1、2024甘肃中考数学二轮专题训练 几何综合探究折叠问题 典例精讲例2(一题多设问) 【问题解决】在矩形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上两点，且AFCE，将矩形ABCD沿EF折叠后，进行以下探究：(1)如图，当点E与点C重合，点F与点A重合，将矩形ABCD沿AC折叠，点B的对应点为B，BC与AD交于点G，求证：AGC为等腰三角形；【思维教练】要证AGC为等腰三角形，可结合折叠的性质，通过证三角形全等得到边相等求证 例2题图(2)如图，将矩形ABCD沿EF折叠，点A的对应点为A，点B的对应点为B，BE与AD交于点H，求证：HFHE；【思维教练】要证边相等，可结合折叠的性质证明角相等即可 例2
2、题图(3)如图，将矩形ABCD沿EF折叠，点A的对应点为A，点B恰好与点D重合，连接BF，求证：四边形BEDF为菱形；【思维教练】要证四边形BEDF为菱形，可根据题目已知条件，先证明四边形是平行四边形，再结合折叠的性质证明平行四边形是菱形 例2题图【问题探索】(4)如图，将矩形ABCD沿EF折叠，点A的对应点为A，点B的对应点为B，AB与AD、CD交于点M、P，延长EB交AD的延长线于点N，若AFCE，求证：点P在线段EF的垂直平分线上；【思维教练】可通过构造等腰三角形，利用三线合一结合折叠的性质证明求解 例2题图(5)如图，点E，F分别在BC，AD上，且F为AD的中点，BC3BE，连接EF，
3、将矩形ABCD沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处，求cosEGF的值；【思维教练】结合矩形和折叠的性质，通过作辅助线构造等角，将EGF转换到直角三角形中求解 例2题图【拓展应用】(6)如图，将平行四边形ABCD沿EF折叠，点A的对应点为A，点B的对应点为B，AB与AD、CD交于H、M，BE与CD交于点N，若AFCE，FD4，点H为FD的中点，求EN的长【思维教练】通过等角代换结合已知条件，证明三角形全等，得到边相等求解 例2题图针对训练1. 【问题解决】(1)如图，在平行四边形纸片ABCD(ADAB)中，将纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上的点B处，折线AE交BC于点E，连接BE.
4、求证：四边形ABEB是菱形【规律探索】(2)如图，在平行四边形纸片ABCD(ADAB)中，将纸片沿过点P的直线折叠，点B恰好落在AD上的点Q处，点A落在点A处，得到折痕FP，那么PFQ是等腰三角形吗？请说明理由【拓展应用】(3)如图，在矩形纸片ABCD(ADAB)中，将纸片沿过点P的直线折叠，得到折痕FP，点B落在纸片ABCD内部点B处，点A落在纸片ABCD外部点A处，AB与AD交于点M，且AMBM.已知：AB4，AF2，求BP的长第1题图2. 实践与探究操作一：如图，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸
5、片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则EAF_度；操作二：如图，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N.我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则AEF_度；在图中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：(1)设AM与NF的交点为点P，求证：ANPFNE；(2)若AB，则线段AP的长为_第2题图3. 【问题解决】(1)如图，在矩形纸片ABCD中，E是BC边的中点，将ABE沿AE折叠得到AFE，点B的对应点F恰好落在AD边上，请你判断四边形ABEF的形状，并说明理由；【问题探索】(2)如图，在矩形纸片ABCD中，E是
6、BC边的中点，将ABE沿AE折叠得到AFE，点B的对应点F在矩形纸片ABCD的内部，延长AF交CD于点G，求证：FGCG；【拓展应用】(3)如图，在正方形纸片ABCD中，E是BC边的中点，将ABE沿AE折叠得到AFE，点B的对应点F落在正方形纸片ABCD内，延长AF交CD于点G，若AB4，求线段FG的长第3题图4. 综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在ABCD中，BEAD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF, BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明； 独立思考：(1)请解答老师提出的问题；实践探究：(2)希望小组受此问题的启发，将ABCD沿着BF(F为CD的中点
