1、2025高考数学一轮复习-第39讲-圆的方程-专项训练【原卷版】A级 基础达标1. 已知p:t1 ，q: 关于x ，y 的方程x2+y26tx+8ty+25=0 表示圆，则p 是q 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 圆心在y 轴上，半径长为1，且过点A1,2 的圆的方程是( )A. x2+y22=1 B. x2+y+22=1 C. x12+y32=1 D. x2+y32=4 3.圆C:x+32+y42=1 关于直线y=x 对称的圆的方程为( )A. x42+y+32=1 B. x42+y32=49 C. x+42+y32=1 D. x
2、+42+y+32=49 4. （多选）已知ABC 的三个顶点为A1,2 ,B2,1 ,C3,4 ,则下列关于ABC 的外接圆圆M 的说法正确的是( )A. 圆M 的圆心坐标为1,3 B. 圆M 的半径为5 C. 圆M 关于直线x+y=0 对称D. 点2,3 在圆M 内5.（多选）设有一组圆Ck:xk2+yk2=4kR ，下列命题正确的是( )A. 不论k 如何变化，圆心C 始终在一条直线上B. 所有圆Ck 均不经过点3,0 C. 经过点2,2 的圆Ck 有且只有一个D. 所有圆的面积均为4 6.已知点A2,1 在圆C:x2+y22x+my+2=0 的外部，则实数m 的取值范围为 .7. 若圆C
3、 经过坐标原点和点4,0 且与直线y=1 相切，则圆C 的方程是 .8.已知直线l1:y=kx+1 ,l2:y=kx+5 均垂直于圆x2+yb2=9 的某条直径，且l1 ,l2 三等分该条直径，则b= ，k2= .9. 已知动圆C 经过点A2,3 和B2,5 .（1） 当圆C 面积最小时，求圆C 的方程；（2） 若圆C 的圆心在直线3x+y+5=0 上，求圆C 的方程.B级 综合运用10.（多选）在平面直角坐标系内，已知A1,0 ，B1,0 ，C 是平面内一动点，则下列条件中使得点C 的轨迹为圆的有( )A. AC=BC B. AC=2BC C. ACBC=0 D. ACBC=2 11. （多
4、选）关于曲线C:x2+y2=2x+2y ，下列说法正确的是( )A. 曲线C 围成图形的面积为4+8 B. 曲线C 所表示的图形有且仅有2条对称轴C. 曲线C 所表示的图形是中心对称图形D. 曲线C 是以1,1 为圆心，2为半径的圆12.已知P 为圆C:x32+y42=1 上一点，A1,0 ，B1,0 ，则PA2+PB2 的最小值为 .13.已知RtABC 的直角顶点为C1,1 ,A ,B 为圆x2+y2=9 上两动点，则边长AB 的最大值为 .14. 已知点P2,2 ，圆C:x2+y28y=0 ，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.（1）
5、求点M 的轨迹方程；（2） 当OP=OM 时，求l 的方程及POM 的面积.C级 素养提升15. 如图，A2,0 ，B1,1 ，C1,1 ，D2,0 ，CD 是以OD 为直径的圆上一段圆弧，CB 是以BC 为直径的圆上一段圆弧，BA 是以OA 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W ，则下列说法中错误的是( )A. 曲线W 与x 轴围成的面积等于2 B. 曲线W 有5个整点（横纵坐标均为整数的点）C. CB 所在圆的方程为x2+y12=1 D. CB 与BA 的公切线方程为x+y=2+1 16.已知圆M 经过函数y=x26x+5 的图象与坐标轴的3个交点.（1） 求圆M 的标准方程；（2） 若
6、点P 为圆N:x2+y22=1 上一动点，点Q 为圆M 上一动点，点A 在直线y=2 上运动，求AP+AQ 的最小值，并求此时点A 的横坐标.2025高考数学一轮复习-第39讲-圆的方程-专项训练【解析版】A级 基础达标1. 已知p:t1 ，q: 关于x ，y 的方程x2+y26tx+8ty+25=0 表示圆，则p 是q 的( A )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析选A.关于x ，y 的方程x2+y26tx+8ty+25=0 表示圆等价于6t2+8t24250 ，即t21 ，显然由t1 可推出t21 ，反之由t21 不一定能得到t1 （可能是
7、t1 ）.故p 是q 的充分不必要条件.故选A.2. 圆心在y 轴上，半径长为1，且过点A1,2 的圆的方程是( A )A. x2+y22=1 B. x2+y+22=1 C. x12+y32=1 D. x2+y32=4 解析选A.根据题意可设圆的方程为x2+yb2=1 .因为圆过点A1,2 ，所以12+2b2=1 ,解得b=2 ,所以所求圆的方程为x2+y22=1 .3.圆C:x+32+y42=1 关于直线y=x 对称的圆的方程为( A )A. x42+y+32=1 B. x42+y32=49 C. x+42+y32=1 D. x+42+y+32=49 解析选A.因为x+32+y42=1 表示
