1、高等数学方法主讲教师主讲教师:王升瑞王升瑞 第一讲1第1页唯有奋斗最风流!惜时如金2第2页此刻打盹，你将做梦，学习时痛苦是暂时，未学到痛苦是终生；学习这件事，不是缺乏时间，学习不是人生全部，请享受无法回避痛苦；哈佛图书馆训诫哈佛图书馆训诫不过人生一部分;只有比他人更早，更勤奋努力，此刻学习，你将圆梦；而是缺乏努力；学习也无法征服，还能做什么呢？才能尝到成功滋味；3第3页谁也不能随随便便成功，狗一样地学习，绅士一样地玩；今天不走，明天要跑；教育程度代表收入；哈佛图书馆训诫哈佛图书馆训诫没有艰辛，便无所获。它来自彻底自我管理和毅力；即使现在，对手也不停地翻动书页；4第4页培根培根说说：历史使人聪明
2、，诗歌使人机智，数学使人精细。马克思马克思：一门科学只有当它到达了能够成功地利用数学，才算真正发展了。伽利略认为伽利略认为：宇宙像一本用数学语言写成大书，假如不掌握数学语言，就像在黑暗迷宫里游荡，华罗庚华罗庚：数学是最宝贵研究精神之一。科学家语录科学家语录什么也看不清。勤能补拙是良训，一分辛劳一分才。5第5页华罗庚华罗庚（1910-1985）“聪明在于勤奋聪明在于勤奋,天才在于积累天才在于积累”“学而优则用学而优则用,学而优则创学而优则创”“由薄到厚由薄到厚 ,由厚到薄由厚到薄”注意问题注意问题：认真听课，扼要统计，认真听课，扼要统计，多做题目，总结规律多做题目，总结规律。6第6页一提到数学，
3、很多人首先想到是复杂公式、大量计算、漫天数字数据、还有百思不得其解数学题。对数学产生畏惧、反弹心理。.这与中国高中教育偏重于对于知识灌输，而非对于知识掌握亲密相关。基于应试压力，数学教育尤其轻易演变为固定类型题海战术，某种意义上死记硬背，而非激发学生创造性思维，这在根本上就是与数学教育相背道而驰。甚至成为这么使学生7第7页其实数学背后思想，精华。数学证实方法才是数学都是约定俗成、极少歧义概念。数学学习关注是逻辑推演能力。数学是一个表述简练、清楚、歧义较少逻辑体系。在数学中，不但各种数字、函数，就连加、减、乘、除，大于、小于、等于，以及指数、导数、积分等符号本身，也用清楚、直观坐标或图形表示比较
4、复杂逻辑关系。而几何方法，更是能学习目标是得到某种确定感和安全感，就是一个战场，身处战场绝对不是一安全事，而且上学有利于得到某种确定感和安全感。不是为了考高分念书，而是为了不逃避痛苦与讨厌事。生活本质上活脱脱8第8页科学方法是打开科学殿堂大门科学方法是打开科学殿堂大门钥匙钥匙,是由必定王国通向自由王国是由必定王国通向自由王国桥梁桥梁。数学方法是数学数学方法是数学灵魂灵魂高等数学方法高等数学方法（上）（上）9第9页参 考 书张晓宁、李安昌张晓宁、李安昌：高等数学方法高等数学方法 中国矿业大学出版社，.10第10页目目 录录第一讲第一讲 高等数学中分析问题和处理问题 方法第二讲第二讲 研究函数与极
5、限基本方法第三讲第三讲 导数计算方法及微分中值定理应用第四讲第四讲 导数应用方法第五讲第五讲 积分学概念、性质和不定积分 计算法第六讲第六讲 定积分计算、证实和解应用问题 方法第七讲第七讲 试题类型及解题方法分析11第11页序言一一.为何要学为何要学“高等数学方法高等数学方法(参考序言第一段参考序言第一段)1.科学方法主要性科学方法主要性科学科学是什么,为何:技术技术做什么,怎么做:科学方法科学方法桥梁与钥匙。反应自然、社会、思维客观规律分科知识体系。进行物资资料生产所凭借方法和能力。12第12页数学数学思维体操科学语言生活需要(思绪思绪)(表示表示)(应用应用)数学方法数学方法对数学规律认识
6、对数学规律认识思维方法解题方法(是数学灵魂是数学灵魂)2.数学方法含义数学方法含义13第13页二二.“高等数学方法高等数学方法”结构与学习方法结构与学习方法(参考序言第二、三段参考序言第二、三段)第一部分第一部分(第一至第七章)每节包含:方法指导,实例分析,相关问题第二部分第二部分(第八至第十一章)包含综述和提升(从古典数学向近代数学靠拢)学习方法学习方法:1.掌握数学内容和数学方法相结合；2.重视分析问题和处理问题方法；3.学习要纵横结合,着眼于提升数学素养。14第14页第一讲第一讲 高等数学高等数学中中 分析问题分析问题 和和 处理问题处理问题 方法方法15第15页一一.数学模型及数学建模
