1、6.4数列求和-专项训练【原卷版】 (时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)若数列an的通项公式为an=2n+2n-1,则该数列的前10项和为()A.2 146B.1 122C.2 148D.1 1242.(5分)在等差数列an中,若a3+a5+a7=6,a11=8,则数列1an+3an+4的前n项和Sn=()A.n+1n+2B.nn+1C.nn+2D.2nn+13.(5分)数列(-1)n(2n-1)的前2 024项和S2 024等于()A.-2 022B.2 022C.-2 024D.2 0244.(5分)已知数列an满足a1=1,且对任意的nN*都有an+1=a1+an+n
2、,则1an的前100项和为()A.100101B.99100C.101100D.2001015.(5分)122-1+132-1+142-1+1(n+1)2-1的值为()A.n+12(n+2)B.34-n+12(n+2)C.34-12(1n+1+1n+2)D.32-1n+1+1n+26.(5分)(多选题)已知数列an:12,13+23,14+24+34,110+210+910,若bn=1anan+1,设数列bn的前n项和为Sn,则()A.an=n2B.an=nC.Sn=4nn+1D.Sn=5nn+17.(5分)数列an的通项公式为an=1n+n+1,若an的前n项和为24,则n=.8.(5分)已
3、知数列an的首项为-1,anan+1=-2n,则数列an的前10项之和S10=.9.(5分)已知数列an满足an+1=nn+1an,a1=1,则数列anan+1的前10项和为.10.(10分)(2023西安模拟)已知数列an满足a1=1,an+1-an=n+1.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列1an的前n项和为Sn,求数列log2Sn的前n项和Tn.11.(10分)(2023惠州模拟)记Sn是公差不为零的等差数列an的前n项和,若S3=6,a3是a1和a9的等比中项.(1)求数列an的通项公式;(2)记bn=1anan+1an+2,求数列bn的前20项和.【加练备选】(2023广州模拟
4、)已知等差数列an的前n项和Sn满足S3=-3,S7=-21.(1)求an的通项公式;(2)bn=-an+1,求数列1bnbn+2的前n项和Tn.【能力提升练】12.(5分)(2021新高考卷)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20 dm12 dm的长方形纸,对折1次共可以得到10 dm12 dm,20 dm6 dm两种规格的图形,它们的面积之和S1=240 dm2,对折2次共可以得到5 dm12 dm,10 dm6 dm,20 dm3 dm三种规格的图形,它们的面积之和S2=180 dm2,以此类推,则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为;如果对
5、折n次,那么k=1nSk=dm2.13.(5分)已知数列an和bn满足a1a2a3an=2bn(nN*).若数列an为等比数列,且a1=2,a4=16,则数列bn的通项公式bn=,数列1bn的前n项和Sn=.14.(10分)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an+1=(+1)Sn+1(nN*,-2)且3a1,4a2,a3+13成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若anbn=log4an+1,求数列bn的前n项和Tn.6.4数列求和-专项训练【解析版】 (时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)若数列an的通项公式为an=2n+2n-1,则该数列的前10项和为()A
6、.2 146B.1 122C.2 148D.1 124【解析】选A.因为an=2n+2n-1,所以前n项和Sn=2(1-2n)1-2+n(2n-1+1)2=2n+1+n2-2,所以前10项和S10=211+102-2=2 146.2.(5分)在等差数列an中,若a3+a5+a7=6,a11=8,则数列1an+3an+4的前n项和Sn=()A.n+1n+2B.nn+1C.nn+2D.2nn+1【解析】选B.设等差数列an的公差为d,由a3+a5+a7=6,a11=8,得a5=2,d=1,所以an=n-3,则an+3=n,an+4=n+1,所以1an+3an+4=1n(n+1)=1n-1n+1,所
