1、 类型一对称性、增减性问题类型一对称性、增减性问题1 类型二公共点问题类型二公共点问题2 类型三整点问题类型三整点问题3类型一对称性、增减性问题类型一对称性、增减性问题1.(2021朝阳区一模朝阳区一模)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，抛物线中，抛物线yax2bxa4(a0)的对称轴是直线的对称轴是直线x1.(1)求抛物线求抛物线yax2bxa4(a0)的顶点坐标；的顶点坐标；综合提升综合提升三阶三阶解：解：(1)对称轴是直线对称轴是直线x1，1，b2a，yax22axa4a(x1)24，顶点坐标为顶点坐标为(1，4)；2ba(2)当当2x3时，时，y的最大值是的最大值是5，求，求a
2、的值；的值；(2)若若a0，则抛物线开口向下，则抛物线开口向下，y的最大值在对称轴处取得，从而的最大值在对称轴处取得，从而y有有最大值为最大值为4，当当2x3时，时，y的最大值是的最大值是5，且抛物线的对称轴为直线，且抛物线的对称轴为直线x1，函数此时在函数此时在x1时取得最大值时取得最大值5，这与这与y有最大值有最大值4矛盾，从而矛盾，从而a0，抛物线的顶点为图象的最低点抛物线的顶点为图象的最低点1(2)31，当当x2时，时，y5，代入代入ya(x1)24，得，得a(21)245，解得解得a1；(3)在在(2)的条件下，当的条件下，当txt1时，时，y的最大值是的最大值是m，最小值是，最小值
3、是n，且，且mn3.求求t的值的值(3)由由(2)得，得，a1，y(x1)24.当当t 1 t1时，此时时，此时0 t 1，n4，函数的最大值在，函数的最大值在t1或或t处取得，即处取得，即mt24或或m(t1)24，m的最大值为的最大值为3，此时此时mn1，不符合题意，舍去；不符合题意，舍去；当当t11，即，即t0时，时，m(t1)24，n(t11)24t24，mn3，(t1)24(t24)3，t1；当当t1时，时，同理可得同理可得t2，综上所述，综上所述，t的值为的值为1或或2.2.(2023北京北京)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，抛物线中，抛物线yx24x3与与x轴交轴交于点
4、于点A，B(点点A在点在点B的左侧的左侧)，与，与y轴交于点轴交于点C.(1)求直线求直线BC的表达式；的表达式；解：解：(1)抛物线抛物线yx24x3与与x轴交于点轴交于点A，B(点点A在点在点B左侧左侧)，令令y0，则有，则有x24x3(x3)(x1)0，解得解得x11，x23，A(1，0)，B(3，0)抛物线抛物线yx24x3与与y轴交于点轴交于点C，令令x0，得，得y3，C(0，3)设直线设直线BC的表达式为的表达式为ykxb(k0)，将将B(3，0)，C(0，3)代入代入ykxb，得，得 解得解得直线直线BC的表达式为的表达式为yx3；30,3,kbb 1,3,kb (2)垂直于垂直
5、于y轴的直线轴的直线l与抛物线交于点与抛物线交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，与直线，与直线BC交于点交于点N(x3，y3)若若x1x2x3，结合函数的图象，求，结合函数的图象，求x1x2x3的取的取值范围值范围(2)yx24x3(x2)21，抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线x2，顶点坐标为，顶点坐标为(2，1)由题意可知，点由题意可知，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1x2)关于直线关于直线x2对称，对称，x1x24.如解图，当如解图，当x1x2且且x2x3时，时，此时此时N、B、Q三点重合，三点重合，x33，此时此时x1x2x31337；第2题解图如解图，当如解图，
