1、2024天津中考数学二轮重难题型专题训练 题型七 第24题平面直角坐标系下的图形变化 类型一旋转问题典例精讲例 1在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O(0，0)，点A(5，0)，点B(0，3)以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F.()如图，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；例1题图【思维教练】利用勾股定理可以求得CD，进而得到BD，则可求得点D的横坐标，而点D落在BC边上，可求得点D的纵坐标，进而得到点D的坐标()如图，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H.求证：ADBAOB; 【思维教练】当点D落在线段BE上时，可得A
2、OB和ADB均为直角三角形，进而可得ADAO，ABAB，利用HL即可证得RtADBRtAOB例1题图求点H的坐标；【思维教练】由得BAOBAD，而由矩形性质得CBAOAB，进而可得BADCBA，则AHBH，在RtAHC中，利用勾股定理列方程即可求出AH的长度，则可得到BH的长度，进而得到点H的坐标()记K为矩形AOBC对角线的交点，S为KDE的面积，求S的取值范围(直接写出结果即可)【思维教练】本问属于旋转过程中的点圆最值问题，如图，点D在以A为圆心，OA长为半径的圆上，当点D在线段AB上时，KDE的面积最小；当点D在线段BA的延长线上时，KDE的面积最大针对演练1.在平面直角坐标系中，O为原
3、点，点A(4，0)，点B(0，3)，把ABO绕点B逆时针旋转，得ABO，点A，O旋转后的对应点为A，O.记旋转角为.()如图，若90，求AA的长；()如图，若120，求点O的坐标；()在()的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P，当OPBP取得最小值时，求点P的坐标(直接写出结果即可)第1题图2. 在平面直角坐标系中，有正方形OBCD和正方形OEFG, E(2，0)，B(0，2)()如图，求BE的长；()将正方形OBCD绕点O逆时针旋转，得正方形 OBCD.如图，当点B恰好落在线段DG上时，求BE的长；将正方形OBCD绕点O继续逆时针旋转，线段DG与线段BE的交点为H，求GHE与BHD面
4、积之和的最大值，并求出此时点H的坐标(直接写出结果) 图 图第2题图3. 如图，ABC是边长为2的等边三角形，点E为BC中点，连接AE并延长与x轴交于点D，已知点B(0，2) .()求点D的坐标；()如图，将ABC绕点A逆时针旋转得到ABC，点 B，C的对应点分别为点B，C，D为D关于y轴的对称点连接DB，CD，证明：DBCD.连接BD，点F为BD的中点，连接DF，在ABC绕点A逆时针旋转过程中，当线段DF最大时，请直接写出DOF的面积第3题图 4. 在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A, C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(2 , 2) ，将矩形OABC绕点A顺时针旋转，得到矩形O1AB
5、1C1，点O，B，C的对应点分别为O1，B1，C1.()如图，当45时，O1C1与AB相交于点E，求点E的坐标；()如图，当点O1落在对角线OB上时，连接BC1，四边形OAC1B是何特殊的四边形？并说明理由；()连接BC1，当BC1取得最小值和最大值时，分别求出点B1的坐标(直接写出结果即可)第4题图类型二折叠问题满分技法具体内容详见本书 微专题图形折叠问题典例精讲例 2将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点A(2，0)，点B在第一象限，OAB90，B30，点P在边OB上(点P不与点O，B重合)()如图，当OP1时，求点P的坐标；【思维教练】已知OP，要求点P的坐
6、标，需过点P作PHx轴于点H，构造RtOPH，再解直角三角形即可求解例2题图 ()折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且OQOP，点O的对应点为O，设OPt. 如图，若折叠后OPQ与OAB重叠部分为四边形，OP，OQ分别与边AB相交于点C，D，试用含有t的式子表示OD的长，并直接写出t的取值范围；【思维教练】要求OD关于t的函数关系式，观察图形可用OQQD求解，已知OQOP，可得四边形OQOP为菱形，进而可得QO，QA关于t的函数关系式，再在RtQAD中利用直角三角形的边角关系即可求解例2题图 若折叠后OPQ与OAB重叠部分的面积为S，当1t3时，求S的取值范围(
