1、20252025培育新素养专题专题考法精研专题七二次函数与几何综合问题数 学新中考高分突破2 2返回目录返回目录 专题讲练 例1新中考高分突破3 3返回目录返回目录（1）求此抛物线的函数解析式.例1（2）点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为E，请探究2PDPE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点P的坐标；若没有最大值，请说明理由.（3）点M为该抛物线上的点，当MCB45时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标.新中考高分突破4 4返回目录返回目录分析分析：（：（1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式直接利用抛物线的交点式
2、可得抛物线的解析式.分析分析：（3）以以CB为对角线作正方为对角线作正方形形CTBK，可得可得BCKBCT45，CK，CT与抛物线的另一个交点即与抛物线的另一个交点即为为M，过过点点T作作x轴轴的的平行线平行线交交y轴于轴于点点Q，过过点点B作作BGTQ于于点点G，则则OBGQ3，设设TQGBm，则则CQTG3m，可可得得T（m，m1），），进一步进一步求解求解直直线线CT，CK的函数解析式的函数解析式，最后求交点坐标即可最后求交点坐标即可.新中考高分突破5 5返回目录返回目录新中考高分突破6 6返回目录返回目录新中考高分突破7 7返回目录返回目录解答解答：（3）如下图如下图，以以CB为对角线
3、作正方为对角线作正方形形CTBK，BCKBCT45，CK，CT与抛物线的另一个交点即与抛物线的另一个交点即为为M.过过点点T作作x轴的平行线轴的平行线交交y轴于轴于点点Q，过过点点B作作BGTQ于于点点G，则则OBGQ3，CTB90CQTQGB，QCTCTQ90CTQBTG，QCTBTG.CTBT，新中考高分突破8 8返回目录返回目录新中考高分突破9 9返回目录返回目录新中考高分突破1010返回目录返回目录新中考高分突破1111返回目录返回目录归纳总结归纳总结：本题考查二次函数的综合应用本题考查二次函数的综合应用，主要考查利用待定系数主要考查利用待定系数法求解抛物线的解析式、抛物线的性质、正方
4、形的性质等法求解抛物线的解析式、抛物线的性质、正方形的性质等，作出合适的作出合适的辅助线是解本题的关键辅助线是解本题的关键.新中考高分突破1212返回目录返回目录【备考演练1】（2024四川泸州中考模拟）如后图，抛物线yx2bxc与x轴交于点A（1，0）、B，与y轴交于点C（0，4）.新中考高分突破1313返回目录返回目录（1）求该抛物线的解析式.新中考高分突破1414返回目录返回目录（2）如图1，D是线段OC上的动点，连接AD、BD，若点A关于BD的对称点恰好在该抛物线的对称轴上，求点D的坐标.新中考高分突破1515返回目录返回目录新中考高分突破1616返回目录返回目录新中考高分突破1717
5、返回目录返回目录新中考高分突破1818返回目录返回目录新中考高分突破1919返回目录返回目录新中考高分突破2020返回目录返回目录 （2023四川广安中考）如下图，二次函数yx2bxc的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，点B的坐标为（1，0），对称轴是直线x1，点P是x轴上一动点，PMx轴，交直线AC于点M，交二次函数的图象于点N.例2（1）求这个二次函数的解析式.（2）若点P在线段AO上运动（点P与点A、O不重合），求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P的坐标.新中考高分突破2121返回目录返回目录分析分析：（：（1）由抛物线的对称轴是直由抛物线的对称轴是直线线x1，点点B的的坐标坐
6、标为为（1，0），），得得点点A的坐标为的坐标为（3，0），），由由两点两点式式求出二次函数的解析求出二次函数的解析式式.分析分析：（：（2）连连接接ON，设设P（m，0），），则则N（m，m22m3），），可可得得S四边四边形形 ABCNS AONS BOCS CON，根据二次函数根据二次函数的性质可得答案的性质可得答案.新中考高分突破2222返回目录返回目录解答解答：（：（1）该函数图象的对称轴是直该函数图象的对称轴是直线线x1，点点B的坐标为的坐标为（1，0），），点点A的坐标为的坐标为（3，0）.二次函数的解析式二次函数的解析式为为y（x1）（x3）x22x3.解答解答：（2）连连接接