7、)所在直线折叠，如图，点C的对应点为C，连接DC并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明；问题解决：(3)智慧小组突发奇想，将ABCD沿过点B的直线折叠，如图，点A的对应点为A，使ABCD于点H，折痕交AD于点M，连接AM，交CD于点N.该小组提出一个问题：若此ABCD的面积为20，边长AB5, BC2，求图中阴影部分(四边形BHNM)的面积请你思考此问题，直接写出结果第4题图5. 【推理】如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连接BE，CF，延长CF交AD于点G.(1)求证：BCECDG；【运用】(2)如图，在【推理】条件下，延
8、长BF交AD于点H.若，CE9，求线段DE的长；【拓展】(3)将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连接CF，延长CF，BF交直线AD于G，H两点，若k，求的值(用含k的代数式表示) 备用图第5题图6. 问题情境在综合实践课上，老师让同学们以“直角三角形的折叠”为主题开展数学活动如图，在RtABC中，ACB90，AB8，AC4.点D是边BC上一动点，点E在边AB上，将ABC沿DE折叠，点B的对应点为F.探索发现(1)如图，当点D与点C重合时，若点E为边AB的中点，连接AF，试判断四边形ADEF的形状，并说明理由；(2)如图，当点D为边BC的中点时，若此时点F恰好落在边AB上，求四边形ACDF的面
9、积；解决问题(3)在(2)的条件下，当点F恰好落在ACB的平分线上(不与点C重合)时，求折痕DE的长第6题图参考答案典例精讲例2(1)证明：四边形ABCD是矩形，ABCDAB，BBD90，又AGBCGD，AGBCGD，AGCG，AGC为等腰三角形；(2)证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，DFEBEF，由折叠可知BEFBEF，BEFDFE，HFHE；(3)证明：ADFFDE90，FDECDE90，ADFCDE，又ADCD，AC，ADFCDE，DFDE，由折叠可知DEBE，DFBE，又DFBE，BEDE，四边形BEDF是菱形；(4)证明：如解图，连接PN并延长，连接PF，PE，AFCE，BED
10、F，BEBEDF，DFEBEFBEF，NFNE，NDNB，NBPNDP90，NPNP，NBPNDP，BNPDNP，NP平分FNE，又NFNE，点P在EF的垂直平分线上；例2题解图(5)解：如解图，连接AE，四边形ABCD为矩形，ADBC，ADBC，AFEGEF，由折叠的性质可知：AEFGEF，AEEG，AFEAEF, AEAF，AFEG，四边形AEGF是平行四边形，AEFG，FGEAEB，设BE2x，则ADBC6x，AEAFEG3x，在RtABE中，cosAEB，cosEGF；例2题解图(6)解：如解图，连接AC交EF于点O，AFCE，AFAFCE，DMHBMN，BDB，DHMBNM，AHFD
11、HM，CNEBNM，AHFCNE，在AHF与CNE中，AHFCNE，ENFHFD2.例2题解图针对训练1. (1)证明：由折叠的性质得BAEBAE，ABAB，BEBE，AEBAEB，ADBC，BAEAEB，BAEAEB，ABBE，ABBEBEAB，四边形ABEB为菱形(2)PFQ是等腰三角形，理由：四边形AQPF是由四边形ABPF折叠而来， BPFQPF，ADBC，BPFQFP，QPFQFP，QFQP，PFQ是等腰三角形(3)解：如解图，延长PB交AD于点N，FAMNBM90，AMFBMN，AMBM，AMFBMN(ASA)，BNAFAF2，AMBMABAB2，在RtAMF与RtBMN中，FMN
12、M2，由(2)得，NPNF2MF4 ，BPBPNPNB42.第1题解图2. 解：操作一：45；【解法提示】由折叠的性质得BAEMAE，DAFMAF，又BAD90，EAFBAMDAMBAD45.操作二：60；【解法提示】由折叠的性质得AEBAEFCEF，AEF18060.(1)证明：四边形ABCD是正方形，DABBCD90.由折叠的性质得FNEC90，ANPFNE90.由操作一，得EAF45，AFNFAN45，ANFN.AMFD90，EFNFPM90.PANAPN90，APNFPM，PANEFN，ANPFNE(ASA)；(2)22.【解法提示】在RtABE中，AEB60，AB，AE2. 在RtF
