1、7.6.1-向量法求空间角-专项训练1如图，在三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，PAABBC1，PC3.(1)求证：BC平面PAB；(2)求二面角A-PC-B的大小2如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABACAA13，点D是BC的中点，点E在AA1上，AD平面BC1E.(1)求证：平面BC1E平面BB1C1C；(2)当三棱锥B1-BC1E的体积最大时，求直线AC与平面BC1E所成角的正弦值3如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，ABC60，AB2，AA123，E为线段DD1上一点(1)求证：ACB1D；(2)若平面AB1E与平面ABCD的夹角的余弦值为2
2、5，求直线BE与平面AB1E所成角的正弦值4如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC平面ABC，PAC中，PAPCAC2，BC4，E，F分别是PC，PB的中点(1)求证：BC平面PAC；(2)记平面AEF与平面ABC的交线为直线l，点Q为直线l上的动点，求直线PQ与平面AEF所成的角的取值范围参考答案1解：(1)证明：因为PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC，同理PAAB，所以PAB为直角三角形，又因为PBPA2+AB22，BC1，PC3，所以PB2BC2PC2，则PBC为直角三角形，故BCPB.又因为BCPA，PAPBP，所以BC平面PAB.(2)由(1)知BC平面P
3、AB，又AB平面PAB，则BCAB，以A为原点，AB为x轴，过A且与BC平行的直线为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，B(1，0，0)，所以AP(0，0，1)，AC(1，1，0)，BC(0，1，0)，PC(1，1，1)设平面PAC的法向量为m(x1，y1，z1)，则mAP0，mAC0，即z1=0，x1+y1=0，令x11，则y11，所以m(1，1，0)为平面PAC的一个法向量，设平面PBC的法向量为n(x2，y2，z2)，则nBC=0，nPC=0，即y2=0，x2+y2z2=0，令x21，则z21，所以n(1，0，1)为平面PB
4、C的一个法向量，所以cos m，nmnmn12212.又因为二面角A-PC-B为锐二面角，所以二面角A-PC-B的大小为3.2解：(1)证明：取BC1中点M，连接EM，MD，如图所示ABAC，点D是BC的中点， ADBC，又M是BC1的中点，DMCC1 ，又在直三棱柱ABC-A1B1C1中，有AA1CC1，AA1平面ABC，DMAE，DM平面ABC，AD平面BC1E，且AD平面ADME，平面ADME平面BC1EEM，ADME，CC1平面ABC，且AD平面ABC，CC1AD，又CC1BCC，且CC1，BC平面BB1C1C，AD平面BB1C1C.又ADME，ME平面BB1C1C，ME平面BC1E，
5、平面BC1E平面BB1C1C.(2)由(1)知ME平面BB1C1C，则VB1BC1E13SB1BC1ME，设BC2a，则BDa，AD9a2，SB1BC1122a33a，VB1BC1E133a9a2a2+9a2292，由基本不等式知，当且仅当a9a2时等号成立，即三棱锥B1-BC1E的体积最大，此时a322.以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，DM所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则有A322，0，0，C0，322，0，B0，322，0，E322，0，32，C10，322，3，AC322，322，0，C1B(0，32，3)，BE322，322，32，设平面BC1E的
6、法向量为n(x1，y1，z1)，则有nC1B=32y13z1=0，nBE=322x1322y1+32z1=0，取y12，解得n(0，2，2)为平面BC1E的一个法向量，设直线AC与平面BC1E所成的角为，则sin |cosn，AC|332+466，故直线AC与平面BC1E所成角的正弦值为66.3解：(1)证明：连接BD，底面ABCD为菱形，ACBD.又BB1平面ABCD，AC平面ABCD，BB1AC.又BDBB1B，BD，BB1平面BDB1，AC平面BDB1又B1D平面BDB1，ACB1D.(2)设CD的中点为F，连接AF，如图ACD为等边三角形，AFCD，又CDAB，则AFAB.又AA1平面
7、ABCD，则AA1AB，AA1AF.以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(1，3，0)，E(1，3，h)(0h23)，B1(2，0，23)，AB1(2，0，23)，AE(1，3，h)，设平面AB1E的法向量为n(x，y，z)，nAB1=0，nAE=0，2x+23z0，x+3y+z0，令x3，则n(3，h3，3)为平面AB1E的一个法向量又平面ABCD的一个法向量为m(0，0，1)，则cos n，mnmnm32+23+15.又平面AB1E与平面ABCD的夹角的余弦值为25，32+23+1525，0h23，h32=532舍去，BE3，3，32，co
8、sBE，nBEnBEn651275281785.直线BE与平面AB1E所成角的正弦值为81785.4解：(1)证明： 因为C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，BCAC，又平面PAC平面ABC，且平面PAC平面ABCAC，BC平面ABC，BC平面PAC.(2)E，F分别是PC，PB的中点，BCEF.又EF平面AEF，BC平面AEF，BC平面AEF，又BC平面ABC，平面AEF平面ABCl，BCl.以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A(2，0，0)，B(0，4，0)，P(1，0，3)，E12，0，32，F12，2，32，AE32，0，32，EF(0，2，0)，BCl，可设Q(2，y，0)，平面AEF的法向量为m(x，y，z)，则AEm=3x2+3z2=0，EFm=2y=0，取z3，得m(1，0，3)为平面AEF的一个法向量，又PQ(1，y，3)，则|cosPQ，m|PQmPQm14+y20，12.直线PQ与平面AEF所成角的取值范围为0，6