7、ON.设设P（m，0）（）（3m0），），则则N（m，m22m3）.在在yx22x3中中，令令x0，得得y3，C（0，3），），OC3，S四边四边形形 ABCNS AONS BOCS CON新中考高分突破2323返回目录返回目录新中考高分突破2424返回目录返回目录归纳总结归纳总结：本题考查了二次函数的综合应用本题考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法、四涉及待定系数法、四边形的面积、二次函数的最值问题边形的面积、二次函数的最值问题，解题的关键是用含字母的式子表示解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度相关点的坐标和相关线段的长度.新中考高分突破2525返回目录返回目录【备
8、考演练2】（2024四川遂宁中考）如后图，二次函数yax2bxc（a0）的图象与x轴分别交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），P，Q为该函数图象上的两点.新中考高分突破2626返回目录返回目录（1）求二次函数的表达式.新中考高分突破2727返回目录返回目录（2）当P，C两点关于该函数图象的对称轴对称，OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标.新中考高分突破2828返回目录返回目录新中考高分突破2929返回目录返回目录（3）设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为m1，试探究：OPQ的面积S是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由.新中考高分突破30
9、30返回目录返回目录（3）存在存在.理由理由：设设点点P（m，m22m3），），则则点点Q（m1，（m1）22（m1）3）.如下图如下图，设设直直线线PQ交交x轴于轴于点点H.新中考高分突破3131返回目录返回目录新中考高分突破3232返回目录返回目录 例3新中考高分突破3333返回目录返回目录（1）求b、c的值.（2）在点P、Q的运动过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.新中考高分突破3434返回目录返回目录分析分析：（：（1）利用待
10、定系数法求解即可利用待定系数法求解即可.分析分析：（：（2）过过点点P作作PEx轴轴，垂足垂足为为E，利利用用S四边四边形形 BCPQS ABCS APQ表示出四边表示出四边形形BCPQ的面积的面积，求求出出t的范围的范围，利用二次函利用二次函数的性质求出最值即可数的性质求出最值即可.分析分析：（：（3）画出图形画出图形，过过点点P作作x轴的垂线轴的垂线，交交x轴轴于于点点E，过过点点M作作y轴的垂线轴的垂线，与与EP交于交于点点F，PFMQEP，得得到到MFPEt，PFQE42t，得到得到点点M的坐标的坐标，再代入二次函数表达式再代入二次函数表达式，求求出出t值值，即可算出即可算出点点M的坐
11、标的坐标.新中考高分突破3535返回目录返回目录新中考高分突破3636返回目录返回目录新中考高分突破3737返回目录返回目录新中考高分突破3838返回目录返回目录解答解答：（3）存在存在.假设假设点点M是线是线段段AC上方的抛物线上的点上方的抛物线上的点，如图如图，过过点点P作作x轴的垂线轴的垂线，交交x轴于轴于点点E，过过点点M作作y轴的垂线轴的垂线，与与EP交于交于点点F，连连接接MQ、MP.PMQ是等腰直角三角形是等腰直角三角形，PMPQ，MPQ90，MPFQPE90.MPFPMF90，PMFQPE.在在 PFM和和 QEP中中，新中考高分突破3939返回目录返回目录新中考高分突破404
12、0返回目录返回目录新中考高分突破4141返回目录返回目录【备考演练3】新中考高分突破4242返回目录返回目录（1）求抛物线C1的解析式.新中考高分突破4343返回目录返回目录（2）将抛物线C1向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线C2，求抛物线C2的解析式，并判断点D是否在抛物线C2上.新中考高分突破4444返回目录返回目录（3）在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点E，使PBD是等腰直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.新中考高分突破4545返回目录返回目录解解：（：（3）存在存在.理由如下理由如下：易易知知A（1，0），B（2，0）.图1当当BDE为直角