6、当x1x2x3时，时，此时点此时点P、Q重合且在抛物线顶点处，重合且在抛物线顶点处，此时点此时点P纵坐标为纵坐标为1，将将y1代入直线代入直线BC的表达式，则的表达式，则x34，此时此时x1x2x32248；第2题解图结合解图，解图，结合解图，解图，当当x1x2x3时，则时，则3x34，当直线当直线l位于位于x轴上方或抛物线顶点下方时，轴上方或抛物线顶点下方时，均不满足均不满足x1x2y2，理由如下：，理由如下：当当m0时，二次函数解析式是时，二次函数解析式是yx2，对称轴为，对称轴为y轴；轴；图形图形G如解图如解图.第3题解图图形图形G上的点的横纵坐标上的点的横纵坐标x和和y，满足，满足y随
7、随x的增大而减小的增大而减小x1y2；若对于若对于x1m2，x2m2，都有，都有y1y2，求，求m的取值范围的取值范围通过计算可知，抛物线翻折之前通过计算可知，抛物线翻折之前M、N对应点的坐标分别为对应点的坐标分别为P(m2，4)，Q(m2，4)为抛物线上关于对称轴为抛物线上关于对称轴xm对称的两点，对称的两点，下面讨论当下面讨论当m变化时，变化时，y轴与点轴与点P，Q的相对位置：的相对位置：()如解图，当如解图，当y轴在点轴在点P左侧时左侧时(含点含点P)，第3题解图经翻折后，得到点经翻折后，得到点M，N的纵坐标相同，的纵坐标相同，即即y1y2，不符合题意；，不符合题意；()如解图，当如解图
8、，当y轴在点轴在点Q右侧时右侧时(含点含点Q)，第3题解图第3题解图()如解图，当如解图，当y轴在点轴在点P，Q之间时之间时(不含点不含点P，Q)，点点M，N分别和点分别和点P，Q重合，重合，y1y2，不符合题意；，不符合题意；经翻折后，点经翻折后，点N在在l下方，点下方，点M，P重合，在重合，在l上方，上方，y1y2，符合题意，符合题意此时有此时有m20m2，即，即2m2.综上所述，综上所述，m的取值范围为的取值范围为2m2.4.(2021朝阳区二模朝阳区二模)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，点中，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)为抛物线为抛物线yax22ahxah21(a 0
9、)上的两点上的两点(1)当当h1时，求抛物线的对称轴；时，求抛物线的对称轴；解：解：(1)当当h1时，抛物线的表达式为时，抛物线的表达式为yax22axa1，ya(x1)21，抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线x1；(2)若对于若对于0 x12，4hx25h，都有，都有y1y2，求，求h的取值范围的取值范围(2)设抛物线上四个点的坐标为设抛物线上四个点的坐标为A(0，yA)，B(2，yB)，C(4h，yC)，D(5h，yD)a0，y1的最小值必为的最小值必为yA或或yB.抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线x h.由由a0可知，当可知，当2h时，存在时，存在y2y1，不符合题意；，不
10、符合题意；-22aha当当h2.当当xh时，时，y随随x的增大而减小，的增大而减小，yByCyD.当当h 时，时，4hh .yAyCyD，符合题意，符合题意当当 h2时，时，4hhh.yA 时，时，当当xh时，时，y随随x的增大而增大，的增大而增大，yCyD，yAyB.当当h5时，时，5h0.yDyA，符合题意，符合题意当当 h0.yDyA，不符合题意，不符合题意综上所述，综上所述，h的取值范围是的取值范围是h 或或h5.5252435.(2021房山区一模房山区一模)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，抛物线中，抛物线yax22axc(a0)被被x轴截得的线段长度为轴截得的线段长度为4
11、.(1)求抛物线的对称轴；求抛物线的对称轴；解：解：(1)由抛物线由抛物线yax22axc(a0)可得，可得，抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线x 1；22aa (2)求求c的值的值(用含用含a的式子表示的式子表示)；(2)设抛物线与设抛物线与x轴的交点横坐标分别为轴的交点横坐标分别为x1，x2，且，且x1在在x2的右侧，由题的右侧，由题意可得意可得x1x24，ax22axc0，x1x22，x1x2 ，(x1x2)2(x1x2)24x1x216，4 16，解得解得c3a；ca4ca(3)若点若点M(x1，3)，N(x2，3)为抛物线上不重合的两点为抛物线上不重合的两点(其中其中x1 x2