7、直接写出结果即可)【思维教练】要求当1t3时S的取值范围，需先分段确定S关于t的函数关系式，再利用函数性质求解针对演练1. 将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点A(，0)，点B(0，1)，点O(0，0)P是边AB上的一点(点P不与点A，B重合)，沿着OP折叠该纸片，得点A的对应点A.()如图，当点A在第一象限，且满足ABOB时，求点A的坐标；()如图，当P为AB中点时，求AB的长；()当BPA30时，求点P的坐标(直接写出结果即可) 图 图第1题图2. 将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A(，0)，点B(0，1)，点O(0，0)过边OA上的动点M(点M不与点
8、O，A重合)作MNAB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A，设OMm，折叠后的AMN与四边形OMNB重叠部分的面积为S.()如图，当点A与顶点B重合时，求点M的坐标；()如图，当点A落在第二象限时，AM与OB相交于点C，试用含m的式子表示S；()当S时，求点M的坐标(直接写出结果即可)第2题图3. 将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，点B坐标为(4，10)()如图，将矩形纸片OABC折叠，使点B落在y轴上的点D处，折痕为线段AE，求点D坐标；()如图，点E，F分别在OC，AB边上，将矩形纸片OABC沿线段EF折叠，使得点B与D(0，2)
9、重合求点C的对应点G的坐标；()在()的条件下，若点P是坐标系内任意一点，点Q在y轴上，使以点D、F、P、Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出满足条件的点P的坐标第3题图 4. 将一张矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点A(0，6)，点C(8，0)点P是边OC上的一个动点，将OAP沿AP折叠，得点O的对应点为点Q.()如图，当点Q恰好落在AC上时，求点P的坐标；()如图，直线AQ交BC于点M.当QMCM时，求点P的坐标；当BQ的长最小时，求四边形PCMQ的面积(直接写出结果即可)第4题图类型三平移问题典例精讲例 3在平面直角坐标系中，O为原点，OAB是等腰直角三角形，OBA
10、90，BOBA，顶点A(4，0)，点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E(，0)，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B.【思维教练】要求点B的坐标，由OAB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质和底边OA的长度，求出斜边上的高即可求解()如图，求点B的坐标；例3题图 ()将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形OCDE，点O，C，D，E的对应点分别为O，C，D，E.设OOt，矩形OCDE与OAB重叠部分的面积为S.如图，当点E在x轴正半轴上，且矩形OCDE与OAB重叠部分为四边形时，DE与OB相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；【思维教练】要求重叠部分
11、面积S与t的函数关系式，观察图形可知用SOABSFOE即可求解例3题图当t时，求S的取值范围(直接写出结果即可)【思维教练】要求当t时S的取值范围，先分段确定S关于t的函数关系式，再利用函数的性质求解针对演练1. 在平面直角坐标系中，O为原点，点A(6，0)，点B在y轴的正半轴上，ABO30.矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD2.()如图，求点E的坐标；()将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形CODE，点C，O，D，E的对应点分别为C，O，D，E.设OOt，矩形CODE与ABO重叠部分的面积为S.如图，当矩形CODE与ABO重叠部分为五边形时，CE，ED分别与AB相交
