1、3.5 3.5 二二元一次方程组的应用元一次方程组的应用第三章第三章 一次方程一次方程与方程组与方程组知知1 1讲讲知识点知识点列二元一次方程组解应用题的基本步骤列二元一次方程组解应用题的基本步骤11.列方程组解应用题的基本思路列方程组解应用题的基本思路设未知数、列方程组设未知数、列方程组转化转化实际问题实际问题解二解二元元一次一次方程组方程组实际问题实际问题的答案的答案检验检验解方解方程组程组代入法代入法加减法加减法(消元消元)数学问题的解数学问题的解(二元一次方程组的解二元一次方程组的解)2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤列二元一次方程组解应用题的一般步骤(1)审：审：通过审题，把实际
2、问题抽象成数学问题；通过审题，把实际问题抽象成数学问题；(2)设：设：分析已知量和未知量，并用字母表示其中的两个分析已知量和未知量，并用字母表示其中的两个未知量未知量(设元设元)；(3)找：找：找出题中的两个等量关系；找出题中的两个等量关系；(4)列：列：根据等量关系列出方程组；根据等量关系列出方程组；(5)解：解：解这个方程组，求出未知数的值；解这个方程组，求出未知数的值；(6)答：答：检验所求解是否符合实际意义，写出答案检验所求解是否符合实际意义，写出答案.知知1 1讲讲3.列二元一次方程组解决实际问题常见的类型列二元一次方程组解决实际问题常见的类型和差倍分问题、古代算术问题、积分问题、行
3、程问题、和差倍分问题、古代算术问题、积分问题、行程问题、百分比问题、分配问题、销售问题、数字问题、工程问题、百分比问题、分配问题、销售问题、数字问题、工程问题、图形面积问题等图形面积问题等.知知1 1讲讲知知1 1讲讲特别解读特别解读1.一般来说有几个一般来说有几个未知量未知量就必须列出几个就必须列出几个方程方程，所列方程必须所列方程必须满足满足：方程两边：方程两边表示的表示的是同类是同类量；量；同类量同类量的单位要统一的单位要统一；方程两边的方程两边的数数值要值要相等相等.2.不同类型的问题不同类型的问题中都中都有各自的有各自的代表性词语代表性词语，如，如销售问题销售问题中的中的“售价售价”
4、“”“标价标价”“折扣折扣”等等.知知1 1练练例1知知1 1练练解题秘方解题秘方：紧扣人数之间的数量关系，关键是和紧扣人数之间的数量关系，关键是和差倍分差倍分关系关系，建立已知量与未知量间，建立已知量与未知量间的等量关系的等量关系.知知1 1练练1-1.为响应为响应“建设美丽乡村建设美丽乡村”，某村在，某村在河岸上河岸上种植了种植了柳树和柳树和香樟树香樟树，已知种植柳树的，已知种植柳树的棵数棵数比香樟树的棵比香樟树的棵数数多多22，种植香樟树的棵，种植香樟树的棵数比数比总数的三分之一总数的三分之一少少2.则柳树、香樟树则柳树、香樟树各种了各种了多少棵？多少棵？知知1 1练练列方程组解古算题：
5、列方程组解古算题：“巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧.三百六十四只碗，看看用尽不差争三百六十四只碗，看看用尽不差争.三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹.请问先生明算者，算来寺内几多僧？请问先生明算者，算来寺内几多僧？”例2 知知1 1练练解题秘方解题秘方：先将古算题用通俗的文字叙述，然后先将古算题用通俗的文字叙述，然后再找再找等量关系等量关系，列方程组解决问题，列方程组解决问题.此题如果直接将僧人的人数设为此题如果直接将僧人的人数设为 x，那么那么求解较复杂，因此需采用间接设求解较复杂，因此需采用间接设元法元法.知知1 1练练知知1 1练练
6、2-1.中考中考 盐城盐城 我国我国古代数学著作古代数学著作九九章算术章算术中中有这样一个有这样一个问题问题：“今有共买物，人今有共买物，人出八出八，盈三；，盈三；人出七，人出七，不足四不足四，问人数、物价各，问人数、物价各几何几何？”意思意思是：是：“几几个人一起个人一起去购买某物品，去购买某物品，每人每人出出 8 钱，钱，则多出则多出 3 钱钱；每；每 人人 出出 7 钱，钱，则还差则还差 4钱钱.问人数、问人数、物品的物品的价格价格分别是多少？分别是多少？”该该问题问题中的人数为中的人数为 _.7知知1 1练练母母题题 教材教材 P118 例例 1 为为提升学生的身体素质，落实教提升学生