12、)，且，且满足满足x1(x25)0，求，求a的取值范围的取值范围(3)由由(2)及点及点M(x1，3)，N(x2，3)为抛物线上不重合的两点为抛物线上不重合的两点(其中其中x10，解得解得a0或或a0时，由时，由x10，0a ；2434aa 3a2434aa 25 433aaa 1414当当a 时，由时，由x1x2可知可知x11 ，由可得由可得3 5(1 )0，化简得，化简得 8，解得解得1a ，a ，1a .综上所述，综上所述，a的取值范围为的取值范围为0a 或或1a0)经过点经过点A(m，n)(1)用含用含b的代数式表示抛物线顶点的坐标；的代数式表示抛物线顶点的坐标；解：解：(1)yx22
13、bxb22(xb)22，顶点坐标为顶点坐标为(b，2)；(2)若抛物线经过点若抛物线经过点B(0，2)，且满足，且满足0 m 3，求，求n的取值范围；的取值范围；(2)把把(0，2)代入代入yx22bxb22(b0)，得得b2或或b2(舍去舍去)，b2，抛物线解析式为抛物线解析式为yx24x2，对称轴为直线，对称轴为直线x2，顶点坐标为顶点坐标为(2，2)如解图，结合函数图象可得，如解图，结合函数图象可得，第6题解图在顶点处在顶点处n取得最小值取得最小值2；当当x0时，时，y2，当当0m3时，时，2n2；(3)若若3m5时，时，n2，结合函数图象，直接写出，结合函数图象，直接写出b的取值范围的
14、取值范围当当3m5b时，时，ymax(3b)222，1b5，矛盾，不成立，矛盾，不成立当当3b5时，时，则当则当x3时，时，y(3b)222，得，得1b5，且当且当x5时，时，y(5b)222，得，得3b7，3b5；第6题解图(3)如解图，如解图，当当b3m5时，时，ymax(5b)222，得，得3b7，矛盾，不成立，矛盾，不成立综上所述，综上所述，b的取值范围为的取值范围为3b5.第6题解图类型二公共点问题类型二公共点问题1.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，抛物线中，抛物线ymx22mxn(m0)0)与与x轴交于点轴交于点A(2，0)，B.(1)求求出抛物线的对称轴；出抛物线的对称
15、轴；综合提升综合提升三阶三阶考向一定抛物线与动线段考向一定抛物线与动线段第1题图解：解：(1)抛物线抛物线ymx22mxn，抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线x=1；22mm(2)直线直线y x4mn过点过点B，且与抛物线的另一个交点为，且与抛物线的另一个交点为C.分别求直线和抛物线所对应的函数表达式；分别求直线和抛物线所对应的函数表达式；12(2)抛物线是轴对称图形，抛物线是轴对称图形，点点A、B关于直线关于直线x1对称对称点点A的坐标为的坐标为(2，0)，点点B的坐标为的坐标为(4，0)抛物线抛物线ymx22mxn过点过点B，直线直线y x4mn过点过点B，16m8mn0，24mn0
16、，12解得解得 m ，n4，直线所对应的函数表达式为直线所对应的函数表达式为y x2，抛物，抛物线所对应的函数表达式为线所对应的函数表达式为y x2x4；1212 12 点点P为抛物线对称轴上的动点，过点为抛物线对称轴上的动点，过点P的两条直线的两条直线l1：yxa和和l2：yxb组成图形组成图形G.当图形当图形G与线段与线段BC有公共点时，直接写出有公共点时，直接写出点点P的纵坐标的纵坐标t的取值范围的取值范围联立联立 ，解得解得 点点B的坐标为的坐标为(4，0)，点点C的坐标为的坐标为(3，)当直线当直线l2：yxb1过点过点B时，时，04b1，解得，解得b14，此时直线此时直线l2所对应