8、以3,4 为圆心，以1为半径的圆，则3,4 关于直线y=x 对称的点为4,3 ，所以圆C:x+32+y42=1 关于直线y=x 对称的圆的方程为x42+y+32=1 .故选A.4. （多选）已知ABC 的三个顶点为A1,2 ,B2,1 ,C3,4 ,则下列关于ABC 的外接圆圆M 的说法正确的是( ABD )A. 圆M 的圆心坐标为1,3 B. 圆M 的半径为5 C. 圆M 关于直线x+y=0 对称D. 点2,3 在圆M 内解析选ABD.设ABC 的外接圆圆M 的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 ,则1+4D+2E+F=0，4+1+2D+E+F=0，9+16+3D+4E+F=0， 解得D=
9、2，E=6，F=5. 所以ABC 的外接圆圆M 的方程为x2+y22x6y+5=0 ,即x12+y32=5 .故圆M 的圆心坐标为1,3 ，半径为5 ，因为直线x+y=0 不经过圆M 的圆心1,3 ，所以圆M 不关于直线x+y=0 对称.因为212+332=15 ,故点2,3 在圆M 内.5.（多选）设有一组圆Ck:xk2+yk2=4kR ，下列命题正确的是( ABD )A. 不论k 如何变化，圆心C 始终在一条直线上B. 所有圆Ck 均不经过点3,0 C. 经过点2,2 的圆Ck 有且只有一个D. 所有圆的面积均为4 解析选ABD.A 选项，圆心为k,k ，一定在直线y=x 上，A正确；B选
10、项，将3,0 代入得2k26k+5=0 ，其中=40 ，故经过点2,2 的圆Ck 有两个，C错误；所有圆的半径均为2，面积均为4 ，D正确.故选ABD.6.已知点A2,1 在圆C:x2+y22x+my+2=0 的外部，则实数m 的取值范围为3,22,+ .解析由题意，得22+m280，22+1222+m+20, 解得3m2 .7. 若圆C 经过坐标原点和点4,0 且与直线y=1 相切，则圆C 的方程是x22+y+322=254 .解析由已知可设圆心为2,b ，由22+b2=1b2=r2 ，得b=32 ,r2=254 .故圆C 的方程为x22+y+322=254 .8.已知直线l1:y=kx+1
11、 ,l2:y=kx+5 均垂直于圆x2+yb2=9 的某条直径，且l1 ,l2 三等分该条直径，则b= 3，k2= 3.解析由题意，圆x2+yb2=9 的圆心坐标为0,b ，半径为r=3 ，又由直线l1:y=kx+1 ,l2:y=kx+5 ，可得两平行线间的距离为d=511+k2=2 ，解得k2=3 .又由圆心0,b 到l1 ,l2 的距离相等，所以b11+k2=b51+k2 ，可得b1=b5 ，解得b=3 .9. 已知动圆C 经过点A2,3 和B2,5 .（1） 当圆C 面积最小时，求圆C 的方程；答案解：要使圆C 的面积最小，则AB 为圆C 的直径，圆心C0,4 ，半径r=12AB=5 ，
12、所以所求圆C 的方程为x2+y+42=5 .（2） 若圆C 的圆心在直线3x+y+5=0 上，求圆C 的方程.答案设所求圆C 的方程为xa2+yb2=r2 ，根据已知条件得2a2+3b2=r2，2a2+5b2=r2，3a+b+5=0， 解得a=1，b=2，r=10， 所以所求圆C 的方程为x+12+y+22=10 .B级 综合运用10.（多选）在平面直角坐标系内，已知A1,0 ，B1,0 ，C 是平面内一动点，则下列条件中使得点C 的轨迹为圆的有( BCD )A. AC=BC B. AC=2BC C. ACBC=0 D. ACBC=2 解析选BCD.设点Cx,y ,则AC=x+1,y ,BC=
13、x1,y ,对于A，由AC=BC ，得x+12+y2=x12+y2 ,整理，得x=0 ，则点C 的轨迹为一条直线，所以A不符合题意；对于B，由AC=2BC ，知AC2=4BC2 ，则x+12+y2=4x12+y2 ,整理，得x2+y2103x+1=0 ,则点C 的轨迹为一个圆，所以B符合题意；对于C，由ACBC=0 ，知x+1x1+y2=0 ,整理，得x2+y2=1 ,则点C 的轨迹为一个圆，所以C符合题意；对于D，由ACBC=2 ，知x+1x1+y2=2 ，整理，得x2+y2=3 ，则点C 的轨迹为一个圆，所以D符合题意.综上可知，选BCD.11. （多选）关于曲线C:x2+y2=2x+2y
14、 ，下列说法正确的是( AC )A. 曲线C 围成图形的面积为4+8 B. 曲线C 所表示的图形有且仅有2条对称轴C. 曲线C 所表示的图形是中心对称图形D. 曲线C 是以1,1 为圆心，2为半径的圆解析选AC.曲线C:x2+y2=2x+2y 如图所示：对于A: 图形在各个象限的面积相等，在第一象限中的图形，是以1,1 为圆心，2 为半径的圆的一半加一个直角三角形，则S1=1222+1222=+2 ，所以曲线C 围成的图形的面积为S=4S1=4+8 ,故A正确；对于B，由图可知，曲线C 所表示的图形的对称轴有x 轴、y 轴、直线y=x 、直线y=x ，共4条，故B错误；对于C，由图可知，曲线C