13、时为直角时，如图如图1，过过点点D作作DEBD且且DEBE，则则 BDE为等腰直角三角形为等腰直角三角形.分别过分别过点点B、E作作x轴的平行线轴的平行线，过过点点D作作x轴的平行线轴的平行线，与前面两条平行线交于与前面两条平行线交于点点G、H.BDGEDH90，EDHDEH90，BDGDEH.又又DGBEHD90，BDDE，DGBEHD（AAS），），新中考高分突破4646返回目录返回目录图1新中考高分突破4747返回目录返回目录图2新中考高分突破4848返回目录返回目录图3新中考高分突破4949返回目录返回目录 （2022四川眉山中考）在平面直角坐标系中，抛物线yx24xc与x轴交于点A、
14、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（5，0）.新中考高分突破5050返回目录返回目录（1）求点C的坐标.（2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值.（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.新中考高分突破5151返回目录返回目录分析分析：（：（1）把把点点A的坐标代的坐标代入入yx24xc，求求出出c的值即可的值即可.分析分析：（：（3）分三种情况讨论分三种情况讨论：AC为平行四边形的对角线为平行四边形的对角线，
15、AM为平行四边形的对角线为平行四边形的对角线，AN为平行四边形的对角线为平行四边形的对角线，分别求解分别求解即可即可.新中考高分突破5252返回目录返回目录解答解答：（：（1）点点A（5，0）在抛物线在抛物线yx24xc的图象的图象上上，0（5）24（5）c，c5，点点C的坐标为的坐标为（0，5）.新中考高分突破5353返回目录返回目录新中考高分突破5454返回目录返回目录当当PH最大时最大时，PE最大最大.设直设直线线AC的函数解析式的函数解析式为为ykx5.将将A（5，0）代入代入，得得05k5，k1，直直线线AC的函数解析式的函数解析式为为yx5.设设P（m，m24m5）（）（5m0），
16、），则则H（m，m5），），新中考高分突破5555返回目录返回目录新中考高分突破5656返回目录返回目录解答解答：（3）存在存在.理由如下理由如下：yx24x5（x2）29，抛物线的对称轴为直抛物线的对称轴为直线线x2.设设点点N的坐标为的坐标为（2，n），），点点M的坐标为的坐标为（x，x24x5）.分三种情况分三种情况：新中考高分突破5757返回目录返回目录新中考高分突破5858返回目录返回目录归纳总结归纳总结：本题是二次函数综合题本题是二次函数综合题，其中涉及二次函数图象上点的其中涉及二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质、平行四边形的判坐标特征、二次函数的性质
17、、等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质定与性质.熟知几何图形的性质熟知几何图形的性质，利用数形结合是解题的关键利用数形结合是解题的关键.新中考高分突破5959返回目录返回目录【备考演练4】（2024黑龙江绥化中考）如后图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2bxc与直线相交于A，B两点，其中点A（3，4），B（0，1）.新中考高分突破6060返回目录返回目录（1）求该抛物线的函数解析式.新中考高分突破6161返回目录返回目录新中考高分突破6262返回目录返回目录新中考高分突破6363返回目录返回目录新中考高分突破6464返回目录返回目录新中考高分突破6565返回目录返回目录（3）将该抛
18、物线向左平移2个单位长度得到y1a1x2b1xc1（a10），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点E为原抛物线对称轴上的一点，点F是平面直角坐标系内的一点，当以点B、D、E、F为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标.新中考高分突破6666返回目录返回目录新中考高分突破6767返回目录返回目录新中考高分突破6868返回目录返回目录新中考高分突破6969返回目录返回目录新中考高分突破7070返回目录返回目录新中考高分突破7171返回目录返回目录不存在不存在以以B、D、E5、F5为顶点的四边形为菱形为顶点的四边形为菱形.过过点点B作作BF4DE4，过过点点E4作作E4F4BD，BF4和和E4
