1、7.5正态分布 第七章随机变量及其分布知识梳理1.我们称f(x)，xR，其中R，0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.2.若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为 .特别地，当0，1时，称随机变量X服从标准正态分布.知识点一正态曲线与正态分布22()2exXN(，2)3.若XN(，2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(Xx)为图中区域A的面积，而P(aXb)为区域B的面积.思考1正态曲线f(x)，xR中的参数，有何意义？22()2ex答案可取任意实数，表示平均水平的特征数，E(X)；0表示标准差，D(X)2.一个正态密度函数由，唯一
2、确定，和e为常数，x为自变量，xR.思考2若随机变量XN(，2)，则X是离散型随机变量吗？答案若XN(，2)，则X不是离散型随机变量，由正态分布的定义：P(a0，它的图象在x轴的 .2.曲线与x轴之间的面积为 .3.曲线是单峰的，它关于直线 对称.4.曲线在 处达到峰值 .5.当|x|无限增大时，曲线无限接近 轴.知识点二正态曲线的特点上方1xxx6.当 一定时，曲线的位置由确定，曲线随着 的变化而沿x轴平移，如图.7.当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图.P(X)；P(2X2)；P(3X3).尽
3、管正态变量的取值范围是(，)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间3，3内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(，2)的随机变量X只取3，3中的值，这在统计学中称为3原则.知识点三正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3原则0.682 70.954 50.997 31.正态曲线中参数，的意义分别是样本的均值与方差.()2.正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数，的变化而变化的.()3.正态曲线可以关于y轴对称.()4.若XN(，2)，则P(X时，曲线下降，当x5).跟踪训练2已知随机变量服
4、从正态分布N(2，2)，且P(4)0.8，则P(02)等于A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2解析随机变量服从正态分布N(2，2)，2，对称轴是2.P(4)0.8，P(4)P(0)0.2，P(04)0.6，P(02)0.023，则P(22)等于A.0.477 B.0.954 C.0.628 D.0.977核心素养之直观想象HE XIN SU YANG ZHI ZHI GUAN XIANG XIANG解析画出正态曲线如图所示，结合图象知，P(22)1P(2)P(2)120.0230.954.随堂练习1.设有一正态总体，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且f(x)，则这个正态总体的均值与
5、标准差分别是A.10与8 B.10与2C.8与10 D.2与1012345解析由正态密度函数的定义可知，总体的均值10，方差24，即2.2.正态分布N(0,1)在区间(2，1)和(1,2)上取值的概率为P1，P2，则二者大小关系为A.P1P2 B.P1P2 D.不确定12345解析根据正态曲线的特点，图象关于x0对称，可得在区间(2，1)和(1,2)上取值的概率P1，P2相等.3.已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(附：若随机变量服从正态分布N(，2)，则P()68.27%，P(22)95.45%)A.4.56
6、%B.13.59%C.27.18%D.31.74%12345123454.设随机变量服从正态分布N(2,9)，若P(c1)P(c1)P(0).若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为 .0.8解析如图，易得P(0X1)P(1X2)，故P(0X2)2P(0X3或X2C.12 D.21，120)，P(4)0.84，则P(0)等于A.0.16 B.0.32C.0.68 D.0.8412345678910 11 12 13 14 15解析随机变量服从正态分布N(2，2)，2，P(1230B.01212130D.0121312345678910 11 12 13 14 15
7、1612345678910 11 12 13 14 15 16由正态曲线的性质，当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，反之越“矮胖”.故选D.12345678910 11 12 13 14 156.已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X1)0.5，则实数a的值为 .解析X服从正态分布N(a,4)，正态曲线关于直线xa对称，又P(X1)0.5，故a1.1617.已知随机变量XN(2，2)，如图所示，若P(X4a)P(Xa)0.32，P(aX4a)1P(X4a)12P(Xa)0.36.160.368.已知XN(4，2)，且P(2X6)0.682 7，则 ，P(|X2|4).1
8、2345678910 11 12 13 14 150.84162解析XN(4，2)，4.P(2X6)0.682 7，12345678910 11 12 13 14 15 16P(|X2|4)P(2X6)P(2X2)P(2X4)的值.16解随机变量XN(3，2)，正态曲线关于直线x3对称，又P(2X4)0.68，12345678910 11 12 13 14 1510.一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润X(万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(7,12)，投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大，那么他应该选择哪一个方案？1612345678910 11 12 13 14
