1、人教版高中数学选择性必修第二册 数学归纳法 分层作业(原卷版)(60分钟100分)知识点1用数学归纳法证明等式1(5分)用数学归纳法证明等式123(n3)(nN*)时，第一步验证n1，左边应取的项是()A1 B12C123 D12342(5分)用数学归纳法证明123n2，则当nk1(nN*)时，等式左边应在nk的基础上加上()Ak21B(k1)2CD(k21)(k22)(k23)(k1)23.(10分)用数学归纳法证明：13(2n1)n2(nN*)知识点2用数学归纳法证明不等式4.(5分)用数学归纳法证明：，假设nk时，不等式成立，则当nk1时，应推证的目标不等式是_5.(10分)证明不等式1
2、2(nN*)知识点3用数学归纳法证明整除问题6.(5分)用数学归纳法证明34n252n1能被14整除的过程中，当nk1时，34(k1)252(k1)1应变形为.7.(10分)用数学归纳法证明：n3(n1)3(n2)3能被9整除(nN*)8.(5分)用数学归纳法证明1aa2an(a1，nN*)，在验证n1时，左边计算所得的式子是( )A1 B1aC1aa2 D1aa2a39(5分)利用数学归纳法证明1(nN*，且n2)，第二步由k到 k1时不等式左端的变化是()A增加了这一项B增加了和两项C增加了和两项，减少了这一项D以上都不对10(5分)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”
3、，第二步归纳递推中的假设应写成()A假设n2k1(kN*)时正确，再推n2k3时正确B假设n2k1(kN*)时正确，再推n2k1时正确C假设nk(kN*)时正确，再推nk1时正确D假设nk(kN*)时正确，再推nk2时正确11(5分)对于不等式n1(nN*)，某学生的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(kN*)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，假设nk时，不等式成立，则当nk1时，应推证的目标不等式是_解析：当nk1时，目标不等式为.5.(10分)证明不等式12(nN*)证明：(1)当n1时，左边1，右边2，左边右边，不等式成立(2)假设当nk(kN*)时，不等
4、式成立，即12.当nk1时，122.所以当nk1时，不等式成立由(1)(2)可知，原不等式对任意nN*都成立知识点3用数学归纳法证明整除问题6.(5分)用数学归纳法证明34n252n1能被14整除的过程中，当nk1时，34(k1)252(k1)1应变形为.25(34k252k1)5634k2解析：当nk1时，34(k1)252(k1)18134k22552k125(34k252k1)5634k2.7.(10分)用数学归纳法证明：n3(n1)3(n2)3能被9整除(nN*)证明：(1)当n1时，13233336能被9整除，所以结论成立；(2)假设当nk(kN*)时结论成立，即k3(k1)3(k2
5、)3能被9整除则当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3k3(k1)3(k2)3(k3)3k3k3(k1)3(k2)39k227k27k3(k1)3(k2)39(k23k3)因为k3(k1)3(k2)3能被9整除，9(k23k3)也能被9整除，所以(k1)3(k2)3(k3)3也能被9整除，即nk1时结论也成立由(1)(2)知命题对一切nN*都成立8.(5分)用数学归纳法证明1aa2an(a1，nN*)，在验证n1时，左边计算所得的式子是(B)A1 B1aC1aa2 D1aa2a39(5分)利用数学归纳法证明1(nN*，且n2)，第二步由k到 k1时不等式左端的变化是()A增加了这一项B增加
6、了和两项C增加了和两项，减少了这一项D以上都不对C解析：当nk时，左端为；当nk1时，左端为，对比可知，C正确10(5分)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，第二步归纳递推中的假设应写成()A假设n2k1(kN*)时正确，再推n2k3时正确B假设n2k1(kN*)时正确，再推n2k1时正确C假设nk(kN*)时正确，再推nk1时正确D假设nk(kN*)时正确，再推nk2时正确B解析：n为正奇数，在证明时，应假设n2k1(kN*)时正确，再推出n2k1时正确故选B.11(5分)对于不等式n1(nN*)，某学生的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(
7、kN*)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，(k1)1，所以当nk1时，不等式成立上述证法()A过程全都正确Bn1验证不正确C假设不正确D从nk到nk1的推理不正确D解析：n1的验证及假设都正确，但从nk到nk1的推理中没有使用假设作为条件，而是通过不等式的放缩法直接证明，这不符合数学归纳法的证明要求故选D12.(5分)用数学归纳法证明1222(n1)2n2(n1)22212时，由nk的假设到证明nk1时，等式左边应添加的式子是_(k1)2k2解析：当nk时，左边1222(k1)2k2(k1)22212.当nk1时，左边1222k2(k1)2k2(k1)22212，所以等式左边添加的式子为(
8、k1)2k2.13.(5分)用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN*)，“从k到k1”左端增乘的代数式为_2(2k1)解析：令f(n)(n1)(n2)(nn)，则f(k)(k1)(k2)(kk)，f(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)，所以2(2k1).14.(5分)若存在正整数m，使得f(n)(2n7)3n9(nN*)能被m整除，则m的最大值为_36解析：f(1)36，f(2)363，f(3)3610，猜想m的最大值为36.15.(15分)已知数列an的前n项和为Sn，其中an且a1.(1)求a2，a3；(2)猜想数列an的通项公式，并证明解：(1)a2，a1，则a2，类似地求得a3.(2)由a1，a2，a3，猜想：an.证明：当n1时，由(1)可知等式成立假设当nk时猜想成立，即ak，那么，当nk1时，由题设an，得ak，ak1，所以Skk(2k1)akk(2k1)，Sk1(k1)(2k1)ak1，ak1Sk1Sk(k1)(2k1)ak1.因此，k(2k3)ak1.所以ak1.这就证明了当nk1时命题成立由可知命题对任意nN*都成立