17、的函数表达式为所对应的函数表达式为yx4，2122142yxyxx 1140 x,y 22372x,y 72 第1题解图【解法提示】如解图，【解法提示】如解图，当当x1时，时，yx43，点点P1的坐标为的坐标为(1，3)；第1题解图当直线当直线l2：yxb2过点过点C时，时，3b2，解得，解得b2 ，此时直线此时直线l2所对应的函数表达式为所对应的函数表达式为yx ，当当x1时，时，yx ，点点P2的坐标为的坐标为(1，)，当图形当图形G与线段与线段BC有公共点时，有公共点时，点点P的纵坐标的纵坐标t的取值范围为的取值范围为 t 3.72 132 132 132 152 152 152 点点P
18、的纵坐标的纵坐标t的取值范围为的取值范围为 t3.152 2.抛物线抛物线M：yax24axa1(a0)与与x轴交于轴交于A，B两点两点(点点A在点在点B左侧左侧)，抛物线的顶点为，抛物线的顶点为D.(1)(1)抛物线抛物线M的对称轴是直线的对称轴是直线_；x2第2题图【解法提示】【解法提示】抛物线抛物线M：yax24axa1(a0)，抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线x 2.42aa (2)当当AB2时时，求抛物线求抛物线M的函数表达式以及顶点的函数表达式以及顶点D的坐标；的坐标；(2)抛物线抛物线M：yax24axa1(a0)的对称轴为直线的对称轴为直线x2，抛物，抛物线线M与与x轴
19、的交点为点轴的交点为点A，点，点B(点点A在点在点B的左侧的左侧)，AB2，点点A，B的坐标分别为的坐标分别为(1，0)，(3，0)点点A在抛物线在抛物线M上，上，将点将点A的坐标代入抛物线的函数表达式，得的坐标代入抛物线的函数表达式，得a4aa10，解得解得a12，抛物线抛物线M的函数表达式为的函数表达式为y x22x32 (x2)212，顶点顶点D的坐标为的坐标为(2，)；121212(3)在在(2)的条件下，直线的条件下，直线l：ykxb(k0)经过抛物线的顶点经过抛物线的顶点D，直线，直线yn与抛物线与抛物线M有两个公共点，它们的横坐标分别记为有两个公共点，它们的横坐标分别记为x1，x
20、2，直线直线yn与直线与直线l的交点的横坐标记为的交点的横坐标记为x3(x34)，若当，若当2n1时，总有时，总有x1x3x3x20，请结合函数的图象，直接写出，请结合函数的图象，直接写出k的取值范围的取值范围第2题解图由由(2)知点知点D的坐标为的坐标为(2，)当当y1时，时，(2)2 2，解得，解得x2 ，当当y2时，时，(x2)2 2，解得，解得x2 .直线直线yn与直线与直线l的交点横坐标记为的交点横坐标记为x3(x34)，且当且当2n1时，总有时，总有x1x3x3x20，可以得出可以得出1212123121251332xx,xx 【解法提示】如解图，【解法提示】如解图，x34，2x3
21、4，k3，切点在点，切点在点B的右侧，不符合的右侧，不符合题意，把题意，把(3，0)代入代入y5xb中，得到中，得到b15，符合题意的符合题意的b的取值范围是的取值范围是15b3.614 72(3)b的取值范围是的取值范围是15b3.1.已知：二次函数已知：二次函数C1：y1ax22axa1(a0)(1)把二次函数把二次函数C1的表达式化成的表达式化成ya(xh)2b(a0)的形式，并写出顶点坐标；的形式，并写出顶点坐标；综合提升综合提升三阶三阶考向二动抛物线与定线考向二动抛物线与定线(线段、射线、直线线段、射线、直线)第1题图 解：解：(1)y1ax22axa1a(x1)21，二次函数二次函
22、数C1的顶点坐标为的顶点坐标为(1，1)；(2)已知二次函数已知二次函数C1的图象经过点的图象经过点A(3，1)求求a的值；的值；(2)二次函数二次函数C1的图象经过点的图象经过点A(3，1)，a(31)211，a ；12点点B在二次函数在二次函数C1的图象上，点的图象上，点A，B关于对称轴对称，连接关于对称轴对称，连接AB.二二次函数次函数C2：y2kx2kx(k0)的图象，与线段的图象，与线段AB只有一个交点，求只有一个交点，求k的取值范围的取值范围A(3，1)，对称轴为直线，对称轴为直线x1，点，点A，B关于对称轴对称，关于对称轴对称，B(1，1)，当当k00时，时，二次函数二次函数C2