7、的身体素质，落实教育部育部门门“在校学生每天锻炼时间不少于在校学生每天锻炼时间不少于1小时小时”的文的文件精神，某校利用件精神，某校利用课后课后服务时间，在七年级开展服务时间，在七年级开展“体体育赋能，助力成长育赋能，助力成长”班级篮球赛班级篮球赛，共，共16个班级参加个班级参加.比比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积场积3分，分，负一场积负一场积1分分.某班级在某班级在15场比赛中获得的总积分为场比赛中获得的总积分为41分分，问，问该班级胜、负场数分别是多少？该班级胜、负场数分别是多少？例3知知1 1练练解题秘方解题秘方：紧扣紧扣“比赛积分规定比
8、赛积分规定”及及“在在 15 场比场比赛中赛中获得的获得的总积分为总积分为 41 分分”建立方程建立方程组求解组求解知知1 1练练3-1.某校数学小组某校数学小组的一的一次知识竞赛活动，次知识竞赛活动，共准备了共准备了 25 道道题题，评分标准评分标准如下：答对如下：答对 1 题题得得4分，答错分，答错1题题得得 1分分，不，不答得答得 0 分分(1)若小明答对若小明答对 18 道题道题，答错，答错 3 道题，道题，则小则小明得了多少明得了多少分分？解解：1843(1)69(分分)，所以小明得了，所以小明得了69分分知知1 1练练(2)小亮所有题都答了小亮所有题都答了，他说他正好得了他说他正好
9、得了 69 分，分，请列请列方程分析方程分析小亮的说法小亮的说法是否是否正确正确知知1 1练练母母题题 教材教材 P119 例例 2 甲、乙两城相距甲、乙两城相距 1 120 km，一一列快车列快车从甲从甲城开往乙城，出发城开往乙城，出发120 km后，另一列动后，另一列动车从乙城出发开往甲城车从乙城出发开往甲城，2 h 后两车相遇后两车相遇.已知快车已知快车平均每小时行驶的路程比动车平均平均每小时行驶的路程比动车平均每小时每小时行驶的路程行驶的路程的一半还多的一半还多 5 km，动车与快车平均每小时，动车与快车平均每小时各行驶各行驶多多少千米？少千米？例4 知知1 1练练解题秘方解题秘方：用
10、示意图来表示数量关系，如图用示意图来表示数量关系，如图 3.5-1.知知1 1练练知知1 1练练4-1.育才中学新建育才中学新建的塑胶的塑胶操场跑道的一操场跑道的一圈的长为圈的长为 400 m.甲、甲、乙两乙两名运动员从同名运动员从同一起点一起点 同时出发同时出发，相，相 背背 而跑而跑，40 s 后两人首次后两人首次相遇相遇；从同一起点同时；从同一起点同时出出发发，同向而跑，同向而跑，200 s 后甲后甲首次追上乙首次追上乙.求甲求甲、乙、乙运动员的速度运动员的速度.知知1 1练练知知1 1练练某人骑自行车从某人骑自行车从 A 地出发去地出发去 B 地，先以每小时地，先以每小时 12 km
11、的速度的速度下坡，再以每小时下坡，再以每小时 9 km 的速度在平路上行驶的速度在平路上行驶至至 B 地，共地，共用用55 min；回来时他以每小时；回来时他以每小时 8 km 的速的速度通过平路后，再以度通过平路后，再以每小时每小时 4 km 的速度上坡至的速度上坡至 A 地，地，共用共用 1.5 h.求求 A，B 两地之间的路程两地之间的路程.例5知知1 1练练解题秘方：解题秘方：上、下坡路程的往返问题中，虽然每上、下坡路程的往返问题中，虽然每段路程段路程不变不变，但速度发生了改变，但速度发生了改变.根根据时间关系列出方程组解决问题据时间关系列出方程组解决问题.知知1 1练练相等关系中的单
