1、函数的奇偶性函数的奇偶性 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1函数奇偶性的概念函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)，那么 f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个 x，都有 f(-x)=-f(x)，那么 f(x)称为奇函数. 要点诠释：要点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？ -具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）f(-x)=f(x)的等价形式为： () ( )()0,1( ( )0) ( ) fx f xfx
2、f x f x ， f(-x)=-f(x)的等价形式为： () ( )()01( ( )0) ( ) fx f xfxf x f x ，； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有 f(0)=0； （5）若 f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有 f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之， 如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2） 如果一个函数为偶函数， 则它的图象关于y轴对称； 反之， 如果一个函数的图像关于y轴对称， 则这
3、个函数是偶函数. （3）注意到偶函数( )f x的性质：()( )(|)fxf xfx，可避免讨论 3.用定义判断函数奇偶性的步骤用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数( )f x的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数 既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数( )f x的定义域，化简函数( )f x的解析式； （3）求()fx，可根据()fx与( )f x之间的关系，判断函数( )f x的奇偶性. 若()fx=-( )f x，则( )f x是奇函数；若()fx=( )f x，则( )f x是偶函数； 要点二、判断函数奇偶性的
4、常用方法要点二、判断函数奇偶性的常用方法 （1） 定义法： 若函数的定义域不是关于原点对称， 则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数； 若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()fx与( )f x之一是否相等. （2）验证法：在判断()fx与( )f x的关系时，只需验证()fx( )f x=0 及 () 1 ( ) fx f x 是否成 立即可. （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y轴）对称. （4） 性质法： 两个奇函数的和仍为奇函数； 两个偶函数的和仍为偶函数； 两个奇函数的积是偶函数； 两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. （5）分段函数奇偶
5、性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断 方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称， 然后判断()fx与( )f x的关系.首先要特别注意x与 x的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，( )f x与()fx对应不同的表达式，而它们的结果 按奇偶函数的定义进行比较. 【典型例题】【典型例题】 类型一、判断函数的奇偶性类型一、判断函数的奇偶性 例 1. 判断下列函数的奇偶性： (1) 1- ( )(1) 1 x f xx x ； (2)f(x)=x2-4|x|+3 ； (3)f(x)=|x+3|-|x-3|； 【解析】(1)f(x)