7、以Sn=1-1n+1=nn+1.3.(5分)数列(-1)n(2n-1)的前2 024项和S2 024等于()A.-2 022B.2 022C.-2 024D.2 024【解析】选D.S2 024=-1+3-5+7-(22 023-1)+(22 024-1)=21 012=2 024.4.(5分)已知数列an满足a1=1,且对任意的nN*都有an+1=a1+an+n,则1an的前100项和为()A.100101B.99100C.101100D.200101【解析】选D.因为an+1=a1+an+n,a1=1,所以an+1-an=1+n,所以an-an-1=n(n2),所以an=(an-an-1)
8、+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+2+1=n(n+1)2,所以1an=2n(n+1)=2(1n-1n+1),所以1an的前100项和为2(1-12+12-13+1100-1101)=2(1-1101)=200101.5.(5分)122-1+132-1+142-1+1(n+1)2-1的值为()A.n+12(n+2)B.34-n+12(n+2)C.34-12(1n+1+1n+2)D.32-1n+1+1n+2【解题指导】先化简通项公式,再裂项求和.【解析】选C.因为1(n+1)2-1=1n2+2n=1n(n+2)=12(1n-1n+2),所以122-1+132-1+14
9、2-1+1(n+1)2-1=12(1-13+12-14+13-15+1n-1n+2)=12(32-1n+1-1n+2)=34-12(1n+1+1n+2).6.(5分)(多选题)已知数列an:12,13+23,14+24+34,110+210+910,若bn=1anan+1,设数列bn的前n项和为Sn,则()A.an=n2B.an=nC.Sn=4nn+1D.Sn=5nn+1【解析】选AC.由题意得an=1n+1+2n+1+nn+1=1+2+3+nn+1=n2,所以bn=1n2n+12=4n(n+1)=4(1n-1n+1),所以数列bn的前n项和Sn=b1+b2+b3+bn=4(1-12+12-1
10、3+13-14+1n-1n+1)=4(1-1n+1)=4nn+1.7.(5分)数列an的通项公式为an=1n+n+1,若an的前n项和为24,则n=.【解析】an=n+1-n,所以Sn=(2-1)+(3-2)+(n+1-n)=n+1-1,令Sn=24,得n=624.答案:6248.(5分)已知数列an的首项为-1,anan+1=-2n,则数列an的前10项之和S10=.【解析】因为anan+1=-2n,所以an+1an+2=-2n+1,两式相除可得an+2an=2,所以an的奇数项和偶数项均为公比为2的等比数列,又a1=-1,a2=-2a1=2,所以S10=(a1+a3+a9)+(a2+a4+
11、a10)=-1(1-25)1-2+2(1-25)1-2=-31+231=31.答案:319.(5分)已知数列an满足an+1=nn+1an,a1=1,则数列anan+1的前10项和为.【解析】因为an+1=nn+1an,a1=1,所以(n+1)an+1=nan,所以数列nan是每项均为1的常数列,所以nan=1,所以an=1n,anan+1=1n(n+1)=1n-1n+1,所以数列anan+1的前10项和为(11-12)+ (12-13)+(110-111)=1-111=1011.答案:101110.(10分)(2023西安模拟)已知数列an满足a1=1,an+1-an=n+1.(1)求数列a
12、n的通项公式;(2)若数列1an的前n项和为Sn,求数列log2Sn的前n项和Tn.【解析】(1)由题意数列an满足a1=1,an+1-an=n+1,则an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1 =n+(n-1)+2+1=n(n+1)2.(2)由(1)可得1an=2(1n-1n+1),故Sn=2(1-12+12-13+1n-1n+1)=2nn+1,所以log2Sn=log22nn+1=1+log2nn+1,故Tn=n+log2(122334nn+1)=n+log21n+1=n-log2(n+1).11.(10分)(2023惠州模拟)记Sn是公差不为零的等差数列an的
13、前n项和,若S3=6,a3是a1和a9的等比中项.(1)求数列an的通项公式;(2)记bn=1anan+1an+2,求数列bn的前20项和.【解析】(1)由题意知a32=a1a9,设等差数列an的公差为d,则a1(a1+8d)=(a1+2d)2,因为d0,解得a1=d,又S3=3a1+3d=6,可得a1=d=1,所以数列an是首项为1和公差为1的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=n,nN*.(2)由(1)可知bn=1n(n+1)(n+2)=121n(n+1)-1(n+1)(n+2).设数列bn的前n项和为Tn,则Tn=12112-123+123-134+1n(n+1)-1(n+1)(n+