12、位要统一相等关系中的单位要统一.所设非所求，需进一步计算所设非所求，需进一步计算.知知1 1练练5-1.小华从家里到小华从家里到学校学校的路是一段平路的路是一段平路和一段和一段下坡路，下坡路，假设他假设他始终始终保持平路每分钟保持平路每分钟走走60米，下坡路每分钟米，下坡路每分钟走走80米，上坡路米，上坡路每分钟走每分钟走40米的速度，从家里到学米的速度，从家里到学校需校需10分钟，从学校到分钟，从学校到家里需家里需15分钟，分钟，请问小请问小华家华家离学校多远？离学校多远？知知1 1练练知知1 1练练我国古典文学名著我国古典文学名著西游记西游记讲述了讲述了孙悟空孙悟空、猪八戒、猪八戒、沙和尚
13、保护唐僧西天取经，沿途降妖除魔，沙和尚保护唐僧西天取经，沿途降妖除魔，历经九九历经九九八十一八十一难，到达西天取得真经修成正果的故事难，到达西天取得真经修成正果的故事.现请现请你你欣赏下面欣赏下面描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只妖踪，千里只行四分钟行四分钟，归时四分行六百，风速多少，归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空才称雄？解释：孙悟空顺风去顺风去查妖精的行踪，查妖精的行踪，4 分钟分钟就飞跃就飞跃 1 000 里，逆风返回时里，逆风返回时 4 分钟走分钟走了了600 里，则里，则风速风速是是_ 里里/分分.例6 50知知1 1练练
14、解题秘方解题秘方：本题的关键是找到各速度之间的关系：本题的关键是找到各速度之间的关系：顺速顺速=静静速速+风速，逆速风速，逆速=静速风静速风速，再结合公式速，再结合公式“路程路程=速度速度 时间时间”列列方程方程(组组)求解求解.知知1 1练练6-1.一艘轮船在一艘轮船在相距相距90 km 的甲、乙两地的甲、乙两地之间之间匀速航行，匀速航行，从甲地从甲地到乙地顺流航行用到乙地顺流航行用 6 h，从，从乙地到甲地逆流乙地到甲地逆流航行航行比顺流航行多用比顺流航行多用4 h.(1)求求该轮船在静水该轮船在静水中的中的速度和水流速度速度和水流速度.知知1 1练练知知1 1练练(2)若在甲若在甲、乙、
15、乙 两两 地地 之间之间 建建 立立 丙丙 码码 头，头，使该使该轮船从轮船从甲地到甲地到丙地丙地和从乙地到丙和从乙地到丙地所地所用的航行时间用的航行时间相同相同，问甲、丙两地问甲、丙两地相距相距多少千米？多少千米？知知1 1练练在某学校食堂为学生提供的在某学校食堂为学生提供的 400 g 早餐早餐套餐中，蛋白套餐中，蛋白质总含量为质总含量为 10%，包括一个谷物面包、一盒，包括一个谷物面包、一盒牛奶和牛奶和一一个去壳个去壳鸡蛋鸡蛋(一一个去壳鸡蛋的质量约为个去壳鸡蛋的质量约为 50 g，其中蛋白，其中蛋白质质含量含量为为 11 g)已知牛奶的蛋白质含量为已知牛奶的蛋白质含量为 7%，面包，面
16、包的蛋白质含量的蛋白质含量为为10%.则该份早餐中谷物面包有多少则该份早餐中谷物面包有多少克，牛奶有多少克？克，牛奶有多少克？例7知知1 1练练解题秘方解题秘方：借助表格分析题意，如下：借助表格分析题意，如下：谷物面包谷物面包 牛奶牛奶 去壳鸡蛋去壳鸡蛋 总量总量质量质量/g x y 50 400蛋白质含蛋白质含量量/g 10%x 7%y 11 400 10%知知1 1练练知知1 1练练7-1.中考中考 安徽安徽 根据根据经营情况，公司对经营情况，公司对某商品某商品在甲、在甲、乙两地的乙两地的销售销售单价进行了如下单价进行了如下调整调整：甲：甲 地地 上上 涨涨 10%，乙地乙地降价降价5 元
17、，已知元，已知销售单价销售单价调整前甲地比调整前甲地比乙地乙地少少10元，调整后甲元，调整后甲地比地比乙地少乙地少1元，求元，求调整前调整前甲、乙两地该商品甲、乙两地该商品的销售的销售单价单价.知知1 1练练知知1 1练练乡村振兴战略实施以来，很多乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡外出人员返乡创业创业.某某村有部分返乡青年承包了一些田地村有部分返乡青年承包了一些田地.采用新技术采用新技术种植种植 A，B 两种农作物两种农作物.种植这两种农作物每公顷所需人种植这两种农作物每公顷所需人数和数和投入资金投入资金如表如表：例8 农作物品种农作物品种 每公顷所需人数每公顷所需人数 每公顷所需投入资金