6、的定义域为-1,1，不关于原点对称，因此 f(x)为非奇非偶函数； (2)对任意 xR，都有-xR，且 f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则 f(x)=x2-4|x|+3 为偶函数 ； (3)xR，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，f(x)为奇函数； (4) 2 1- ( ) |2| -2 x f x x ； (5) 2 2 -(0) ( ) (0) xx x f x xx x ； (6) 1 ( ) ( )-()() 2 f xg xgxxR (4) 2 -1x11-x0 x-1,00,1 x0 x-4x+22 且 22 1-1- ( ) (
7、2)-2 xx f x xx 2 2 1-(- )1- (- )- ( ) - xx fxf x xx ，f(x)为奇函数； (5)xR，f(x)=-x|x|+x f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，f(x)为奇函数； (6) 11 (- ) (- )- -(- ) (- )-( )- ( ) 22 fxg xgxg xg xf x，f(x)为奇函数. 举一反三：举一反三： 【变式 1】判断下列函数的奇偶性： (1) 2 3 ( ) 3 x f x x ； (2)( ) |1|1|f xxx； (3) 2 22 ( ) 1 xx f x x ； (4) 2 2
8、x2x1(x0) f(x)0(x0) x2x1 (x0) . 【解析】(1)( )f x的定义域是R，又 22 3()3 ()( ) ()33 xx fxf x xx ，( )f x是奇函数 （2）( )f x的定义域是R，又() |1|1| |1|1|( )fxxxxxf x ，是偶函数 （3） 22 ()()() 11fxxxxx ，()( )()( )fxf xfxf x且，为非奇非偶函数 （4）任取 x0 则-x0，f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x) 任取 x0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2
9、+2x-1)=-f(x) x=0 时，f(0)=-f(0) xR 时，f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数. 例例 2.已知函数( ),f x xR，若对任意实数, a b都有()( )( )f abf af b，判断( )f x的奇偶性. 【解析】设0,a 则( )(0)( )f bff b，(0)0f. 又设,ax bx ，则(0)()( )ffxf x， ()( )fxf x ，( )f x是奇函数. 举一反三：举一反三： 【变式 1】定义在（，0）（0，+）上的函数 f（x） ，总有 f（mn）=f（m）f（n） ， 且 f（x）0，当 x1 时，f（x）1 （1）求 f（1） ，
10、f（1）的值； （2）判断函数的奇偶性，并证明； （3）判断函数在（0，+）上的单调性，并证明 【解析】 （1）令 m=n=1，则有 f（1）=f（1）f（1） ， 又 f（x）0，则 f（1）=1 令 m=n=1，则有 f（1）=f（1）f（1） ， 又 f（1）=1，f（x）0，则 f（1）=1； （2）证明：定义域为（，0）（0，+） ， 令 m=x，n=1，则有 f（x）=f（x）f（1）=f（x） ， 所以 f（x）为偶函数； （3）证明： 12 ,(0,)xx ，且 12 xx，令 1 mnx， 2 mx，则 1 x n x ， 所以 1 12 2 ()() () x f xf x
11、f x ，又 f（x）0， 11 22 () () () f xx f f xx ，由 12 0 xx，则 1 2 1 x x ， 而当 x1 时，f（x）1，所以 1 2 ()1 x f x ，即 1 2 () 1 () f x f x ， 又 f（x）0，所以 12 ( )()f xf x， 所以函数 f（x）在（0，+）上是增函数 类型二、函数奇偶性的应用类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合求值，求解析式，与单调性结合) 例 3. f(x)，g(x)均为奇函数，( )( )( )2H xaf xbg x在0,上的最大值为 5， 则( )H x在（-,0）上的最小值为 【
12、解析】( )H x+()Hx=( )( )2()()2af xbg xafxbgx ()( ) ,()( )fxfxgxg x ， ( )()4H xHx 当0 x时，( )4()H xHx， 而0 x ，()5Hx，( )1H x ( )H x在(,0)上的最小值为-1 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知 f(x)=x5+ax3-bx-8，且 f(-2)=10，求 f(2). 【解析】法一：f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10 8a-2b=-50 f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26 法