7、方法数学模型及数学建模方法 (P511,第一节第一节)数学模型数学模型客观实际问题内在规律性数学含有形式化形式化、符号化符号化、简练化简练化特点.是一个高度抽象模型.有狭义狭义和广义广义两种解释.数学建模方法数学建模方法 试验归纳法 理论分析法(P514)物理模型数学模型求解和分析结构.许多物理中概念都要借助于高等数学中数学结构才能说清楚。16第16页可无限迫近可无限迫近比如比如 ,为何用为何用N及语言定义极限语言定义极限?用圆内接正多边形面积迫近圆面积用圆内接正多边形面积迫近圆面积A .orn圆内接正n边形面积为nA),5,4,3(n,0N(正整数),当Nn 时,有,AAn记作记作.limA
8、Ann精度要求精度要求边数足够多边数足够多找出找出利用极限知识可求出:nAlim2rnncossinn2rnnrcossin2n17第17页 测量圆面积测量圆面积2rA直接观察量为r间接观察量为A.半径真值为0r面积真值为0A测量圆半径得r计算圆面积为2)(rrf任给精度,0要使0)(Arf寻找精度,0让0rr记作20200lim)(limrrrfrrrr18第18页再如再如,椅子稳定问题椅子稳定问题(P515P516)假设假设:四条腿一样长;地面为连续曲面.建模建模:设 A,C 两脚与地面距离之和为,0)(2CgB,D 两脚与地面距离之和为,0)(2CfABCDABCD不妨设,0)0(g,0
9、)0(f且对任意有,0)()(gf证实存在,),0(02使.0)()(00gf19第19页证实证实:设)()()(gfh,0)0(h,0C2又,0)(h2由连续函数零点定理可知,存在,),0(02使0)(0h即)()(00gf又知,0)()(00gf所以0)()(00gf思索思索:对长方形板凳稳定问题怎样考虑?不妨设,0)0(g,0)0(f且对任意有,0)()(gf证实存在,),0(02使.0)()(00gf2（转后，对角线交换）。提醒提醒：相邻两脚之和，并旋转1800。20第20页二二.几个惯用分析问题方法几个惯用分析问题方法 (P444-455)1.简化方法简化方法 2.直观分析法直观分析
10、法3.逆向分析法逆向分析法 4.类比法类比法1.简化方法简化方法复杂问题 简单问题分解法分解法变换法变换法换元法换元法递推法递推法转化法转化法21第21页abba2222122xxbabalnlnlnbabalnlnlnabablnlnabbealn1cossin22xxxxxcossin22sin22cos1sin2xx22cos1cos2xxxx22sectan1xx22csccot1 0lnxexx惯用几个初等函数公式惯用几个初等函数公式22cos2cossinxxx22cos1x21 2sin x 22第22页sinsin2sincos221sinsincos()cos()21sinc
11、ossin()sin()2tantantan()1tantansinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin22 sin()sincoscossin1coscoscos()cos()2cos()coscossinsin23第23页6ln6ln3ln)(23xxxxf单调递减。提醒提醒:令,ln xt)663()(23tttetgt)0(0)(3ttetgt31)(xxxfx)1(x则转化为讨论下述函数在 t 0 时单调递减.注意说明说明 1.)1()()(33xxxfxg与含有相同极值点,故可用后者代替前者讨论极值 2.有些复合函数单调性问题,可利用组成