19、F4相交于相交于点点F4.B（0，1）、E4（2，1），），BE4的中的中点点G（1，1）.D（1，4），），点点G为为DF4的中点的中点，F4（1，2）.新中考高分突破7272返回目录返回目录 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：x 10123y 03430新中考高分突破7373返回目录返回目录（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标.（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQQPPC的最小值.（3）如图2，D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DFx轴，垂
20、足为F，ABD的外接圆与DF相交于点E.试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.新中考高分突破7474返回目录返回目录分析分析：（：（1）运用待定系数法即可求出抛物线的解析式运用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再运用配方再运用配方法求出顶点坐标法求出顶点坐标.分析分析：（：（2）将将点点C沿沿y轴向下平移轴向下平移1个单位长度得个单位长度得C（0，2），），连接连接BC交抛物线对称交抛物线对称轴轴x1于点于点Q，过过点点C作作CPBC，交对称轴于点交对称轴于点P，连接连接AQ，此时此时C、Q、B三点共线三点共线，BQCQ的值最小的值最小，运用勾运用勾股定理
21、即可求出答案股定理即可求出答案.新中考高分突破7575返回目录返回目录解答解答：（：（1）根据表格根据表格，可可得得A（1，0），B（3，0），C（0，3）.设抛物线的解析式设抛物线的解析式为为ya（x1）（x3）.将将C（0，3）代入代入，得得3a（01）（）（03），），解解得得a1，y（x1）（x3）x22x3（x1）24，该抛物线的解析式该抛物线的解析式为为yx22x3，顶点坐标顶点坐标为为M（1，4）.新中考高分突破7676返回目录返回目录（2）如下图如下图，将将点点C沿沿y轴向下平移轴向下平移1个单位长度得个单位长度得C（0，2），），连连接接BC交抛物线对称交抛物线对称轴轴x1于
22、点于点Q，过过点点C作作CPBC，交对称轴于点交对称轴于点P，连接连接AQ.点点A、B关于直关于直线线x1对称对称，AQBQ.CPBC，PQCC，新中考高分突破7777返回目录返回目录新中考高分突破7878返回目录返回目录解答解答：（3）线线段段EF的长为定值的长为定值1.理由理由：连连接接BE.设设D（t，t22t3），），且且t3.EFx轴轴，F（t，0），），DF（t22t3）t22t3，BFOFOBt3，AFt（1）t1.四边四边形形ABED是圆内接四边形是圆内接四边形，DAFBED180.BEFBED180，新中考高分突破7979返回目录返回目录新中考高分突破8080返回目录返回目录
23、归纳总结归纳总结：本题是二次函数与圆的综合题本题是二次函数与圆的综合题，主要考查了待定系数法主要考查了待定系数法求抛物线解析式、轴对称的应用、平行四边形的判定与性质、圆内接四求抛物线解析式、轴对称的应用、平行四边形的判定与性质、圆内接四边形性质、相似三角形的判定与性质等边形性质、相似三角形的判定与性质等，属于中考数学压轴题属于中考数学压轴题，综合性综合性强强，难度大难度大；第第（2）小题难度不小小题难度不小，解决该问时解决该问时，利用轴对称加平移找利用轴对称加平移找出出AQQPPC最小值时最小值时，点点P、Q的位置是解题关键的位置是解题关键；第第（3）小题小题运用圆内接四边形性质得出运用圆内接
24、四边形性质得出 AFDEFB是解题关键是解题关键.新中考高分突破8181返回目录返回目录【备考演练5】（2024四川宜宾中考）如后图，抛物线yx2bxc与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，4），其顶点为D.备考演练5新中考高分突破8282返回目录返回目录（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标.备考演练5新中考高分突破8383返回目录返回目录（2）在y轴上是否存在一点M，使得BDM的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.备考演练5新中考高分突破8484返回目录返回目录新中考高分突破8585返回目录返回目录新中考高分突破8686返回目录返回目录新中考高分突破8787返回目录返回目录（3）若点E在以点P（3，0）为圆心，1为半径的P上，连接AE，以AE为边在AE的下方作等边三角形AEF，连接BF，求BF的取值范围.备考演练5新中考高分突破8888返回目录返回目录新中考高分突破8989返回目录返回目录