13、二：令 g(x)=f(x)+8 易证 g(x)为奇函数 g(-2)=-g(2) f(-2)+8=-f(2)-8 f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26. 例 4已知 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x0 时， 2 ( )1f xxx ； （1）求 f(x)的解析式； （2）作出函数 f(x)的图象（不用列表） ，并指出它的增区间。 【解析】 （1）设 x0，则x0， 22 ()()() 11fxxxxx 又函数 f(x)为奇函数，f(x)= f(x)， 2 ( )()1f xfxxx 当 x=0 时，由 f(0)= f(0)，f(0)=0， 2 2 1 (0 ) ( )0 (0
14、) 1 (0 ) xxx fxx xxx （2）由函数图象，易得函数的增区间为： （， 2 1 ） ， （ 2 1 ，+） 举一反三：举一反三： 【变式 1】（1）偶函数( )f x的定义域是 R，当0 x时 2 ( )31f xxx，求( )f x的解析式. 【答案】（1） 2 2 31(0) ( ) 31(0) xxx f x xxx ； （2）已知奇函数( )g x的定义域是 R，当0 x 时 2 ( )21g xxx，求( )g x的解析式. 【答案】（2） 2 2 21(0) ( )00 21(0) xxx g xx xxx （） 例 5. 定义域在区间2， 2上的偶函数( )g x
15、， 当 x0 时，( )g x是单调递减的， 若(1)( )gmg m 成立，求 m 的取值范围 【解析】 注意到偶函数( )f x的性质：()( )(|)fxf xfx，可避免讨论 由于( )g x为偶函数，所以(1)(1)gmg m，( )(|)g mgm 因为 x0 时，( )g x是单调递减的，故 |1| | (1)( )(|1|)(|)|1| 2 | 2 mm gmg mg mg mm m ， 所以 22 21 212 22 mmm m m ，解得 1 1 2 m 故 m 的取值范围是 1 1,) 2 类型三、函数奇偶性的综合问题类型三、函数奇偶性的综合问题 例 6. 已知( )yf
16、 x是偶函数，且在0，+）上是减函数，求函数 2 (1)fx的单调递增区间 【解析】 复合函数的单调性由内层函数和外层函数的单调性共同决定，即同增异减。 ( )f x是偶函数，且在0，+）上是减函数，( )f x在（，0上是增函数 设 u=1x2，则函数 2 (1)fx是函数( )f u与函数 u=1x2的复合函数 当 0 x1 时，u 是减函数，且 u0，而 u0 时，( )f u是减函数，可得 2 (1)fx是增函数 当 x1 时，u 是增函数，且 u0，而 u0 时，( )f u是增函数，可得 2 (1)fx是增函数 同理可得当1x0 或 x1 时， 2 (1)fx是减函数 所求的递增区
17、间为0，1和（，1 举一反三 【变式 1】设奇函数 f（x）在（0，+）上为增函数，且 f（1）=0， 则不等式 ( )() 0 f xfx x 的解集为（ ） A （1，0）（1，+） B （，1）（0，1） C （，1）（1，+） D （1，0）（0，1） 【答案】D 【解析】由奇函数 f（x）可知 ( )()2 ( ) 0 f xfxf x xx ，即 x 与 f（x）异号， 而 f（1）=0，则 f（1）=f（1）=0， 又 f（x）在（0，+）上为增函数，则奇函数 f（x）在（，0）上也为增函数， 当 x0 时，f（x）0=f（1） ；当 x0 时，f（x）0=f（1） ，所以 0
18、x1 或1x0 例 7.设函数 2 ( )2f xxxa（xR，a 为实数） （1）若 f（x）为偶函数，求实数 a 的值； （2）设 a2，求函数 f（x）的最小值 【解析】 （1）由已知 f（x）=f（x） ，即2xa=2x+a，解得 a=0 （2） 2 2 1 2, 2 ( ) 1 2, 2 xxa xa f x xxa xa 当 1 2 xa时， 22 ( )2(1)(1)f xxxaxa 由 a2， 1 2 xa，得 x1，从而 x1 故 f（x）在 1 2 xa时单调递增，f（x）的最小值为 2 ( ) 24 aa f 当 1 2 xa时， 22 ( )2(1)(1)f xxxax
