1、第二章 函数与基本初等函数第9节函数模型及其应用ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断 基础夯实11.指数、对数、幂函数模型性质比较指数、对数、幂函数模型性质比较函数函数性质性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在在(0，)上的增减性上的增减性单调单调_单调单调_单调递增单调递增增长速度增长速度越来越快越来越快越来越慢越来越慢相对平稳相对平稳图象图象的变化的变化随随x的增大逐渐表现的增大逐渐表现为为与与_平行平行随随x的增大逐渐表现的增大逐渐表现为为与与_平行平行随随n值变化值变化而而各有不同各有不同值的比较值的比较存在一个存在一个x0，当，当xx0时，有时
2、，有logaxxn0且且a1，b0)与对数函数相关的模型与对数函数相关的模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，为常数，a0且且a1，b0)与幂函数相关的模型与幂函数相关的模型f(x)axnb(a，b，n为常数，为常数，a0)1.“直线上升直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长指数增长”先慢后快，其先慢后快，其增长量成倍增加，常用增长量成倍增加，常用“指数爆炸指数爆炸”来形容；来形容；“对数增长对数增长”先快后慢，其增长先快后慢，其增长量越来越小量越来越小.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键充分理解题意，并熟练掌握几
3、种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性数学结果对实际问题的合理性.每件赔每件赔1元，元，(1)错误错误.(2)当当x2时，时，2xx24.不正确不正确.C所以该同学视力的小数记录法的数据约为所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.根据该折线图，下列结论根据该折线图，下列结论正确正确的的是是()A.月接待游客量逐月增加月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在各年的月接待游客量高
4、峰期大致在7，8月月D.各年各年1月至月至6月的月接待游客量相对于月的月接待游客量相对于7月至月至12月，波动性更小，变化比较平稳月，波动性更小，变化比较平稳3.(多选多选)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了了2014年年1月至月至2016年年12月期间月接待游客量月期间月接待游客量(单位：万人单位：万人)的数据，绘制了下的数据，绘制了下面的折线图面的折线图.BCD解析解析由题图可知，由题图可知，2014年年8月到月到9月的月接待游客量在减少，则月的月接待游客量在减少，则A错误错误.其余其余全部正确全部正确
5、.解析解析设销售价每瓶定为设销售价每瓶定为x元，利润为元，利润为y元，元，4.某商店每月按出厂价每瓶某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶价定为每瓶4元，每月可销售元，每月可销售400瓶；若零售价每降低瓶；若零售价每降低(升高升高)0.5元，则可多元，则可多(少少)销售销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为定为()A.3.75元元/瓶瓶 B.7.5元元/瓶瓶C.12元元/瓶瓶 D.6元元/瓶瓶D所以所以x6时，时，y取得最
6、大值取得最大值.则对则对x，y最适合的拟合函数是最适合的拟合函数是()A.y2x B.yx21C.y2x2 D.ylog2x5.在某个物理实验中，测量得变量在某个物理实验中，测量得变量x和变量和变量y的几组数据，如下表：的几组数据，如下表：Dx0.500.992.013.98y0.990.010.982.00解析解析当当x0.99时，时，y0.01，可排除，可排除A，当当x2.01时，时，y0.98，可排除，可排除B、C，故选，故选D.CKAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破 题型剖析2根据折线图，下列结论正确的是根据折线图，下列结论正确的是()A.月跑步平均里程的中位数为月跑步
7、平均里程的中位数为6月份对应月份对应的的平均平均里程数里程数B.月跑步平均里程逐月增加月跑步平均里程逐月增加C.月跑步平均里程高峰期大致在月跑步平均里程高峰期大致在8月和月和9月月D.1月至月至5月的月跑步平均里程相对于月的月跑步平均里程相对于6月至月至11月，波动性更小，变化比较平稳月，波动性更小，变化比较平稳1.某某“跑团跑团”为了解团队每月跑步的平均里程，收集并整理了为了解团队每月跑步的平均里程，收集并整理了2021年年1月至月至2021年年11月期间月期间“跑团跑团”每月跑步的平均里程每月跑步的平均里程(单位：千米单位：千米)的数据的数据.绘制了下绘制了下面的折线图面的折线图.D解析解
