1、单调性与最大（小）值单调性与最大（小）值 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、函数的单调性要点一、函数的单调性 1增函数、减函数的概念增函数、减函数的概念 一般地，设函数 f(x)的定义域为 A，区间DA ： 如果对于D内的任意两个自变量的值 x1、x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间D 上是增函数； 如果对于D内的任意两个自变量的值 x1、x2，当 x1f(x2)，那么就说 f(x)在区间D 上是减函数. 要点诠释：要点诠释： (1)属于定义域 A 内某个区间上； (2)任意两个自变量 12 ,x x且 12 xx； (3)都有 1212 ( )()( )
2、()f xf xf xf x或； (4)图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的. 2单调性与单调区间单调性与单调区间 （1）单调区间的定义 如果函数 f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数 f(x)在区间D上具有单调性，D称为函 数 f(x)的单调区间. 函数的单调性是函数在某个区间上的性质. 要点诠释：要点诠释： 单调区间与定义域的关系-单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集； 单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； 不能随意合并两个单调区间； 有的函数不具有单调性. (2)已知解析式，如何判断一个函数
3、在所给区间上的单调性？ 3函数的最大（小）值函数的最大（小）值 一般地，设函数( )yf x的定义域为I，如果存在实数M满足： 对于任意的xI，都有( )f xM（或( )f xM） ； 存在 0 xI，使得 0 ()f xM，那么，我们称M是函数( )yf x的最大值（或最小值）. 要点诠释：要点诠释： 最值首先是一个函数值，即存在一个自变量 0 x，使 0 ()f x等于最值； 对于定义域内的任意元素x，都有 0 ( )()f xf x（或 0 ( )()f xf x） ，“任意”两字不可省； 使函数( )f x取得最值的自变量的值有时可能不止一个； 函数( )f x在其定义域（某个区间）
4、内的最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标；最小值的几 何意义是图象上最低点的纵坐标. 4.证明函数单调性的步骤证明函数单调性的步骤 (1)取值.设 12 xx，是( )f x定义域内一个区间上的任意两个量，且 12 xx； (2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； (3)定号.判断差的正负或商与 1 的大小关系； (4)得出结论. 5.函数单调性的判断方法函数单调性的判断方法 (1)定义法； (2)图象法； (3)对于复合函数，若 tg x在区间ab，上是单调函数，则 yf t在区间 ( )( )g ag b， 或者( )( )g bg a，上是单调函数；若 t
5、g x与 yf t单调性相同（同时为增或同 时为减） ， 则 yfg x 为增函数； 若 tg x与 yf t单调性相反， 则 yfg x 为减函数. 要点二、基本初等函数的单调性要点二、基本初等函数的单调性 1正比例函数正比例函数(0)ykx k 当 k0 时，函数ykx在定义域 R 是增函数；当 k0 时，函数ykxb在定义域 R 是增函数；当 k0，在区间( 2 b a ，函数是减函数；在区间) 2 b a ，+，函数是增函数； 若 a0，在区间( 2 b a ，函数是增函数；在区间) 2 b a ，+，函数是减函数 要点三、一些常见结论要点三、一些常见结论 (1)若( )f x是增函数
6、，则( )f x为减函数；若( )f x是减函数，则( )f x为增函数； (2)若( )f x和( )g x均为增（或减）函数，则在( )f x和( )g x的公共定义域上( )( )f xg x为增（或 减)函数； (3)若( )0f x 且( )f x为增函数，则函数( )f x为增函数， 1 ( )f x 为减函数； 若( )0f x 且( )f x 为减函数，则函数( )f x为减函数， 1 ( )f x 为增函数. 【典型例题】【典型例题】 类型一、函数的单调性的证明类型一、函数的单调性的证明 例 1讨论函数( )(0) a f xxa x 的单调性，并证明你的结论. 【解析】设
7、12 0 xxa，则 12 0 xx， 121212 0,0,0 x xx xax xa. 1212 1212 1212 ()() ()()0 xxx xaaa f xf xxx xxx x ，即 12 ( )()f xf x. ( )f x在0, a 上单调递减. 同理可得( )f x在 ,a 上单调递增；在,a 上单调递增；在 ,0a 上单调递减. 故函数( )f x在,a 和 ,a 上单调递增；在 ,0a 和0, a 上单调递减. 类型二、求函数的单调区间类型二、求函数的单调区间 例 2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2； (2) 2 |1|( -2)yxx 举一