19、a 故当1 2 a x时，f（x）单高递增，当 x1 时，f（x）单调递减 则 f（x）的最小值为 f（1）=a1 由 22 (2) (1)0 44 aa a ，知 f（x）的最小值为 a1 举一反三：举一反三： 【变式 1】 判断( ) |()f xxaxaaR的奇偶性 【解析】对a进行分类讨论 若0a，则( ) | 0f xxx xR，定义域R关于原点对称，函数( )f x既是奇函数，又是偶函数 当0a时，() | |( )fxxaxaxaxaf x ，( )f x是奇函数 综上，当0a时，函数( )f x既是奇函数，又是偶函数； 当0a时，函数( )f x是奇函数 例 8.对于函数( )
20、f x，若存在 x0R，使 00 ()f xx成立，则称点（x0，x0）为函数( )f x的不动点 （1）已知函数 2 ( )()(0)f xaxbxb a有不动点（1，1） ， （3，3） ，求 a，b 的值； （2）若对于任意的实数 b，函数 2 ( )()(0)f xaxbxb a总有两个相异的不动点，求实数 a 的 取值范围； （3）若定义在实数集 R 上的奇函数( )g x存在（有限）n 个不动点，求证：n 必为奇数 【解析】 （1）由已知得 x=1 和 x=3 是方程 ax2+bxb=x 的根，故 1 1 3 3 b a b a a=1，b=3 （2）由已知得：ax2+bxb=x（
21、a0）有两个不相等的实数根， 1=(b1)2+4ab0 对于任意的实数 b 恒成立 即 b2+(4a2)b+10 对于任意的实数 b 恒成立 也就是函数 2 ( )(42)1f bbab的图象与横轴无交点 又二次函数( )f b的图象是开口向上的抛物线， 从而 2=(4a2)240，即|4a2|2，0a1 满足题意的实数 a 的取值范围为（0，1） （3）( )g x是 R 上的奇函数，()( )gxg x . 令 x=0，得(0)(0)gg ，(0)0g（0，0）是( )g x的一个不动点 设（x0，x0） （x00）是( )g x的一个不动点，则 00 ()g xx 又 000 ()()g
22、xg xx ，（x0，x0）也是( )g x的一个不动点 又x0 x0，( )g x的非零不动点是成对出现的 又（0，0）也是( )g x的一个不动点，若( )g x存在 n 个不动点，则 n 必为奇数 【巩固练习】【巩固练习】 1函数 2 ( )|f xxx的图象( ) A关于原点对称 B关于y轴对称 C关于x轴对称 D不具有对称轴 1. 【答案】B.【解析】因为 22 ()()|( )fxxxxxf x ，偶函数，图象关于y轴对称 2已知函数)127()2() 1()( 22 mmxmxmxf为偶函数，则m的值是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 【答案】B.【解析】 奇
23、次项系数为0,20,2mm 3设函数 3 ( )1f xaxbx，且( 1)3,f 则(1)f等于（ ） A.-3 B.3 C.-5 D. 5 3. 【答案】C.【解析】因为 3 ( ) 1f xaxbx 是奇函数，所以 3 () 1fxaxbx ， 所以( 1) 1( ( 1) 1)ff ，( 1) 1(1) 1,3 1(1) 1,(1)5ffff . 4如果奇函数)(xf在区间3,7 上是增函数且最大值为5，那么)(xf在区间3, 7 上是( ) A增函数且最小值是5 B增函数且最大值是5 C减函数且最大值是5 D减函数且最小值是5 4. 【答案】A.【解析】 奇函数关于原点对称，左右两边
24、有相同的单调性 5已知)(xf是定义在 R 上的偶函数，在0 ,(上是减函数，且0)3(f， 则使0)(xf的x的范围是（ D ） A)3 ,( B), 3( C), 3()3 ,( D)3 , 3( 6若函数 2 ( )( )xF xf x为奇函数，且 g（x）=f（x）+2，若 f（1）=1，则 g（1）的值为（ ） A1 B3 C2 D2 6 【答案】A【解析】函数 2 ( )( )xF xf x为奇函数， F（X）=F（x） 由 f（1）=1，则 F（1）=2， F（1）=2，即 f（1）+1=2，f（1）=3， g（1）=f（1）+2=1 7 若)(xf是偶函数， 其定义域为,， 且
25、在, 0上是减函数， 则) 2 5 2() 2 3 ( 2 aaff与 的大小关系是( ) A) 2 3 (f) 2 5 2( 2 aaf B) 2 3 (f) 2 5 2( 2 aaf C) 2 3 (f) 2 5 2( 2 aaf D) 2 3 (f) 2 5 2( 2 aaf 7. 【答案】C.【解析】 22 533 2(1) 222 aaa， 2 335 ()( )(2) 222 fff aa 8若定义在R上的函数( )f x满足：对任意 12 ,x xR有 1212 ()( )()f xxf xf x+1，则下列说 法一定正确的是（ ） A( )f x为奇函数 B ( )f x为偶函