23、：y2kx2kx(k0)的图象经过的图象经过A(3，1)时，时，19k3k，解得，解得k ，16二次函数二次函数C2：y2kx2kx(k0)的图象经过的图象经过B(1，1)时，时，1kk，解得，解得k ，k .当当k0时，时，二次函数二次函数C2：y2kx2kxk(x )2 k，若使二次函，若使二次函数数C2与线段与线段AB仅有一个交点，仅有一个交点，k1，k4，综上所述，综上所述，k k的取值范围是的取值范围是 k0时，如解图时，如解图，显然抛物线与线段，显然抛物线与线段BC无公共点无公共点第2题解图当当a0时，时，如解图如解图，若抛物线的顶点在线段，若抛物线的顶点在线段BC上，则顶点坐上，
24、则顶点坐标为标为(1，4)，4a4，a1.如解图如解图，若抛物线的顶点不在线段，若抛物线的顶点不在线段BC上，由抛上，由抛物线与线段物线与线段BC恰有一个公共点，得恰有一个公共点，得3a4，a .综上所述，综上所述，a的取值范围是的取值范围是a 或或a1.43 43 第2题解图综合提升综合提升三阶三阶考向三动抛物线与动线段考向三动抛物线与动线段1.(2021东城区二模东城区二模)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，抛物线中，抛物线yax23ax1与与y轴交于点轴交于点A.(1)求抛物线的对称轴；求抛物线的对称轴；解：解：(1)由抛物线由抛物线yax23ax1，可知，可知x ，抛物线的对称
25、轴为直线抛物线的对称轴为直线x ；32aa 3232(2)点点B是点是点A关于对称轴的对称点，求点关于对称轴的对称点，求点B的坐标；的坐标；(2)抛物线抛物线yax23ax1与与y轴交于点轴交于点A，令令x0，y1，点点A的坐标为的坐标为(0，1)点点B是点是点A关于直线关于直线x 的对称点，的对称点，点点B的坐标为的坐标为(3，1)；32(3)已知点已知点P(0，2)，Q(a1，1)若线段若线段PQ与抛物线恰有一个公共点，与抛物线恰有一个公共点，结合函数图象，求结合函数图象，求a的取值范围的取值范围(3)点点A(0，1)，点，点B(3，1)，点，点 P(0，2)，点，点Q(a1，1)，点点
26、P在点在点A 的上方，点的上方，点Q在直线在直线y1上上当当a0时，时，a11，点，点Q在点在点A的右侧，的右侧，第1题解图(i)如解图，当如解图，当a13，即，即a2时，点时，点Q在点在点B的左侧，的左侧，结合函数图象，可知线段结合函数图象，可知线段PQ与抛物线没有公共点；与抛物线没有公共点；(ii)如解图，当如解图，当a13，即，即a2时，点时，点Q在点在点B的的右侧，或与点右侧，或与点B重合，重合，结合函数图象，可知线段结合函数图象，可知线段PQ与抛物线恰有一个公与抛物线恰有一个公共点；共点；第1题解图当当a0时，时，a11，点，点Q在点在点B的左侧，的左侧，(i)如解图，当如解图，当0
27、a11，即，即1a0时，点时，点Q在点在点A的右侧，或与点的右侧，或与点A重合，重合，结合函数图象，可知线段结合函数图象，可知线段PQ与抛物线恰有一个公与抛物线恰有一个公共点；共点；第1题解图(ii)如解图，当如解图，当a10，即，即a1时，点时，点Q在点在点A的左侧，结合函数图象，可知线段的左侧，结合函数图象，可知线段PQ与抛物线与抛物线没有公共点没有公共点综上所述，综上所述，a的取值范围是的取值范围是1a0或或a2.第1题解图2.(2022朝阳区期末朝阳区期末)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，抛物线中，抛物线yax2bx经经过点过点(3，3)(1)用含用含a的式子表示的式子表示b
28、；解：解：(1)将点将点(3，3)代入代入yax2bx中，得中，得9a3b3.b3a1；(2)直线直线yx4a4与直线与直线y4交于点交于点B，求点，求点B的坐标的坐标(用含用含a的式的式子表示子表示)；(2)令令x4a44，得，得x4a.B(4a，4)；(3)在在(2)的条件下，已知点的条件下，已知点A(1，4)若抛物线与线段若抛物线与线段AB恰有一个公恰有一个公共点，直接写出共点，直接写出a(a0)的取值范围的取值范围【解法提示】【解法提示】a0，抛物线开口向下抛物线开口向下A(1，4)，B(4a，4)，点点A、B所在的直线为所在的直线为y4，由，由(1)得得b13a，则抛物线可化为，则抛