9、 15 16解对于第一个方案有XN(8,32)，其中8，3，对于第二个方案有XN(7,12)，其中7，1，显然第二个方案“利润超过5万元”的概率比较大，故他应该选择第二个方案.解析因为学生的数学成绩X服从正态分布N(98,100)，综合运用12345678910 11 12 13 14 1511.在某市2020年3月份的高三线上质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布N(98,100).已知参加本次考试的全市学生有9 455人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第A.1 500名 B.1 700名 C.4 500名 D.8 000名16所以0.158 6
10、59 4551 500.12.一批电阻的电阻值X(单位：)服从正态分布N(1 000,52)，现从甲、乙两箱出厂的成品中各随机抽取一个电阻，测得电阻值分别为1 011 和982，可以认为A.甲、乙两箱电阻均可出厂B.甲、乙两箱电阻均不可出厂C.甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂D.甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15解析XN(1 000,52)，1 000，5，31 00035985，31 000351 015.1 011(985,1 015)，982(985,1 015)，甲箱电阻可出厂，
11、乙箱电阻不可出厂.1612345678910 11 12 13 14 1513.某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径X(单位：mm)服从正态分布XN(100,1).现加工10个螺栓的尺寸(单位：mm)如下：101.7,100.3,99.6,102.4，98.2，103.2,101.1,98.8,100.4,100.0.XN(，2)，有P(2X2)0.954，P(3X3)0.997.根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，工人随机将其中的8个交与质检员检验，则质检员认为设备需检修的概率为1612345678910 11 12 13 14 15 16解析10个螺栓的尺寸，只有103
12、.2不在区间97,103内，工人随机将其中的8个交与质检员检验，14.已知随机变量XN(2,22)，且aXb(a0)服从标准正态分布N(0,1)，则a ，b .解析随机变量XN(2,22)，E(X)2，D(X)224.E(aXb)aE(X)b2ab0，D(aXb)a2D(X)4a21，12345678910 11 12 13 14 15-11615.(多选)设XN(1，)，YN(2，)，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中错误的是A.P(Y2)P(Y1)B.P(X2)P(X1)C.对任意正数t，P(Xt)P(Yt)D.对任意正数t，P(Xt)P(Yt)拓广探究12345678910 11
13、 12 13 14 151612345678910 11 12 13 14 15 16解析由题图可知102，12，P(Y2)P(X1)，故B错；当t为任意正数时，由题图可知P(Xt)P(Yt)，而P(Xt)1P(Xt)，P(Yt)1P(Yt)，P(Xt)t)，故C正确，D错.12345678910 11 12 13 14 15 1616.十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成
14、如右频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入 (单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；12345678910 11 12 13 14 15解 120.04140.12160.28180.36200.10220.06240.0417.40(千元)，16故估计50位农民的年平均收入 为17.40千元.12345678910 11 12 13 14 15 16(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入X服从正态分布N(，2)，其中近似为年平均收入 ，2近似为样本方差s2，经计算得s26.92，利用该正态分布，求：在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有84
15、.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？若随机变量X服从正态分布N(，2)，则P(X)0.682 7，P(2X2)0.954 5，P(3X3)0.997 3.12345678910 11 12 13 14 15 16解由题意知XN(17.40,6.92)，所以17.402.6314.77时，满足题意，即最低年收入大约为14.77千元.12345678910 11 12 13 14 15 16为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1 000位农民.若每位农民的年收入互相独立，记这1 000位农民中的年收入高于12.14千元的人数为，求E().若随机变量X服从正态分布N(，2)，则P(X)0.682 7，P(2X2)0.954 5，P(3X3)0.997 3.12345678910 11 12 13 14 15 16每个农民的年收入高于12.14千元的事件的概率为0.977 3，则B(1 000，p)，其中p0.977 3，所以E()1 0000.977 3977.3.谢谢观看