12、于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；当S5时，求t的取值范围(直接写出结果即可)第1题图 2. 在平面直角坐标系中，已知点A(2，0)，点B(0，4)，点E在OB上，且OAEOBA.()如图，求点E的坐标；()如图，将AEO沿x轴向右平移得到AEO，连接AB，BE.设AAm，其中0m2，试用含m的式子表示AB2 BE2，并求出使AB2 BE2取得最小值时点E的坐标；当ABBE取得最小值时，求点E的坐标第2题图3. 将一个平行四边形纸片ABCD放置在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A(2，0)，点B(1，0)，点D在y轴正半轴上，DAB60.()如图，求点D的坐标；()
13、剪切下ADO并将其沿x轴正方向平移，点A的对应点为A，点D的对应点为D，点O的对应点为O，设OOt，ADO和四边形OBCD重叠部分的面积为S.如图，若平移后ADO和四边形OBCD重叠部分是五边形时，AD交y轴于点E，OD交BC于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；当t时，求S的取值范围(直接写出结果即可) 图 图第3题图4. 在平面直角坐标系中，O(0，0)为原点，点A(4，0)，B(0，4)，C(2，0)，AEBC于点E，交OB于点D.()如图，求点D的坐标；()将AOD沿x轴的正方向平移，得到AOD，点A，O，D的对应点分别为A，O，D，设AAm.如图，当BDD45时，设
14、AD交BC于点F，求EF的长；设平移后的AOD与BOC重叠部分的面积为S，当0m4时，求S关于m的关系式(直接写出结果即可)第4题图参考答案类型一旋转问题典例精讲例 1解：()点A(5，0)，点B(0，3)，OA5，OB3，四边形AOBC是矩形，ACOB3，BCOA5，OBCC90，矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到的，ADAO5，在RtADC中，由勾股定理得DC4，BDBCDC541，点D的坐标为(1，3); ()证明：由四边形ADEF是矩形，得ADE90，又点D在线段BE上，ADB90，由()知，ADAO，又ABAB，AOB90，RtADBRtAOB；由RtADBRtAOB得BADBAO
15、，在矩形AOBC中，OABC，CBAOAB，BADCBA，BHAH，设BHt，则AHt，HCBCBH5t，在RtAHC中，AH2AC2HC2，即t232(5t)2，解得t，BH，点H的坐标为(，3)；()S.【解法提示】如解图，以点A为圆心，AD为半径作A，则在矩形ADEF旋转过程中，DE始终是A的切线，切点为D，设在KDE中，DE边上的高为h，则：当点D与D1重合，即KD1D1E1时，此时hKD1取到最小值，ShD1E1取到最小值，而D1E1OB3，hKD1AD1AKAOAK55，S(5)3；当点D与点D2重合时，KD2D2E2，此时hKD2取到最大值，ShD2E2取到最大值，由可得此时S(
16、5)3.综上所述，S.例1题解图针对演练1. 解：()A(4，0)，B(0，3)，OA4，OB3.在RtABO中，由勾股定理得AB5，根据题意，ABO是ABO绕点B逆时针旋转90得到的，由旋转的性质可得ABA90，ABAB5，在RtABA中，由勾股定理得，AA5；()如解图，过点O作OCy轴，垂足为C，则OCB90，由旋转的性质可得OBO120，OBOB3，在RtOCB中，OBC180OBO60，OCOBsinOBCOBsin60，BCOBcosOBCOBcos60.OCOBBC3.点O的坐标为(，)；第1题解图()点P的坐标是(，)【解法提示】如解图，由旋转得BPBP，作点B(0，3)关于x
17、轴的对称点B(0，3)，由()得O(，)，可求得直线OB的解析式为yx3，令y0，得x，P(，0)，则当O、P、B三点共线时，OPBP最小，OP，OP，过点P作PIy轴，过点O作OIx轴，PI与OI交于点I.在RtPOI中，POI90BOI60，PIsin60，IOcos60.O(，)，P(，)第1题解图2. 解：()由题意可知OE2，OB2，在RtOBE中，由勾股定理得BE2；()四边形OBCD和四边形OEFG都是正方形，ODOB，OGOE，DOBGOE90，DOBBOGGOEBOG，即DOGBOE，在ODG和OBE中，ODGOBE(SAS)，DGBE，如解图，连接OC交DG于点M，四边形O
18、BCD是正方形，OMGODC90，MDO45，在RtOMD中，cosMDO，DMODcos45OBcos452，OMDM，在RtOMG中，由勾股定理得GM.DGDMGM，BEDG；第2题解图GHE与BHD面积之和的最大值为6，此时点H的坐标为(0，0)【解法提示】对于EGH，点H在以EG为直径的圆上，当点H与点O重合时，EGH的高最大；对于BDH，点H在以BD为直径的圆上，当点H与点O重合时，BDH的高最大，则GHE和BHD面积之和的最大值为246，此时点H的坐标为(0，0)3. 解：()ABC是等边三角形，点E为BC中点，ADBC，OAD30，又ABC的边长为2，点B(0，2)，OA4，OA