18、每公顷所需投入资金/万元万元A 4 8B 3 9知知1 1练练已知已知农作物种植人员共农作物种植人员共 24 位，且每人只参与一种农位，且每人只参与一种农作物作物种植种植，投入资金共，投入资金共 60 万元万元.问问 A，B 两种农作两种农作物的种植面积各物的种植面积各多少公顷多少公顷？知知1 1练练解题秘方解题秘方：分析题目中的已知量和未知量，找准分析题目中的已知量和未知量，找准题目中题目中的等量的等量关系，引入未知数，列关系，引入未知数，列表如下：表如下：农作物品种农作物品种 种植面积种植面积/公顷公顷 需要人数需要人数 投入资金投入资金/万元万元A x 4x 8xB y 3y 9y知知1
19、 1练练知知1 1练练8-1.学校准备租用学校准备租用一批一批汽车，现有甲、乙汽车，现有甲、乙两种两种大客车，大客车，甲种客车甲种客车每辆每辆 载载 客客 量量 为为 45 人，人，乙种乙种客车每辆载客车每辆载客量客量为为30 人，已知人，已知 2 辆甲种辆甲种客车客车和和3辆乙种客车辆乙种客车共共需租需租 金金 1 540 元，元，3 辆辆 甲种甲种客车和客车和2辆乙种辆乙种客客车共车共需租金需租金 1 560 元元(1)1 辆甲种客车和辆甲种客车和 1 辆乙辆乙种客车的租金种客车的租金分别分别是多少元是多少元？知知1 1练练知知1 1练练(2)学校计划租用甲、乙学校计划租用甲、乙两种客车共
20、两种客车共 8 辆辆，送，送 330 名师名师生集体外出活生集体外出活 动，刚动，刚 好全部好全部 坐坐 满，问满，问 租租 车费用车费用是多少？是多少？解：解：设设租用甲种客车租用甲种客车m辆辆，则，则租用乙种客车租用乙种客车(8m)辆，辆，由题意，得由题意，得45m30(8m)330，解得解得m6，则，则8m2，320630022 520(元元)答：租车费用是答：租车费用是2 520元元知知1 1练练某商场购进甲、乙两种商品后，甲商品加价某商场购进甲、乙两种商品后，甲商品加价 50%、乙、乙商品商品加价加价 40%作为标价，适逢元旦，该商场举办促作为标价，适逢元旦，该商场举办促销活动，甲销
21、活动，甲商品打商品打八折销售，乙商品打八五折销售八折销售，乙商品打八五折销售.某顾客购买甲、乙两种商品某顾客购买甲、乙两种商品各各1件，共付款件，共付款 538元元.已已知该商场共盈利知该商场共盈利 88元，求甲、乙两种元，求甲、乙两种商品每商品每件的进价件的进价各是多少元各是多少元.例9知知1 1练练解题秘方解题秘方：紧扣销售问题中每个量的意义及各个紧扣销售问题中每个量的意义及各个量之间量之间的数量的数量关系，列出方程组，解关系，列出方程组，解决问题决问题.知知1 1练练知知1 1练练9-1.已知甲已知甲、乙两种商品乙两种商品的原单价和为的原单价和为 200元元.因市场变因市场变化，甲化，甲
22、商品商品降价降价 10%，乙商品，乙商品加价加价 10%，调价后甲调价后甲、乙两种乙两种商品的单价和商品的单价和比原比原单价和提高了单价和提高了 5%(1)求甲、乙两种商品求甲、乙两种商品的原的原单价各是多少元？单价各是多少元？知知1 1练练知知1 1练练(2)某顾客买甲、乙某顾客买甲、乙两种商两种商 品各花了品各花了495元元，合计，合计比原总比原总价是少价是少出了出了，还是多出了？，还是多出了？少出少出或多出了多少钱？或多出了多少钱？知知1 1练练母母题题 教材教材 P135 复习题复习题 C 组组 T1 有有一个三位数，现一个三位数，现将最左边的将最左边的数字数字移到最右边，则比原来的数
23、小移到最右边，则比原来的数小 45；又知原百位数字的又知原百位数字的 9 倍比倍比原三原三位数去掉百位数字后的位数去掉百位数字后的两位数小两位数小 3，求原三位数，求原三位数.例10 解题秘方解题秘方：设出数位上的数字，利用数位上的数设出数位上的数字，利用数位上的数字表示字表示出数出数，根据题目中的数量关系，根据题目中的数量关系列出方程组列出方程组.知知1 1练练不直接设三位数，而是设数不直接设三位数，而是设数位上的数字位上的数字.知知1 1练练10-1.期末期末宿州宿州两个两个两位数的和是两位数的和是68，在较大在较大的两位的两位数的数的右边接着右边接着写较小的两位数写较小的两位数，得到，得