12、它简单例例1.证实问题与单调性问题.函数链单调性传递得出.如 P445例1.24第24页 设,求提醒：将函数化为提醒：将函数化为则)24cos(41)(nxynnxxy44cossin.)(ny例例2.442222sincos2sincos2sincosyxxxxxx221 2sincosxx 211sin 22x xy4cos41431 cos414x 25第25页2.直观分析直观分析法法 经过特例或图形，寻找规律、方法和结论.与几何形体相关问题应尽可能画图寻求启示.相关几何应用画出图形找几何关系.填空题和选择题可用增强条件方法找结论.26第26页)(xf图形关于例例1.设定义在实数域上函数
13、直线ax 及)(abbx对称,试证)(xf为周期函数.(P.447 例例4)oyxax bx x)(xfxa2)(2abx直观分析直观分析:任取一个实数,xxa()2,aaxax2axxb(2)2(),bbaxxba()(2)(2()f xfaxf xba所以有)(xf是周期为)(2ab函数.它关于直线对称点为而关于直线对称点为显然可猜测27第27页)(xf图形关于例例1.设定义在实数域上函数直线ax 及)(abbx对称,试证)(xf为周期函数.(P.447 例例4)oyxax bx x)(xfxa2)(2abx证证:,),(x有)(2(abxf)2(xaf)(xf所以)(xf是周期为)(2a
14、b函数.28第28页拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 )(1)在区间 a,b 上连续)(xfy 满足:(2)在区间(a,b)内可导最少存在一点,),(ba使.)()()(abafbffxyoab)(xfy 思绪思绪:利用逆向思维逆向思维找出一个满足罗尔定理条件函数作辅助函数显然,)(x在 a,b 上连续,在(a,b)内可导,且证证:问题转化为证)(x)(xfxabafbf)()()(a由罗尔定理知最少存在一点,),(ba,0)(使即定理结论成立.,)(babbfaafb)()(0)()()(abafbff证毕29第29页渐近线渐近线若,)(limbxfx)(x则)(xfy 有水平渐近线;by
15、若0lim(),xxf x 0()xx则)(xfy 有垂直渐近线;0 xx 若,)(limaxxfx)(x,)(limbxaxfx)(x则)(xfy 有斜渐近线.bxay30第30页例例2.2.怎样求函数)(xfy 斜渐近线?bxay分析分析:oyxx)(xfy bxay由图可知,若曲线)(xfy 有斜渐近线,bxay则必有0)()(limbxaxfx从而xxlimxbxxfa)(0 xlimxbxxfa)(0,lim)(xxfxa)(limxaxfbx31第31页比如比如,求曲线12()xf xxe斜渐近线。解解:xxfxa)(lim)(limxxfbx21limxex11lim21xexx
16、21limxxx0所以曲线有斜渐近线.xy 32第32页32(1)xyx32yx32(1)limlimxxyxkxx x32(1)lim()lim()xxxbykxxx斜渐近线方程。解解 所求 斜渐近线方程为 例例3 3、求曲线321lim(1)1xxx321lim(1)1xx考研考研3 13lim22xxx33第33页练习练习、曲线1(1)lim(1)(1)xx xxx221xxyxC0;221lim1xxxx1x 22lim11xxxx1y 渐近线条数（）；A、1；B、2；C、D、3.则为垂直渐近线；，则为水平渐近线，解解考研考研故没有斜渐近线。22limlim0(1)xxyxxkxx x