29、物线可化为yax2(13a)x，分两种情况讨论：当抛物线，分两种情况讨论：当抛物线yax2(13a)x的的顶点在线段顶点在线段AB上时，则上时，则1 4a或或4a 1，方程，方程ax2(13a)x4的根的判别式的根的判别式b24ac0，即，即(13a)216a0，解，解得得a1 ，a21，当，当a1 时，时，6(不符合题意不符合题意)，312aa 312aa 19 19 312aa 当当a21时，时，2，则，则1 4a成立；当抛物线经过点成立；当抛物线经过点A时，即当时，即当x1，y4时，时，a13a4，解得，解得a ；a 时，时，抛物线与线段抛物线与线段AB恰有一个公共点，综上所述，恰有一个
30、公共点，综上所述，a的取值范围为的取值范围为a1或或a 时，抛物线与线段时，抛物线与线段AB恰有一个公共点恰有一个公共点312aa 312aa 32 32 32(3)a的取值范围为的取值范围为a1或或a .32 3.(2021北师大附中期中改编北师大附中期中改编)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，抛物线中，抛物线F1：yax2bx1(a1)与与x轴交于点轴交于点A、B(点点A在点在点B的左侧的左侧)，与，与y轴交轴交于点于点C，已知点，已知点A的坐标为的坐标为(，0)，(1)求求b的值的值(用含用含a的代数式表示的代数式表示)；1a 解：解：(1)点点A的坐标为的坐标为(，0)，将点将
31、点A的坐标代入抛物线表达式并整理得的坐标代入抛物线表达式并整理得b1a；1a 第3题图(2)求点求点B的坐标；的坐标；(2)抛物线的表达式为抛物线的表达式为yax2(1a)x1，令令y0，则，则x1或或x ，故点故点B的坐标为的坐标为(1，0)；1a(3)设抛物线设抛物线F1的顶点为的顶点为P1，将该抛物线平移后得到抛物线，将该抛物线平移后得到抛物线F2，抛物，抛物线线F2的顶点的顶点P2满足满足P1P2BC，并且抛物线，并且抛物线F2过点过点B，设抛物线设抛物线F2与直线与直线BC的另一个交点为的另一个交点为D，判断线段，判断线段BC与与CD的数的数量关系量关系(不需证明不需证明)，并直接写
32、出点，并直接写出点D的坐标；的坐标；【解法提示】如解图，根据平移的性质可得【解法提示】如解图，根据平移的性质可得BCP1P2BD，CD2BC；对于；对于yax2bx1，令，令x0，则，则y1；则点；则点C(0，1)，因，因为点为点B是是C、D的中点，点的中点，点B坐标坐标(1，0)，由中点公式得，由中点公式得D(2，1)第3题解图(3)CD2BC，D(2，1)；求出抛物线求出抛物线F2与与y轴的交点纵坐标的取值范围轴的交点纵坐标的取值范围设平移后抛物线表达式为设平移后抛物线表达式为yax2bxc，图象过，图象过B(1，0)，D(2，1)，将点将点B、D的坐标代入抛物线表达式的坐标代入抛物线表达
33、式yax2bxc得得解得解得c2a1，a1，c2a11，抛物线抛物线F2与与y轴的交点纵坐标的取值范围为轴的交点纵坐标的取值范围为c1.0420abc,abc 4.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，抛物线中，抛物线yx22mxm2m的顶点为的顶点为A.(1)求抛物线的顶点坐标求抛物线的顶点坐标(用含用含m的式子表示的式子表示)；解：解：(1)yx22mxm2m(xm)2m，故点故点A的坐标为的坐标为(m，m)；第4题图(2)若点若点A在第一象限，且在第一象限，且OA ，求抛物线的解析式；，求抛物线的解析式；2(2)点点A在第一象限，且点在第一象限，且点A的坐标为的坐标为(m，m)，则则