24、到一个四位数；一个四位数；在在较大较大的两位数的左边的两位数的左边写上写上较小的两位数，也较小的两位数，也得得到到一个四位数一个四位数已知前已知前一个四位数比后一个四位数比后一个一个 四四 位位 数数 大大 2 178，求这求这两个两位数两个两位数.知知1 1练练知知1 1练练母母题题 教材教材 P123 习题习题 T6某地某地公园工程指挥部计划在公园工程指挥部计划在休闲休闲地带地带铺设地砖铺设地砖 1 600 m2，由甲、乙两个工程队合，由甲、乙两个工程队合作完成作完成.如果甲如果甲工程队工程队先单独做先单独做 5 天，余下的工程由天，余下的工程由乙工程队单独完成需要乙工程队单独完成需要 2
25、 天；天；如果如果甲工程队先单独做甲工程队先单独做 2 天，余下的工程由乙工程队单独完成天，余下的工程由乙工程队单独完成需要需要4 天天.那么那么甲、乙两个工程队哪一个的工作效率高？高多少？甲、乙两个工程队哪一个的工作效率高？高多少？例11知知1 1练练解题秘方解题秘方：求出甲、乙两个工程队的工作效率进求出甲、乙两个工程队的工作效率进行比较行比较，“工作效率工作效率”在此题中是指在此题中是指工程队一天完成的工作量工程队一天完成的工作量.知知1 1练练知知1 1练练11-1.某某 工工 程程 队队 承承 包了包了某段全长某段全长1 800 m的过的过 江江 隧隧 道道 施施 工工 任任 务务，甲
26、，甲、乙两个班组分别、乙两个班组分别从东从东、西两端同、西两端同时掘进时掘进，已知，已知甲组比乙组甲组比乙组平均每天平均每天多掘进多掘进2 m，经经过过5 天的施工，两组共天的施工，两组共掘进掘进 了了 60 m，为，为 加加 快快 工工程程进度，该工程队进度，该工程队改进了改进了施工技术，在剩余施工技术，在剩余的工程的工程中，甲组平均中，甲组平均每天能每天能比原来多掘进比原来多掘进 2 m，乙，乙组平均组平均每天能比每天能比原来原来多掘进多掘进 1 m，按此，按此施工施工进度，能够比进度，能够比原来原来少用少用_天天完成任务完成任务29知知1 1练练小敏做拼图游戏时发现：小敏做拼图游戏时发现
27、：8个一样大小的小长方形个一样大小的小长方形恰恰好可以好可以拼成一个大的长方形，如图拼成一个大的长方形，如图 3.5-2所示所示.小颖小颖看见了，也看见了，也来试一试来试一试，结果拼成了如图，结果拼成了如图 3.5-2所示所示的正方形，不过中间留下的正方形，不过中间留下一个一个空白，恰好是一个边长空白，恰好是一个边长为为 2 cm 的小正方形，你能算出每个小的小正方形，你能算出每个小长方形长方形的长和的长和宽各是多少吗？宽各是多少吗？例12 知知1 1练练解题秘方解题秘方：根据拼图方式找出小长方形的长和宽根据拼图方式找出小长方形的长和宽之间的之间的数量关系数量关系.知知1 1练练12-1.学校
28、为了提高学校为了提高绿化绿化品位，美化环境，品位，美化环境，准备准备将一块周将一块周长为长为76 m的的长方形草地，设计长方形草地，设计成成9个长和宽分别相等个长和宽分别相等的小长方形的小长方形(设计设计位置如位置如图所示图所示)，种上各种花卉种上各种花卉.经经市场预测市场预测，绿化每，绿化每平方米平方米的造价约为的造价约为108元元.(1)求出每个小求出每个小长方形的长方形的长和宽长和宽.知知1 1练练知知1 1练练(2)请计算完成这项请计算完成这项绿化绿化工程预计投入工程预计投入资金资金多少元？多少元？解：解：104910838 880(元元)答：完成这项绿化工程预计投入资金为答：完成这项绿化工程预计投入资金为38 880元元二元一次方二元一次方程组的应用程组的应用建模建模设列设列实际实际问题问题二元二元一次一次方程组方程组解二解二元元一次一次方程组方程组检验检验(答答)