17、34第34页例例4.求笛卡儿叶形线yxayx333渐近线.(P100 例例13)解解:令 y=t x,代入原方程得曲线参数方程:x,133ttay3213ttax,1t因xyxlim1limt3213tta313tta1)(limxyx1limt3213tta313tta)1)(1()1(3lim21tttttata所以笛卡儿叶形线有斜渐近线,axy即0ayx35第35页)(xf),(ba)(xf )(,(),(,(bfbBafaA)(xfy,)(,(cfcC,bca),(ba 在,ba上连续,在内存在,连接两点直线交曲线于且试证最少存在一点使.0)(f提醒提醒:如图所表示,有),(),()(
18、)()()(2121bccaabafbfff)(xf 在,21上应用Rolle定理。1 2 CacbAB对（P118 题题7）例例5.5.已知36第36页逆向思维反推 执果溯因反证 利用正命题与逆否命题等价，反例 找反例说明原命题不正确3.逆向分析法逆向分析法多用于否命题。37第37页设函数 在 0,1 上二阶可导,且证实最少存在一点 ,使.0)()1()(2 ff)1,0(提醒提醒:设辅助函数)()1()(2xfxxF)()1()()1()()1(222 xfxxfxxfx在0,1上满足 Rolle 定理,可知有 ,再对 F(x)在)(xf)(xf0)(f1,),0()1(ff从结论入手,注
19、意到利用上用 Rolle 定理.例例1.38第38页在 上连续,在 内可导,且,试证存在 使得)(xf,ba),(ba0)(xfeabeeffab)()(提醒提醒:转化为证efeeabfab)()(上满足 Lagrange 定理条件,使,)()()(abfafbf则只需证实efeeafbfab)()()(可见只要对)(xf)(xf),(ba,),(ba上用 Cauchy 中值定理.(P450,考研考研98)因为在,ba则有xe,ba及在例例2.设函数39第39页0!100!211002xxx无实根.(P451 例例7)提醒提醒:用反证法.假设有实根)10(!101!100!211011002
20、xexxxexx代入,0 xx 1010!10100 xeexx 上式两边异号上式两边异号,矛盾,假设不真!,00 x,0 x利用显然则有例例3.证实方程2100000102!100!xxx40第40页 类比是找相同性,是发觉问题和处理问题主要方法。4.类比喻法类比喻法41第41页计算极限)2)(1(143213211limnnnn提醒提醒:类比以下极限)1(1321211limnnn)111()3121()211(limnnn111limnn例例 1(P453 例例9)2)(1(1kkk2112limn3223)1()1(nnnn)2)(1()2(21kkkkk142第42页计算极限)2)(
21、1(143213211limnnnn提醒提醒:类比以下极限例例 1(P453 例例9)2)(1(1kkk)2)(1()2(21kkkkk1112(1)(1)(2)k kkk1 112 24)1(1321211limnnn111limnn111(1)(2)nkk kk11112(1)(1)(2)nkk kkk111112(1)(1)(2)nnkkk kkk1111(1)(1)2122nnn 43第43页利用Lagrange 微分中值定理易推出:若)(xf 在 a,b 上严格单调增加严格单调增加,则)()()()(bfabafbfaf例例2.证实以下不等式:nnxxxnnxnn212lnlnlog
22、log)1(ln)1(ln)1,1(nx44第44页nnxxxnnxnn212lnlnloglog)1(ln)1(ln)1,1(nx提醒提醒:将不等式改写为nnnn)1(ln)1(ln11设1(),1lnf ttn nt易证21().lnf ttt 若)(xf 在 a,b 上严格单调增加严格单调增加,则)()()()(bfabafbfaf)1(ln)1(12nnnn2ln122lnlnlnln(1)ln(1)lnln(1)lnxxxxnnnnnn.)1(0)(ttf45第45页高等数学方法主讲教师主讲教师:王升瑞王升瑞 第二讲46第46页三三.几个惯用证题方法几个惯用证题方法1.分析综正当分析
