1、一元函数的导数及其应用已知函数f(x)x(ln xa)，aR.(1)若函数f(x)在1，4上单调递增，求a的取值范围；构造新函数求最值证明不等式构造新函数求最值证明不等式举举 题题 说说 法法1【解析】f(x)ln xa1，因为函数f(x)在1，4上单调递增，所以f(x)0在1，4上恒成立，又f(x)ln xa1在1，4上单调递增，所以f(x)minf(1)a1，所以a10，解得a1，所以a的取值范围是(，1.已知函数f(x)x(ln xa)，aR.(2)对任意a0，求证：f(x)x(x2ln a).【解答】1因为a0，x0，所以要证f(x)x(x2ln a)，只需证ln xax2ln a已知
2、f(x)x2x ln x.(1)求曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程；隔离分析证明不等式隔离分析证明不等式2【解答】因为f(x)x2x ln x，所以f(1)1，f(x)2xln x1，则f(1)1，所以所求切线方程为y11(x1)，即yx.已知f(x)x2x ln x.(2)当a(0，2e)时，求证：2x2(2xa)ln x0.【解答】2变式变式已知函数f(x)exx2x1.(1)求f(x)的最小值；【解答】由题意可得 f(x)ex2x1，则函数f(x)在R上单调递增，且f(0)0.由f(x)0，得x0，由f(x)0，得x0，所以f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增故f
3、(x)minf(0)0.变式变式已知函数f(x)exx2x1.(2)求证：exx ln xx22x0.(提示：原不等式等价于f(x)g(x)【解答】要证exx ln xx22x0，即证exx2x1x ln xx1.由(1)可知当x0时，f(x)0恒成立设g(x)x ln xx1，x0，则g(x)ln x，由g(x)0，得0 x1，由 g(x)0，得x1，所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，从而g(x)g(1)0，当且仅当x1时，等号成立故f(x)g(x)，即exx ln xx22x0.已知函数f(x)axsin x.(1)若函数f(x)为增函数，求实数a的取值范围；利用放
4、缩法证明不等式利用放缩法证明不等式3【解答】因为f(x)axsin x，所以f(x)acos x，由函数f(x)为增函数，知f(x)acos x0恒成立，即acos x在R上恒成立因为ycos x1，1，所以a1，即实数a的取值范围是1，).已知函数f(x)axsin x.(2)求证：当x0时，ex2sin x.(提示：用xsin x放缩)【解答】3由(1)知，当a1时，f(x)xsin x为增函数，当x0时，f(x)f(0)0，即xsin x要证当x0时，ex2sin x，只需证当x0时，ex2x，即证ex2x0在(0，)上恒成立设g(x)ex2x(x0)，则g(x)ex2，令g(x)0，解
5、得xln 2，所以g(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，)上单调递增，所以g(x)ming(ln 2)eln 22ln 22(1ln 2)0，所以g(x)g(ln 2)0，所以ex2x成立故当x0时，ex2sin x【解答】设h(x)exex，x(0，)，则h(x)exe，易得函数h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，因此h(x)minh(1)0，故exex恒成立随随 堂堂 练习练习1已知函数f(x)axx ln x，且曲线yf(x)在点(e，f(e)处的切线与直线4xy10平行(1)求实数a的值；【解答】f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x1a，由题意知
6、，f(e)2a4，则a2.1已知函数f(x)axx ln x，且曲线yf(x)在点(e，f(e)处的切线与直线4xy10平行(2)求证：当x0时，f(x)4x3.【解答】由(1)知，f(x)2xx ln x，令g(x)f(x)(4x3)x ln x2x3，则g(x)ln x1，由ln x10得xe，由ln x10得0 xe，故g(x)在(0，e)上单调递减，在(e，)上单调递增，所以g(x)ming(e)3e0，即g(x)0，即f(x)4x3.配套精练A组夯基精练组夯基精练1已知函数f(x)exx1.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；【解答】易知函数f(x)的定义域为R，因为f(x)exx
7、1，所以f(x)ex1，令f(x)0，解得x0，f(x)在(0，)上单调递增，令f(x)0，解得x0，f(x)在(，0)上单调递减，即f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，0)，所以函数f(x)的极小值为f(0)0，无极大值【解答】2已知函数f(x)a(exa)x.(1)讨论f(x)的单调性；【解答】因为f(x)a(exa)x，定义域为R，所以f(x)aex1，当a0时，由于ex0，则aex0，故f(x)aex10恒成立，所以f(x)在R上单调递减当a0时，令f(x)aex10，解得xln a，当xln a时，f(x)0，则f(x)在(，ln a)上单调递减；当xln a时，f(
8、x)0，则f(x)在(ln a，)上单调递增.综上，当a0时，f(x)在R上单调递减；当a0时，f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增【解答】【解答】【解答】4已知函数f(x)a2xx ln 2.(1)讨论f(x)的单调性；f(x)a ln 22xln 2ln 2(a2x1)，当a0，f(x)0，则函数f(x)在(，)上单调递减；【解答】【解答】【解析】AC6已知定义域为R的函数f(x)同时具有下列三个性质，则f(x)_.(写出一个满足条件的函数即可)f(xy)f(x)f(y)；f(x)是偶函数；当xy0时，f(x)f(y)0.x(答案不唯一，kx(k0)均可)【解析】
9、由条件，设f(x)kx，则f(x)k，满足条件，此时易知f(x)为奇函数，再由条件，当xy时，有f(x)f(y)f(y)，可知f(x)为R上的减函数，所以k0.7已知函数f(x)x22ax5，a1.(1)若函数f(x)的定义域和值域均为1，a，求a的值；因为f(x)x22ax5的图象开口向上，且对称轴为xa(a1)，所以f(x)在1，a上单调递减，所以f(x)maxf(1)62a，f(x)minf(a)5a2.【解答】7已知函数f(x)x22ax5，a1.(2)若函数f(x)在区间(，2上单调递减，且对任意的x1，x21，a1，总有f(x1)f(x2)9成立，求实数a的取值范围因为f(x)在(，2上是减函数，所以a2，所以f(x)在1，a上单调递减，在a，a1上单调递增，所以f(x)minf(a)5a2.又f(1)f(a1)a22a0，所以f(x)maxf(1)62a.因为对任意的x1，x21，a1，总有f(x1)f(x2)9成立，所以f(1)f(a)9，即62a(5a2)9，整理得a22a80，解得2a4.又a2，所以实数a的取值范围为2，4.【解答】谢谢观赏