34、OA m ，解得，解得m1，故抛物线的解析式为故抛物线的解析式为yx22x；22(3)已知点已知点B(m1，m2)，点，点C(2，2)若该抛物线与线段若该抛物线与线段BC有公共有公共点，结合函数图象，求出点，结合函数图象，求出m的取值范围的取值范围(3)将点将点B的坐标代入抛物线表达式得的坐标代入抛物线表达式得m2(m1)22m(m1)m2m，此方程无解；，此方程无解；将点将点C的坐标代入抛物线表达式得的坐标代入抛物线表达式得2222m2m2m，解得解得m2或或3，如解图，当如解图，当m2时，抛物线和线段时，抛物线和线段BC有公共点；有公共点；第4题解图如解图，当如解图，当2m0)与与x轴轴分
35、别交于分别交于A、B两点两点(点点A在点在点B的左侧的左侧)(1)求抛物线的对称轴和顶点的坐标；求抛物线的对称轴和顶点的坐标；第2题图解：解：(1)由题意得，抛物线由题意得，抛物线ymx24mx4m3m(x2)23，抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线x 2，顶点坐标为顶点坐标为(2，3)；42mm(2)对于该抛物线上的两点对于该抛物线上的两点 P(a，y1)，Q(a3，y2)，若，若 y1y2，求，求a的取的取值范围；值范围；(2)m0，该函数图象开口向上，该函数图象开口向上，抛物线上的点距离对称轴越远，抛物线上的点距离对称轴越远，y值越大值越大点点P(a，y1)，Q(a3，y2)在该抛
36、物线上，且在该抛物线上，且y1y2，点点P到对称轴的距离大于点到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离，到对称轴的距离，分三种情况讨论：分三种情况讨论：当当P、Q两点均在对称轴左侧两点均在对称轴左侧(点点Q可以在对称轴上可以在对称轴上)时，时，a32，即即a5，此时点此时点P到对称轴的距离大于点到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离，到对称轴的距离，a5；当点当点P在对称轴左侧，点在对称轴左侧，点Q在对称轴右侧时，在对称轴右侧时，a2a3，即，即5aa3(2)，解得解得a ，5a ；7272当当P、Q两点均在对称轴右侧两点均在对称轴右侧(点点P可以在对称轴上可以在对称轴上)时，时，a2，此时点此时点
37、P到对称轴的距离小于点到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离，不符合题意到对称轴的距离，不符合题意综上所述，综上所述，a的取值范围为的取值范围为a ；72(3)记抛物线记抛物线yx22x3在第二象限的部分为图形在第二象限的部分为图形W.若抛物线若抛物线ymx24mx4m3与图形与图形W有且只有一个交点，结合函数图象，求有且只有一个交点，结合函数图象，求m的取值范围的取值范围(3)设抛物线设抛物线yx22x3与与x轴负半轴交于点轴负半轴交于点C，与，与y轴交于点轴交于点D，则令则令y0，解得，解得x13，x21(舍去舍去)，C(3，0)令令x0，得，得y3，D(0，3)当抛物线当抛物线ymx24m
38、x4m3过点过点C时，时，将将C(3，0)代入得，代入得，09m12m4m3，解得解得m3；第2题解图当抛物线当抛物线ymx24mx4m3过点过点D时，时，将将D(0，3)代入得，代入得，34m3，解得解得m ；32第2题解图如解图，如解图，如解图，如解图，结合函数图象可得，若抛物线结合函数图象可得，若抛物线ymx24mx4m3与与图形图形W有且只有一个交点，则有且只有一个交点，则m的取值范围为的取值范围为 0)的顶点的顶点A在在x轴上，与轴上，与y轴交于点轴交于点B.(1)用含用含a的代数式表示的代数式表示b；解：解：(1)yax24axba(x2)2(b4a)，该抛物线顶点该抛物线顶点A的
39、坐标为的坐标为(2，b4a)，顶点顶点A在在x轴上，轴上，b4a0，即，即b4a；(2)若若BAO45，求，求a的值；的值；(2)b4a，抛物线的解析式为抛物线的解析式为yax24ax4a(a0)抛物线的顶点为抛物线的顶点为A(2，0)，与，与y轴的交点轴的交点B(0，4a)在在y轴的正半轴，轴的正半轴，BAO45，OBOA2，4a2，a ；12(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点若抛物线在点横、纵坐标都是整数的点叫做整点若抛物线在点A，B之间的部之间的部分与线段分与线段AB所围成的区域所围成的区域(不含边界不含边界)内恰好没有整点，结合函数的图内恰好没有整点，结合函数的图象，直接写出象，直接