23、综正当2.设辅助函数法设辅助函数法3.反证法反证法 证实题是考评基本理论、基本运算掌握情况和逻辑推理能力主要题型经过“执果溯因”寻找证实路径,利用“由因导果”写出证实过程.1.分析综正当分析综正当47第47页设 为正实数,试证ba,提醒提醒:xxxfln)(为),0()0.fxbabababa)(22ln)(lnlnbababbaa2ln22lnlnbababbaa上上凹函数在 上，(0,)()ln,()ln1f xxxfxx(P473 例例12)例例1.满足48第48页在 上可导,且 ,证实最少存在一点 使)(xf,ba),(ba ba 0)()(1)()(bfafbabaff 提醒提醒:因
24、为1()()abf af bab可考虑对函数xxGxxfxF1)(,)()(在区间 a,b 上用 Cauchy 中值定理.baafbbfa)()(abaafbbf11)()(P81 例例10)例例2 设()()11f bf ababa22()()1ff()()ff49第49页利用辅助函数证实等式或不等式是一个主要证实方法.如:寻找辅助函数普通用逆向分析法.经过设辅助函数,利用微分或积分中值定理 证实等式或方程零点存在.经过讨论辅助函数单调性或最值,证实 相关不等式.2.设辅助函数方法设辅助函数方法50第50页例例1.设)(xf在 上连续且可导,并有 n 个不一样),0零点120.nxxx 证实
25、证实:对任意常数 a,)()(xfxfa在 上最少有),0提醒提醒:设辅助函数)()(xfexFxa在)1,2,1(,1nixxii上用 Rolle 定理.n-1 个不一样零点.()()()axF xea f xfx()()0iaxiiF xef x()()()0iaiiiFea ff11,2,1.iiixxin()()0iia ff51第51页设函数 和 在 上二阶可导,且)(xf)(xg,ba提醒提醒:只要证,0)()()()(gfgf且依据乘积导数法则想到设辅助函数)()()()()(xgxfxgxfx)(x,ba在()0,(,)gxxa b(用反证法)再证实 上满足 Rolle 定理条
26、件,0)(xg试证最少存在一点,),(ba使)()()()(gfgf (P475 例例15,考研考研95)()0.g例例 2.,0)()()()(bgagbfaf()0 即,0)()()()(gfgf52第52页设 ,求证eababba提醒提醒:方法方法1.设设证实它在单调增增;方法方法2.设设,lnln)(xaaxxF证实它在单调减减。baabbaablnlnxxxFln)(),a),abbaalnln例例3.53第53页3.反证法反证法反证法是一个逆向分析方法,是经过否定命题结论,引导出与题设条件或已知结论矛盾结果来证实明原命题正确性.反证法多适合用于直接推证时已经有知识点较少或比较困难命
27、题.假如所证结论中含有“不可能不可能”、“不存在不存在”、“至多至多”、“最少最少”、“唯一唯一”、“大于大于”或或“小小于于”等字眼时,普通多考虑用反证法.54第54页例例1.证实 不存在(为自然数).nnsinlimn提醒提醒:假设,sinlimAnn则nncoslimnn2coslim矛盾 (P474 例例13)1sin2)1sin()1sin(limnnn022cos1limnn21limsin(1),nnAlimsin(1),nnAsin(1)sin(1)2cos sin1,nnn55第55页设 在 上存在二阶导数,且)(xf,ba,0)(xf又,0)()(bfaf试证在 内),(ba.0)(xf提醒提醒:假设存在),(bac使,0)(cf则由 R0lle 定理,有,),(),(21bcca 使0)()(21 ff再对)(xf 在2,1 上用 Rolle 定理,就有),(21 使,0)(f矛盾矛盾!(P474 例例14)例例2.56第56页