26、数 C( )1f x 为奇函数 D( )1f x 为偶函数 8. 【答案】C.【解析】解法一： （特殊函数法）由条件 1212 ()( )() 1f xxf xf x可取( )1f xx， 所以( )1f xx 是奇函数. 解法二：令 12 0 xx，则(0)(0)(0) 1fff，(0)1f 令 12 ,xx xx ，则(0)( )() 1ff xfx， ( ) 1() 10f xfx ，( ) 1f x为奇函数，故选 C. 9已知函数 2 2 2 ,0 ( ) 2 ,0 xx x f x axx x 是奇函数，则 a=_，f（f（1） ）=_ 9 【答案】1，1【解析】若函数 f（x）是奇
27、函数， 则 f（1）=f（1） ，即 a+2=（12）=1，则 a=1， 则 f（1）=12=1，f（1）=a+2=1+2=1， 10奇函数( )f x在区间3,7上是增函数，在区间3,6上的最大值为 8，最小值为-1，则 2 ( 6)( 3)ff . 10. 【答案】15【解析】 ( )f x在区间3,6上也为递增函数，即(6)8,(3)1ff 2 ( 6)( 3)2 (6)(3)15ffff 11函数 2 ( )3f xaxbxab为偶函数，其定义域为1,2aa，则( )f x的值域 11 【答案】 31 1, 27 【解析】因为函数 2 ( )3f xaxbxab为1,2aa上的偶函数，
28、 所以 120, 0, aa b 即 1 , 3 0. a b 即 2 1 ( )1 3 f xx，所以函数在 2 2 , 3 3 上的值域为 31 1, 27 12奇函数( )f x在（-1，1）上是减函数，求满足 2 (1)(1)0fmfm的实数m的取值范围 12 【解析】由已知 2 (1)(1)fmfm ，由( )f x为奇函数，所以 2 (1)(1)fmf m， 又( )f x在1,1上是减函数， 2 2 111, 111, 11. m m mm 解得 02, 2002, 21. m mm m 或 01m 13 已知( )f x是定义在R上的不恒为零的函数， 且对任意的, a bR满足
29、()( )( )f a baf bbf a （1）求(0),(1)ff的值； （2）判断( )f x的奇偶性，并证明你的结论 13 【解析】 （1）(0)(0 0)0 (0)0 (0)0;ffff (1)(1 1)1(1) 1(1)2 (1)fffff ，(1)0f （2）(1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)2 ( 1)0fffff ， ( 1)0f()( 1)( 1)( )( 1)fxfxf xxf =( )0( )f xf x 故( )f x为奇函数 14定义在1，1上的函数 y=f（x）是增函数且是奇函数，若 f（a+1）+f（4a5）0求实 数 a 的取值范围
30、14 【解析】由 f（a+1）+f（4a5）0 得 f（4a5）f（a+1） ， 定义在1，1上的函数 y=f（x）是增函数且是奇函数， 不等式等价为 f（4a5）f（a1） ， 则满足 1451 11 1 451 a a aa ，得 2 1 3 02 4 3 a a a ，即 43 32 a，即实数 a 的取值范围是 43 32 a 15函数 f(x)对于任意的实数 x，y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当 x0 时 f(x)0 恒成立 （1）证明函数f(x)的奇偶性； （2）若f(1)= 2，求函数f(x)在2，2上的最大值； （3）解关于x的不等式 2 11 ( 2)(
31、)(4 )( 2) 22 fxf xfxf 15 【解析】 （1）令x=y=0得f(0)=0，再令y=x即得f(x)=f(x） ，f(x）是奇函数 （2）设任意 12 ,xxR，且 12 xx，则 21 0 xx，由已知得 21 ()0f xx （1） 又 212121 ()()()()( )f xxf xfxf xf x （2） 由（1） （2）可知 12 ( )()f xf x， 由函数的单调性定义知f(x)在(-，+)上是减函数 x2，2时，max( )( 2)(2)(1 1)2 (1)4f xffff， f(x)当x2，2时的最大值为4 （3）由已知得： 2 ( 2)(4 )2( )( 2)fxfxf xf 由（1）知f(x）是奇函数， 上式又可化为： 2 ( 24 )2(2)(2)(2)(24)fxxf xf xf xfx 由（2）知f(x）是R上的减函数， 上式即： 2 2424xxx，化简得(2)(1)0 xx 原不等式的解集为 |2x x 或1x