8、反三：举一反三： 【变式 1】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|； (2) 1 21 y x ； (3) 2 1 y x ； （4）y=|x2-2x-3|. 例 3.已知函数( )yf x的定义域为R，且对任意的x、 xR均有 ()( )( )f xxf xf x，且 对任意的0 x，都有( )0,(3)3f xf . （1）试说明：函数( )yf x是R上的单调递减函数； （2）试求函数( )yf x在,m n（,m nZ且0mn）上的值域. 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知( )f x的定义域为(0,)，且当1x 时( )0f x .若对于任意两个正数x和y都有 ()( )
9、( )f xyf xf y，试判断( )f x的单调性. 【变式 2】已知增函数 y=f（x）的定义域为(0 ,)且满足 f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y） ，求满 足 f（x）+f（x3）2 的 x 的范围 类型三、单调性的应用类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 例 4. 已知函数( )f x是定义域为R的单调增函数 （1）比较 2 (2)f a 与(2 )fa的大小； （2）若 2 ()(6)f af a，求实数a的取值范围 例 5. 求下列函数的值域： (1) 2 -1 2 x y x
10、 ； x5，10； x(-3，-2)(-2，1)； (2) 2 -28yxx； (3)43 -1-2yxx； (4)1-2yxx. 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知 2 2 43,( 30) ( )33,(01) 65,(16) xxx f xxx xxx （1）画出这个函数的图象； （2）求函数的单调区间； （3）求函数 f（x）的最大值和最小值 例 6.求 2 ( )21f xxax在区间0，2上的最大值和最小值. 类型四、抽象函数的单调性及应用类型四、抽象函数的单调性及应用 例 7已知：函数( )f x对一切实数 x，y 都有()( )(21)f xyf yx xy成立，且 f（1
11、）=0 （1）求 f（0）的值 （2）求 f（x）的解析式 （3）已知 aR，设 P：当 1 0 2 x时，不等式( )32f xxa恒成立； Q：当 x2，2时，( )( )g xf xax是单调函数 如果满足 P 成立的 a 的集合记为 A，满足 Q 成立的 a 的集合记为 B，求 ACRB（R 为全集） 【巩固练习】【巩固练习】 1定义域R上的函数( )f x对任意两个不相等的实数, a b，总有 ( )( ) 0 f af b ab ，则必有( ) A函数( )f x先增后减 B函数( )f x先减后增 C函数( )f x是R上的增函数 D函数( )f x是R上的减函数 2在区间)0
12、,(上为增函数的是( ) A1y B2 1 x x y C12 2 xxy D 2 1xy 3函数( )(2)f xx x 的一个单调递减区间可以是（ ） A.-2，0 B.0，2 C.1，3 D. 0，+） 4已知 (31)4 ,1 ( ) 1,1 axa x f x xx 是定义在 R 上的减函数，则实数 a 的取值范围是（ ） A 1 ,) 7 B 1 1 , ) 7 3 C 1 (, ) 3 D 11 (, ( ,) 73 5函数11yxx 的值域为( ) A2, B2, 0 C,2 D, 0 6设0a，函数 2 ( )f xaxbxc的图象关于直线1x 对称，则(1),( 2),(
13、3)fff之间的大 小关系是（ ） A. (1)( 2)( 3)fff B. ( 3)( 2)(1)fff C. (1)( 3)( 2)fff D. ( 2)( 3)(1)fff 7已知函数 2 2 4 ,0, ( ) 4,0, xx x f x xxx 若 2 (2)( )faf a，则实数a的取值范围是（ ） A , 12, B1,2 C2,1 D , 21, 8在函数( )yf x的图象上任取两点 1122 ( ,), (,)A x yB xy，称 21 21 yyy xxx 为函数( )yf x从 1 x 到 2 x之间的平均变化率.设函数 2 ( )1f xxx，则此函数从 1 x到
14、 2 x之间的平均变化率为（ ）. A 2112 ()(1)xxxx B 12 1xx C 2112 ()(1)xxxx D 12 1xx 9函数 2 32yxx的单调递增区间为（ ） A 3 , 2 B 3 , 2 C2 , D,1 10函数21yxx的值域是_. 11函数 2 ( )2f xxax 与 1 ( ) 1 ax g x x 在区间（1，2）上都单调递减， 则实数 a 的取值范围是_ 12 函数( )f x的定义域为 A， 若 12 ,x xA且 12 ( )()f xf x时总有 12 xx， 则称( )f x为单函数 例 如，函数( )21()f xxxR是单函数下列命题：
15、函数 2 ( )()f xxxR是单函数； 若( )f x为单函数， 12 ,x xA且 12 xx，则 12 ( )()f xf x； 若 f：AB 为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象； 函数( )f x在某区间上具有单调性，则( )f x一定是单函数 其中的真命题是_ （写出所有真命题的编号） 13已知函数( )f x的定义域为1,1，且同时满足下列条件：(1)()( )fxf x ；(2)( )f x在定 义域上单调递减；(3) 2 (1)(1)0,fafa求a的取值范围. 14已知二次函数 f（x）满足条件 f（0）=1 和 f（x+1）f（x）=2x （1）求 f（x） ； （2）求 f（x）在区间1，1上的最大值和最小值
