或2是是1的的余角，或余角，或1与与2互互为余角，如图为余角，如图6.61.钝角没有余角钝角没有余角.知知1 1讲讲2.互为补角互为补角若两个角的和为若两个角的和为180，就说这两个角互为补角，就
2、说这两个角互为补角，简称简称互补互补，其中一个角叫作另一个角的补角。，其中一个角叫作另一个角的补角。数学语言：若数学语言：若34180，就，就说说3是是4的补角的补角，或或4是是3的的补角补角，或或3与与4互互为补角，如图为补角，如图6.62.延伸拓展：若两个角有一条公共边，另一条边互为延伸拓展：若两个角有一条公共边，另一条边互为反向反向延长线延长线，就说这两个角互为邻补角。，就说这两个角互为邻补角。知知1 1讲讲3.一个角的余角一个角的余角(或补角或补角)可以有多个，但它们的度数可以有多个，但它们的度数是相是相等等的，互余、互补是指具有一定数量关系的两个角的，互余、互补是指具有一定数量关系的
3、两个角.知知1 1讲讲特别提醒特别提醒1.互余、互补是指互余、互补是指两个两个角之间的数量角之间的数量关系关系，它们是，它们是成对成对出现出现的的.2.互余、互补互余、互补只与只与数量数量有关，与位置有关，与位置无关无关.互余和互补互余和互补揭示的揭示的是是两个角之间两个角之间的数量的数量关系：一个关系：一个锐角锐角的余角为的余角为90，补角，补角为为180.3.若两个角互余，若两个角互余，则这则这两个角都是两个角都是锐角锐角，若两个角互补，若两个角互补，则，则这这两个角可能两个角可能都是都是直角，也可能直角，也可能一个一个是锐角，另一是锐角，另一个是个是钝角钝角.知知1 1练练例 1已知一个
4、角的补角比这个角的已知一个角的补角比这个角的余角的余角的3倍倍大大10，求，求这个角的度数这个角的度数.解题秘方解题秘方：紧扣余角和补角的定义，结合它们之间紧扣余角和补角的定义，结合它们之间的的数量关系数量关系列方程解答列方程解答.知知1 1练练解：设这个角的度数是解：设这个角的度数是x，则这个角的补角为则这个角的补角为(180 x)，余角为，余角为(90 x).根据题意得根据题意得(180 x)3(90 x)10，解这个方程得解这个方程得x50.所以这个角的度数为所以这个角的度数为50.知知1 1练练1-1.若若A40，则，则 A的的余角的余角的大小是大小是()A.50 B.60C.140
5、D.1601-2.若若 与与 互互为补角为补角，是是 的的2 倍倍，则，则 的度数为的度数为()A.20 B.30C.40 D.60AD知知1 1练练如图如图6.63，点，点O为直线为直线AB上一点上一点，AOCDOE90.例 2解题秘方解题秘方：由已知条件，结由已知条件，结合合余角余角、补角、补角的定义解答的定义解答.知知1 1练练解解：因为：因为点点O为为直线直线AB上上一点一点，所以，所以BOCAOC180，DOE14180.因为因为AOCDOE90，所以，所以1290，2390，BOC3490，149 0.所以所以图中互余的角有图中互余的角有4 对，分别是对，分别是1和和 2，2和和3
6、，3和和4，1和和4.(1)图中互余的角有几对？各是哪些图中互余的角有几对？各是哪些？知知1 1练练(2)图中互补的角有几对？各是哪些？图中互补的角有几对？各是哪些？解：解：由已知得由已知得1BOD180，4AOE180.因为因为1290，2390，所以所以13.所以所以3BOD180.因为因为3490，2390，所以所以24.所以所以2AOE180.知知1 1练练又又因为因为AOCBOC180，AOCDOE 180，DOEBOC180，所以图中互补的角有所以图中互补的角有7对对，分别是，分别是1和和BOD，4和和AOE，3和和BOD，2和和AOE，AOC和和BOC，AOC和和DOE，DOE和
7、和BOC.知知1 1练练D知知2 2讲讲知识点知识点余角、补角的性质余角、补角的性质21.余角的性质余角的性质同角或等角的余角相等同角或等角的余角相等.(1)如果如果1290，1390，那么，那么23；(2)如果如果1290，3490，且，且1 3，那么那么24.2是是1的余角的余角3是是1的余角的余角2是是1的余角的余角 4是是3的余角的余角知知2 2讲讲2.补角的性质补角的性质同角或等角的补角相等同角或等角的补角相等.(1)如果如果1 2180，13180，那么，那么23；(2)如果如果12180，34180，且且1 3，那么，那么24.2是是1的补角的补角3是是1的补角的补角2是是1的补
8、角的补角 4是是3的补角的补角知知2 2讲讲特别提醒特别提醒1.如果互补的两个如果互补的两个角相等角相等，那么这两，那么这两个角个角都是直角都是直角.2.“同角同角”指同一指同一个角个角，“等角等角”指指度数相等度数相等的角，同角的角，同角一定一定是等角，但是等角，但等角不一定等角不一定是同角是同角.3.余角、补角的余角、补角的性质是性质是说明两个角说明两个角相等的相等的重要依据重要依据.知知2 2练练如图如图6.64，直线直线AB 与与 COD的的两边两边OC，OD 分分别相交于点别相交于点E，F，1 2180.找出图中与找出图中与 2 相等的角，相等的角，并说明并说明理由理由.解题秘方解题
9、秘方：先找出与先找出与 1 和和 2 互补互补的角的角，然后，然后利用互补的关系找出与利用互补的关系找出与2 相等的角相等的角.例 3知知2 2练练解：解：因为因为13180，12180，所以所以32.因为因为14180，12180，所以所以42.因为因为25180，65180，所以所以26.所以图中与所以图中与2相等相等的角有的角有3，4，6.同角的同角的补补角相等角相等同角的同角的补补角相等角相等同角的同角的补补角相等角相等知知2 2练练3-1.如图，直线如图，直线AB与与CD 相交于相交于O，OD是是BOE的的平分线平分线.知知2 2练练(1)AOC 与与 DOE相等相等吗？请说明理由吗
10、？请说明理由.解解：AOC与与DOE相等理由如下：相等理由如下：因为因为DOBAODAOCAOD180，所以所以BODAOC.因为因为OD是是BOE的平分线，的平分线，所以所以DOEBOD.所以所以AOCDOE.知知2 2练练(2)直接写出直接写出 DOE的的补角补角.解：解：COE，AOD，BOC是是DOE的补角的补角知知2 2练练如图如图6.6-5，已知已知O是是直线直线AB上上一点，一点，OC是是一一条射条射线线，OD平分平分AOC，DOE90，OE平分平分BOC 吗吗？为什么？为什么？例 4解题秘方解题秘方：紧扣角平分线的紧扣角平分线的定义，利用余角的性质定义，利用余角的性质说明说明两两个角相等个角相等.知知2 2练练解解：OE平分平分BOC.理由如下：理由如下：因为因为DOE90，AOB180，所以所以DOCCOE90，AODBOE90.因为因为OD平分平分AOC，所以所以AODDOC.所以所以COEBOE.所以所以OE平分平分BOC.知知2 2练练4-1.如图如图，如果，如果AOBCOD90，那么，那么12，这是这是根据根据().A.直角都相等直角都相等B.等角的余角相等等角的余角相等C.同角的余角相等同角的余角相等D.同角的补角相等同角的补角相等C余角和补角余角和补角余角和余角和补角补角互余互余互补互补和为和为90和为和为180性质性质