40、写出a的取值范围的取值范围【解法提示】【解法提示】点点A(2，0)，点，点B(0，4a)，设直线设直线AB的函数解析式为的函数解析式为ymxn，代入代入A(2，0)，B(0，4a)，得得 ，解得，解得即直线即直线AB的解析式为的解析式为y2ax4a，如解图如解图，当直线，当直线AB过点过点(1，1)时，时，12a4a，解得，解得a ；204mnna 24mana 12第1题解图当直线当直线AB过点过点(1，2)时，时，22a4a，解得，解得a1；抛物线的顶点固定，抛物线的顶点固定，a越大，开口越小，点越大，开口越小，点B的纵坐标越大的纵坐标越大结合函数图象可得，结合函数图象可得，a的取值范围为
41、的取值范围为0a 或或a1.12第1题解图如解图如解图，(3)0a 或或a1.122.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，抛物线中，抛物线C1：ymx22mxm1沿沿x轴翻轴翻折得到抛物线折得到抛物线C2.(1)求抛物线求抛物线C2的顶点坐标；的顶点坐标；解：解：(1)顶点坐标为顶点坐标为(1，1)；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点横、纵坐标都是整数的点叫做整点当当m1时，求抛物线时，求抛物线C1和和C2围成的封闭区域内围成的封闭区域内(包括边界包括边界)整点的个整点的个数；数；(2)当当m1时，时，C1：yx22x，C2：yx22x.如解图，如解图，C1和和C2围成的区域内围成的区
42、域内(包括边界包括边界)整点有整点有5个；个；第2题解图如果抛物线如果抛物线C1和和C2围成的封闭区域内围成的封闭区域内(包括边界包括边界)恰有恰有7个整点，求出个整点，求出m的取值范围的取值范围抛物线在抛物线在C1和和C2围成的区域内围成的区域内(包括边界包括边界)恰有恰有7个整点，结合函数图个整点，结合函数图象，可得抛物线与象，可得抛物线与x轴的一个交点的横坐标的取值范围为轴的一个交点的横坐标的取值范围为 1x2，将将(1，0)代入代入ymx22mxm1，得到，得到 m ，将将(2，0)代入代入ymx22mxm1，得到，得到 m ，结合图象可得结合图象可得 m .14191419第2题解图
43、3.(2022门头沟区二模门头沟区二模)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，抛物线中，抛物线yx22axa2的顶点为的顶点为A，直线，直线yx3与抛物线交于点与抛物线交于点B，C(点点B在在点点C的左侧的左侧)(1)求点求点A坐标；坐标；第3题图解：解：(1)yx22axa2(xa)2，顶点顶点A(a，0)；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点线段横、纵坐标都是整数的点叫做整点线段BC及抛物线在及抛物线在B，C两点两点之间的部分围成的封闭区域之间的部分围成的封闭区域(不含边界不含边界)记为记为W.当当a0时，结合函数图象，直接写出区域时，结合函数图象，直接写出区域W内的整点个数；内的整点个数；由函数图象可知，区域由函数图象可知，区域W内的整点个数是内的整点个数是4；(2)当当a0时，则抛物线时，则抛物线yx2，如解图如解图所示，所示，第3题解图如果区域如果区域W内有内有2个整点，请求出个整点，请求出a的取值范围的取值范围第3题解图如解图如解图所示：所示：当抛物线经过当抛物线经过(0，2)，区域，区域W内有内有1个整点，个整点，此时此时a ；当抛物线经过当抛物线经过(0，1)，区域，区域W内有内有2个整点，个整点，此时此时a1；由函数图象可知，如果区域由函数图象可知，如果区域W内有内有2个整点，个整点，a的取值范围为的取值范围为 a1.22