14、2)=1212-1(n+1)(n+2),所以T20=12(12-12122)=115462.所以数列bn的前20项和为115462.【加练备选】(2023广州模拟)已知等差数列an的前n项和Sn满足S3=-3,S7=-21.(1)求an的通项公式;(2)bn=-an+1,求数列1bnbn+2的前n项和Tn.【解析】(1)设公差为d,则S3=3a1+3d=-3,S7=7a1+21d=-21,所以3a1+3d=-37a1+21d=-21,解得a1=0d=-1,所以an=a1+(n-1)d=-n+1;(2)bn=n,所以1bnbn+2=1n(n+2)=12(1n-1n+2),所以Tn=12(1-13
15、)+12(12-14)+12(13-15)+12(1n-1-1n+1)+12(1n-1n+2)=12(1+12-1n+1-1n+2)=34-2n+32(n+1)(n+2).【能力提升练】12.(5分)(2021新高考卷)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20 dm12 dm的长方形纸,对折1次共可以得到10 dm12 dm,20 dm6 dm两种规格的图形,它们的面积之和S1=240 dm2,对折2次共可以得到5 dm12 dm,10 dm6 dm,20 dm3 dm三种规格的图形,它们的面积之和S2=180 dm2,以此类推,则对折4次共可以得到不
16、同规格图形的种数为;如果对折n次,那么k=1nSk=dm2.【解析】依题意得,S1=1202=240(dm2);S2=603=180(dm2);当n=3时,共可以得到5 dm6 dm,52 dm12 dm,10 dm3 dm,20 dm32 dm四种规格的图形,且56=30,5212=30,103=30,2032=30,所以S3=304=120(dm2);当n=4时,共可以得到5 dm3 dm,52 dm6 dm,54 dm12 dm,10 dm32 dm,20 dm34 dm五种规格的图形,所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5,且53=15,526=15,5412=15,1032=1
17、5,2034=15,所以S4=155=75(dm2);所以可归纳Sk=2402k(k+1)=240(k+1)2k(dm2).所以k=1nSk=240(1+322+423+n2n-1+n+12n),所以12k=1nSk=240(222+323+424+n2n+n+12n+1),由-得,12k=1nSk=240(1+122+123+124+12n-n+12n+1)=240(1+122-12n121-12-n+12n+1)=240(32-n+32n+1),所以k=1nSk=240(3-n+32n)dm2.答案:5240(3-n+32n)13.(5分)已知数列an和bn满足a1a2a3an=2bn(n
18、N*).若数列an为等比数列,且a1=2,a4=16,则数列bn的通项公式bn=,数列1bn的前n项和Sn=.【解析】因为数列an为等比数列,且a1=2,a4=16,所以公比q=3a4a1=3162=2,所以an=2n,所以a1a2a3an=2122232n=21+2+3+n=2n(n+1)2.因为a1a2a3an=2bn,所以bn=n(n+1)2,所以1bn=2n(n+1)=2(1n-1n+1),所以数列1bn的前n项和Sn=1b1+1b2+1b3+1bn=2(11-12+12-13+13-14+1n-1n+1)=2(1-1n+1)=2nn+1.答案:n(n+1)22nn+114.(10分)
19、已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an+1=(+1)Sn+1(nN*,-2)且3a1,4a2,a3+13成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若anbn=log4an+1,求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)因为an+1=(+1)Sn+1,a1=1,当n=1时,a2=(+1)S1+1=+2,当n2时,an=(+1)Sn-1+1,所以an+1-an=(+1)an,即an+1=(+2)an,又因为-2,且a1=1,a2=+2,则a2a1=+2,所以an是以1为首项,+2为公比的等比数列,所以a2=+2,a3=(+2)2,又3a1,4a2,a3+13成等差数列,所以3+(+2)2+13=8(+2),即2-4+4=0,所以=2,an=4n-1;(2)因为anbn=log4an+1,所以4n-1bn=log44n=n,即bn=n4n-1,所以Tn=1+24+342+n4n-1,14Tn=14+242+343+n4n,所以34Tn=1+14+142+14n-1-n4n=1-14n1-14-n4n=43-4+3n34n,所以Tn=169-4+3n94n-1.