13、EN中，FEN60，FNNEtan60NE，EF2NE，ANNE，AEANNE，(1)NE2.NE1，由(1)知ANPFNE，APEF2NE22.3. (1)解：四边形ABEF是正方形理由：四边形ABCD是矩形，BADB90.由折叠的性质可得AFEB90，四边形ABEF为矩形ABAF，四边形ABEF为正方形；(2)证明：如解图，连接EG，E是BC边的中点，BECE，由折叠的性质可得EFEB，AFEB90，EFEC，EFG90.EGEG，CEFG90，ECGEFG(HL)，FGCG；第3题解图(3)解：四边形ABCD为正方形，D90，ADCDAB4.由折叠的性质可得AFAB4.由(2)可得FGC
14、G，设CGFGx，则DG4x，AG4x，在RtADG中，AD2DG2AG2，即42(4x)2(4x)2，解得x1.FG1.4. 解：(1)EFBF.证法一：如解图，分别延长AD, BF相交于点M.第4题解图四边形ABCD是平行四边形，ADBC，1C，M2.F为CD的中点，DFCF，MDFBCF(AAS)，FMFB，即点F为BM的中点，BFBM.BEAD，BEM90，在RtBEM中，EFBM，EFBF；证法二：如解图，过点F作FMEB于点M，则EMF90.BEAD，AEB90，AEBEMF，ADFM. 四边形ABCD是平行四边形，ADBC.ADFMBC.F为CD的中点，DFFC.EMMB.FME
15、B，FM垂直平分EB.EFBF；第4题解图(2)AGBG.证法一：如解图，由折叠的性质可知12CFC，FCFC.F为CD的中点，FCFDCD，FC FD.34.CFC34，4CFC.第4题解图41，DGFB.四边形ABCD为平行四边形，DC綊AB.四边形DGBF为平行四边形BGDF，BGCDAB，AGBG；证法二：如解图，连接CC交FB于点N.由折叠的性质可知FCFC，CCFB.第4题解图CNB90.F为CD的中点，FCFDCD，FCFD.12.FCFC. FCCFCC.在DCC中，1DCCDCC180.12FCCFCC180.222FCC180.2FCC90，DCC90，DCCCNB，DGF
16、B.四边形ABCD是平行四边形，DC綊AB.四边形DGBF是平行四边形BGDF，BGCDAB，AGBG；(3).【解法提示】如解图，过点M作MEAB于点E，ABCD，SABCDABBH20，AB5，BH4，AHABBH1，BC2，在RtBHC中，CH2，四边形ABCD是平行四边形，AC，AA，AC，又AEMCHB，AMECBH，设MEx，则AEx，ABCD，ABAB，ABA90，由折叠的性质可知ABMMBE45，EBMEx，AB5，xx5，解得x.AC，AHNCHB，ANHCBH，AH1，NH2，S四边形BHNMSAMBSANH512.第4题解图5. (1)证明：如解图，BFE是由BCE折叠得
17、到，BECF，ECFBEC90，又四边形ABCD是正方形，DBCE90，ECFCGD90，BECCGD.又BCCD，BCECDG(AAS)；第5题解图(2)解：如解图，连接EH，由(1)得BCECDG，CEDG9，由折叠的性质得BCBF，CEFE9，BCFBFC，四边形ABCD是正方形，ADBC，BCGHGF，又BFCHFG，HFGHGF，HFHG.，DG9，HD4，HFHG5，DHFE90，HF2FE2DH2DE2，529242DE2，DE3或DE3(舍去)；第5题解图(3)解：由已知，可设DH4m，HG5m，可令x，当点H在D点左边时，如解图，连接HE，第5题解图由(2)知HFHG，DG9
18、m.由折叠的性质得BECF，ECFBEC90，又D90，ECFCGD90，BECCGD，又BCED90，CDGBCE，k，CEFE，DE，DHFE90，HF2FE2DH2DE2，(5m)2()2(4m)2()2，x或x(舍去)，；当点H在D点右边时，如解图，连接HE，第5题解图同理得HGHF，DGm，同理可得BCECDG.可得CEFE，DE，HF2FE2DH2DE2，(5m)2()2(4m)2()2，x或x(舍去)，.综上所述，或.6. 解：(1)四边形ADEF是菱形理由：ACB90，AB8，AC4，在RtACB中，BC4，B30.点D与点C重合，点E为边AB的中点，DEBEAEAD4.ADE是等边三角形，AED60，DEB120.由折叠的性质可知EFBEAE，DEFDEB120，AEF60.AEF为等边三角形AFEF.ADDEEFAF.四边形ADEF是菱形；(2)由(1)知B30，BC4.又点D为边BC的中点，BD2.由折叠的性质可知DEAB，EFBE，DE，BEEF3.BF6.S四边形ACDFSABCSBDFACBC BFDE44 65；(3)如解图，过点E作EGBC于点G，由题意可知BCF45，由折叠的性质可知DFCDBD，易得DFBC，EDGEDF45.由(1)可知B30，CDBD2.设EGDGx，则DEx，BGx.DGBGBD，即xx2，解得x3.DE3.第6题解图