15、 所表示的图形是关于原点对称的中心对称图形，故C正确；对于D，曲线C 的图形不是一个圆，故D错误.12.已知P 为圆C:x32+y42=1 上一点，A1,0 ，B1,0 ，则PA2+PB2 的最小值为34.解析设点Px,y ，O 为坐标原点，圆心为C3,4 ，半径为r=1 ，则PA2+PB2=x+12+y2+x12+y2=2x2+y2+2=2PO2+2 ，因为032+0421 ，所以，原点O 在圆C 外，且OC=32+42=5 ，如图所示，则OPOCr=51=4 ，当且仅当点P 为线段OC 与圆C 的交点时，等号成立.所以PA2+PB2=2PO2+2242+2=34 .13.已知RtABC 的
16、直角顶点为C1,1 ,A ,B 为圆x2+y2=9 上两动点，则边长AB 的最大值为4+2 .解析令Dx,y 为AB 的中点，在RtABC 中，AB=2CD ,又CD=AD=BD ,且OD2+AD2=OD2+CD2=9 ,所以x2+y2+x12+y12=9 ，整理得x122+y122=4 ，所以D 的运动轨迹是以E12,12 为圆心，2为半径的圆，又因为1122+11224 ，所以点C 在圆x122+y122=4 内，所以CDmax=2+EC=2+22 ，所以ABmax=2CDmax=4+2 .14. 已知点P2,2 ，圆C:x2+y28y=0 ，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点
17、，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.答案解：圆C:x2+y42=42 ,故圆心为C0,4 ，半径为4，点P 在圆C 内部.（1） 求点M 的轨迹方程；答案当C ，M ，P 三点均不重合时,CMP=90 ，所以点M 的轨迹是以线段PC 为直径的圆（除去点P ，C ）.线段PC 中点为1,3 ，12PC=12202+242=2 ，故M 的轨迹方程为x12+y32=2 （x2 ，且y2 或x0 ，且y4 ）.当C ，M ,P 三点中有重合的情形时，易求得点M 的坐标为2,2 或0,4 .综上可知，点M 的轨迹是一个圆，轨迹方程为x12+y32=2 .（2） 当OP=OM 时，求l 的方程及PO
18、M 的面积.答案由（1）可知点M 的轨迹是以点N1,3 为圆心，2 为半径的圆.由题意知O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ONPM ，因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为13 ，故l 的方程为y=13x+83 ,即x+3y8=0 .又易得OM=OP=22 ，点O 到l 的距离为812+32=4105 ，PM=222241052=4105 .所以POM 的面积为1241054105=165 .C级 素养提升15. 如图，A2,0 ，B1,1 ，C1,1 ，D2,0 ，CD 是以OD 为直径的圆上一段圆弧，CB 是以BC 为直径的圆上一段圆弧，BA 是以OA 为直径的圆上一段
19、圆弧，三段弧构成曲线W ，则下列说法中错误的是( A )A. 曲线W 与x 轴围成的面积等于2 B. 曲线W 有5个整点（横纵坐标均为整数的点）C. CB 所在圆的方程为x2+y12=1 D. CB 与BA 的公切线方程为x+y=2+1 解析选A.如图所示，连接BC 交y 轴于点G ，过点C 作CKx 轴于点K ，过点B 作BLx 轴于点L ，则面积S=+2 ，故A错误；曲线W 上有A ，B ，C ，D ，M ，共5个整点，其中M0,2 ，故B正确；CB 所在圆的圆心为0,1 ，半径为1，故圆的方程为x2+y12=1 ，C正确；设CB 与BA 的公切线方程为y=kx+b ，根据图象知k0 ，则
20、k+b1+k2=1 ，1+b1+k2=1 ，解得k=1 ，b=2+1 ，即x+y=2+1 ，D正确.故选A.16.已知圆M 经过函数y=x26x+5 的图象与坐标轴的3个交点.（1） 求圆M 的标准方程；答案解：因为函数y=x26x+5 的图象与坐标轴的3个交点分别为B0,5 ，C1,0 ，D5,0 ，根据题意，设圆M 的圆心坐标为M3,b ，由MB=MC ，可得9+b52=4+b2 ，解得b=3 ，则MC=13 ，故圆M 的标准方程为x32+y32=13 .（2） 若点P 为圆N:x2+y22=1 上一动点，点Q 为圆M 上一动点，点A 在直线y=2 上运动，求AP+AQ 的最小值，并求此时点A 的横坐标.答案设圆N 关于直线y=2 对称的圆为圆E ，则圆E 的方程为x2+y+62=1 .设Ax,2 ，则当A ，E ，M 三点共线时，AP+AQ 取得最小值，且AP+AQ 的最小值为ME131=92+32131=310131 ，此时可得kME=kAE ，即3+630=2+6x0 ，解得x=43 ，故点A 的横坐标为43 .