8、析由折线图知，月跑步平均里程的中位数为由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的平均里程数，月份对应的平均里程数，A错误；错误；月跑步平均里程不是逐月增加的，月跑步平均里程不是逐月增加的，B错误；错误；月跑步平均里程高峰期大致在月跑步平均里程高峰期大致在9月和月和10月，月，C错误，故选错误，故选D.0时到时到3时只进水不出水；时只进水不出水；3时到时到4时不进水只出水；时不进水只出水；4时到时到5时不进水也不出水时不进水也不出水.则一定正确的论断是则一定正确的论断是_(填序号填序号).2.水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水的速度如图甲、乙所水池有两个相同的进水口和一个出水
9、口，每个口进出水的速度如图甲、乙所示，某天示，某天0时到时到6时该水池的蓄水量如图丙所示，给出以下时该水池的蓄水量如图丙所示，给出以下3个论断：个论断：解析解析由甲、乙、丙图可得进水速度为由甲、乙、丙图可得进水速度为1，出水速度为，出水速度为2，结合丙图中直线的，结合丙图中直线的斜率可知，只进水不出水时，蓄水量增加的速度是斜率可知，只进水不出水时，蓄水量增加的速度是2，故，故正确；正确；不进只出水时，蓄水量减少的速度为不进只出水时，蓄水量减少的速度为2，故，故不正确；不正确；两个进水，一个出水时，蓄水量减少的速度也是两个进水，一个出水时，蓄水量减少的速度也是0，故，故不正确不正确.解析解析由散
10、点图的走势，知模型由散点图的走势，知模型不合适不合适.例例1 我国在我国在2020年进行了第七次人口普查登记，到年进行了第七次人口普查登记，到2021年年4月以后才能公布结月以后才能公布结果果.人口增长可以用英国经济学家马尔萨斯提出的模型：人口增长可以用英国经济学家马尔萨斯提出的模型：yy0ert，其中，其中t表示表示经过的时间经过的时间(单位：年单位：年)，y0表示表示t0时的人口数时的人口数(单位：亿单位：亿)，r表示人口的年平表示人口的年平均增长率均增长率.以国家统计局发布的以国家统计局发布的2000年第五次人口普查登记年第五次人口普查登记(已上报户口已上报户口)的全的全国总人口国总人口
11、12.43亿人亿人(不包括香港、澳门和台湾地区不包括香港、澳门和台湾地区)和和2010年第六次人口普查年第六次人口普查登记登记(已上报户口已上报户口)的全国总人口的全国总人口13.33亿人亿人(不包括香港、澳门和台湾地区不包括香港、澳门和台湾地区)为为依据，用马尔萨斯人口增长模型估计我国依据，用马尔萨斯人口增长模型估计我国2020年年末年年末(不包括香港、澳门和台不包括香港、澳门和台湾地区湾地区)的全国总人口数为的全国总人口数为(13.332177.688 9，12.432154.504 9)()A.14.30亿亿 B.15.20亿亿C.14.62亿亿 D.15.72亿亿A所以我国所以我国20
12、20年年末的全国总人口数约为年年末的全国总人口数约为A.0.3 B.0.5C.0.7 D.0.8训练训练1 我们检测视力时会发现对数视力表中有两列数据，分别是小数记录与五我们检测视力时会发现对数视力表中有两列数据，分别是小数记录与五分记录，如图所示分记录，如图所示(已隐去数据已隐去数据)，其部分数据如下表：，其部分数据如下表：B小数记录小数记录x0.10.120.150.2？1.01.21.52.0五五分记录分记录y4.04.14.24.34.75.05.15.25.3解析解析由题中数据可知，当由题中数据可知，当x1时，时，y5，两个函数模型都符合；，两个函数模型都符合；所以选择模型所以选择模
13、型y5lg x更合适，更合适，此时令此时令y4.7，则，则lg x0.3，所以所以x100.30.5.角度1构造二次函数模型A整理得整理得R212R320，解得，解得4R8，即，即R4，8.解析解析设这种放射性物质最初的质量为设这种放射性物质最初的质量为1，经过，经过x(xN)年后，剩余量是年后，剩余量是y，则则22x100，解得，解得x4.所以至少需要的年数是所以至少需要的年数是4.角度2构造指数、对数函数模型C解析解析设老师上课时声音强度、一般两人小声交谈时声音强度分别为设老师上课时声音强度、一般两人小声交谈时声音强度分别为x1 W/m2，x2 W/m2，B因此，老师上课时声音强度约为一般
14、两人小声交谈时声音强度的因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍倍.角度3构建分段函数模型解解每件产品售价为每件产品售价为5元，元，则则x万件产品的销售收入为万件产品的销售收入为5x万元万元.当当0 x8时，时，当当x8时，时，当当x6时，时，L(x)取最大值为取最大值为L(6)9(万元万元)；(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？多少？解解当当0 x8时，时，综上，当年产量为综上，当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大万件时，小王在这一商品的