19、D30，在RtAOD中，tanOAD，ODOAtan304，点D的坐标为(4，0)；()如解图，连接AD，AD，ODOD，AODD，ADAD8，DD8，ADADDD，ADD为等边三角形，DAD60.BAC60，DADBAC，DABDAC，ADAD，ABAC，ADBADC(SAS)，DBCD；第3题解图()5.【解法提示】如解图，连接AD，AD，取AD的中点E，连接DE，EF.ADD是等边三角形，AEED，DEAD，AD8，AODE4，AEDE，BFDF，EFAB，点F的运动轨迹是以E为圆心，为半径的圆，当点F在DE的延长线上时，DF的值最大，此时DF45，SDOF545.第3题解图4. 解：(
20、)四边形OABC为矩形，OAB90.OAO145，O1AE45.AO1E90，O1AOA2，AE2，E(2，2)；()四边形OAC1B是平行四边形，理由如下：在RtAOB中，tanAOB，BOA60，同理可得O1AC160，OAO1A，OAO1是等边三角形，OAO160，AC1与x轴的夹角等于60，BOAC1，又BOAC1，四边形OAC1B为平行四边形；()当BC1取得最小值时，点B1的坐标为(2，3)，当BC1取得最大值时，点B1的坐标为(2，3)【解法提示】点C1的运动路径是以A为圆心，AC1为半径的圆，如解图，当点C1在AB的延长线上时，BC1取得最小值，过点B1作B1Gx轴于点G，在R
21、tB1AG中，B1AG180903060，AGB1A，B1GAG3，当BC1取得最小值时，点B1的坐标为(2，3)；如解图，当点C1在BA的延长线上时，BC1取最大值，过点B1作B1Hx轴于点H，在RtB1AH中，B1AH180903060，AHAB12，B1HAH3，当BC1取得最大值时点B1的坐标为(2，3)综上所述，当BC1取得最小值和最大值时点B1的坐标分别为(2，3)，(2，3)第4题解图第4题解图类型二折叠问题典例精讲例 2解：()如解图，过点P作PHx轴，垂足为H，则OHP90.OAB90，B30，BOA90B60，OPH90POH30，在RtOHP中，OP1，OHOP，HP.点
22、P的坐标为(，)；例2题解图()由折叠的性质知，OPQOPQ，OPOP，OQOQ，又OQOPt，OPOPOQOQt.四边形OQOP为菱形QOOB，ADQB30.点A(2，0)，OA2，QAOAOQ2t.在RtQAD中，QD2QA42t，ODOQQD3t4，其中t的取值范围是t2；S.【解法提示】POOQ，BOA60，OPQ为等边三角形，OPQ为等边三角形，PQt，O60，POPQQO，当1t时，重叠部分为等边OPQ，如解图，St2，则S；当t2时，重叠部分为四边形PEFQ，如解图，POOPOQQO，四边形OQOP为菱形，POOA，EFPO，POt，AO2，OB4，BP4t，OBA30，PEBP
23、(4t)，OEt(4t)(3t4)，O60，EFOE(3t4)，SOEFOEEF(3t4)2，则SSOPQSOEFt2(3t4)2t23t2，则S；当2t3时，重叠部分为RtPEF，如解图，PE(4t)，EPF60，EF(4t)，SPEEF(t4)2，则S0，当m1时，AB2BE2取得最小值此时点E的坐标为(1，1)；如解图，过点A作ABx轴，并使ABBE3.连接BB交x轴于A，将AEO沿x轴向右平移得到AEO，连接BE，BA，BAABEE90，AAEE，ABAEBE，BABE，ABBEABBA.当点B、A、B在同一条直线上时，ABBA最小，即此时ABBE取得最小值，最小值即为解图中BB的长度
24、ABx轴，ABBO，ABAOBA，AO2，AA2，EEAA，当ABBE取得最小值时，点E的坐标是(，1)第2题解图3. 解：()点A(2，0)，OA2.在RtADO中，DAO60，DOOAtanDAO2tan602.又点D在y轴正半轴上，点D的坐标为(0，2)；()由平移的性质可知，ADOADO，ADBC， AOAO2，DODO2，DABCBO60.由OOt，B(1，0)知，AOAOOO2t，BOOOOBt1，在RtAEO中，EOAOtanEAO(2t)tan60(2t)，SAEOAOOE(2t)(2t)(2t)2.同理SBFOBOFO(t1)2. 又SADOAODO222.SSADOSAEOSBFO2(2t)2(t1)2，即St23t(1t2); S.【解法提示】当t1时，如解图，记AD与y轴交于点H, OOt, OA2t, OHOAtan60(2t)，OD2， SSADOSAHO22(2t)2, 当t1时，S随t的增大而增大，当t时，S，同理可得，当t1时，S， 当t1时，S；当1t2时，由得St23t(t)2，0，当t时，S有最大值，最大值为；当2t时，如解图，记BC与OD交于点F, 同理可得OOt，OB1，AO2，DO2，FBO60， BOOOOBt