15、生产中所获利润最大，最大利润为利润为15万元万元.解析解析当当nA1时，时，PA0，故，故A错误；错误；又又nAnB1010且且nA，nBN*，nA1010，PAlg 101010，故，故B正确；正确；训练训练2 (1)(多选多选)已知一容器中有已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数两种菌的个数乘积均为定值乘积均为定值1010，为了简单起见，科学家用，为了简单起见，科学家用PAlg nA来记录来记录A菌个数的资料，菌个数的资料，其中其中nA为为A菌的个数菌的个数.现有以下几种说法，其中正确的是现有以下几种说法，其中正确的是()A.PA1B.PA10C.若
16、今天的若今天的PA值比昨天的值比昨天的PA值增加值增加1，则今天的，则今天的A菌个数比昨天的菌个数比昨天的A菌菌个数多个数多10D.假设科学家将假设科学家将B菌的个数控制为菌的个数控制为5万，则此时万，则此时5PA5.5(注：注：lg 20.3)BD若若PA1，则，则nA10；若；若PA2，则，则nA100，故，故C错误；错误；设设B菌的个数为菌的个数为nB5104，则则PAlg(nA)5lg 2.又又lg 20.3，5PA4.7，所以该次地震为，所以该次地震为“破坏性地震破坏性地震”.”.解解设汶川地震、日本地震所释放的能量分别为设汶川地震、日本地震所释放的能量分别为E1，E2.由题意知，由
17、题意知，lg E14.81.5816.8，lg E24.81.5918.3，即即E11016.8，E21018.3，故故2011年日本地震所释放的能量是年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的年汶川地震所释放的能量的32倍倍.解解由题意得当由题意得当0 x4时，时，v2；当当4x20时，设时，设vaxb，显然显然vaxb在在(4，20内是减函数，内是减函数，11.“活水围网活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：研究表明：“活水围网活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度养鱼时，某种鱼在一定的条件
18、下，每尾鱼的平均生长速度v(单单位：千克位：千克/年年)是养殖密度是养殖密度x(单位：尾单位：尾/立方米立方米)的函数的函数.当当x不超过不超过4尾尾/立方米时，立方米时，v的值为的值为2千克千克/年；当年；当4x20时，时，v是是x的一次函数；当的一次函数；当x达到达到20尾尾/立方米时，立方米时，因缺氧等原因，因缺氧等原因，v的值为的值为0千克千克/年年.(1)当当0 x20时，求函数时，求函数v关于关于x的函数解析式；的函数解析式；(2)当养殖密度当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量为多大时，鱼的年生长量(单位：千克单位：千克/立方米立方米)可以达到最大？可以达到最大？并求出最大值并求出最
19、大值.解解设年生长量为设年生长量为f(x)千克千克/立方米，依题意并由立方米，依题意并由(1)可得，可得，当当0 x4时，时，f(x)为增函数，故为增函数，故f(x)maxf(4)428；所以当所以当x10时，时，f(x)的最大值为的最大值为12.5.即当养殖密度为即当养殖密度为10尾尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为为12.5千克千克/立方米立方米.12.2019年年1月月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就我国航天事业取得又一重大成就
20、.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系术问题是地面与探测器的通信联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行点的轨道运行.L2点是平衡点，位于点是平衡点，位于地月连线的延长线上地月连线的延长线上.设地球质量为设地球质量为M1，月球质量为，月球质量为M2，地月距离为，地月距离为R，L2点点到月球的距离为到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：满足方程：D6 87
21、6推测良渚古城存在的时期距今约在推测良渚古城存在的时期距今约在5 730年到年到6 876年之间年之间.解解当当x128，即甲城市投资，即甲城市投资128万元时，乙城市投资万元时，乙城市投资112万元，万元，因此，此时公司的总收益为因此，此时公司的总收益为88万元万元.(2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？解解由题意知，甲城市投资由题意知，甲城市投资x万元，则乙城市投资万元，则乙城市投资(240 x)万元，万元，当当80 x120，即，即120240 x160时，时，当当120 x160，即，即80240 x120时，时，故故f(x)的最大值为的最大值为88.因此，当甲城市投资因此，当甲城市投资128万元，乙城市投资万元，乙城市投资112万元时，总收益最大，且最大万元时，总收益最大，且最大收益为收益为88万元万元.
