1、第六章 数列第3节等比数列及其前n项和ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断 基础夯实1(1)定义：如果一个数列从第定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都项起，每一项与它的前一项的比都等于等于_常数常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母公比通常用字母q表示表示(显然显然q0).1.等比数列的概念等比数列的概念同一个同一个(2)等比中项：如果在等比中项：如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数G，使，使a，G，b成等比数列，那么成等比数列，那么G叫做叫做a与与b的等比
2、中项的等比中项.此时此时G2_.ab(1)若等比数列若等比数列an的首项为的首项为a1，公比是，公比是q，则其通项公式为，则其通项公式为an_；通项公式的推广：通项公式的推广：anamqnm.2.等比数列的通项公式及前等比数列的通项公式及前n项和公式项和公式a1qn1已知已知an是等比数列，是等比数列，Sn是数列是数列an的前的前n项和项和.(1)若若klmn(k，l，m，nN*)，则有，则有akal_.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak2m，仍是等仍是等比数列，公比比数列，公比为为_.(3)当当q1，或，或q1且且n为奇数
3、时，为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n，仍成等比数仍成等比数列，其公比列，其公比为为_.3.等比数列的性质等比数列的性质amanqmqn常用结论解析解析(1)在等比数列中，在等比数列中，q0.(2)若若a0，b0，c0满足满足b2ac，但，但a，b，c不成等比数列不成等比数列.(3)当当a1时，时，Snna.(4)若若a11，q1，则，则S40，S8S40，S12S80，不成等比数列，不成等比数列.C解析解析当当n1时，时，a1S13b，当当n2，anSnSn1(3nb)(3n1b)23n1，当当b1时，时，a12适合适合an23n1，an为等比数列为等比数列.当当b1时，时，a1不适合
4、不适合an23n1，an不是等比数列不是等比数列.2.设设bR，数列，数列an的前的前n项和项和Sn3nb，则，则()A.an是是等比数列等比数列B.an是是等差数列等差数列C.当当b1时，时，an是等比数列是等比数列D.当当b1时，时，an是等比数列是等比数列解析解析易知易知S2，S4S2，S6S4构成等比数列构成等比数列，由由等比中项得等比中项得S2(S6S4)(S4S2)2，即即4(S66)22，所以，所以S67.3.记记Sn为等比数列为等比数列an的前的前n项和项和.若若S24，S46，则，则S6()A.7 B.8 C.9 D.10A解析解析A，B显然是正确的；显然是正确的；4.(多选
5、多选)若若an是公比为是公比为q(q0)的等比数列，记的等比数列，记Sn为为an的前的前n项和，则下列说项和，则下列说法正确的是法正确的是()A.若若a10，0q1，则，则an为递减数列为递减数列B.若若a10，0q1，则，则an为递增数列为递增数列C.若若q0，则，则S4S62S5ABD解析解析设公比为设公比为q，则，则ana1qn1，5.已知在等比数列已知在等比数列an中，中，a1a3a118，则，则a2a8_.4解析解析当当q1时，时，a37，S321，符合题意；，符合题意；6.(易错题易错题)已知在等比数列已知在等比数列an中，中，a37，前三项之和，前三项之和S321，则公比，则公比
6、q的值是的值是_.KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破 题型剖析2D解析解析设等比数列设等比数列an的公比为的公比为q，因为数列因为数列an的各项均为正数，所以的各项均为正数，所以a10，且，且q0，故，故A，B正确；正确；由由q22q30，解得，解得q3或或q1(舍舍)，ABD莞的长度组成等比数列莞的长度组成等比数列bn，其，其b11，公比为，公比为2，其前其前n项和为项和为Bn.3.九章算术中有述：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长九章算术中有述：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺，蒲生日尺，蒲生日自半，莞生日自倍自半，莞生日自倍.意思是：意思是：“今有蒲第一天长高今有
7、蒲第一天长高3尺，莞第一天长高尺，莞第一天长高1尺，以尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍倍.”则当莞长高到长度则当莞长高到长度是蒲的是蒲的5倍时，需要经过的天数是倍时，需要经过的天数是_.(结果精确到结果精确到0.1.参考数据：参考数据：lg 20.30，lg 30.48)()A.2.9天天 B.3.9天天 C.4.9天天 D.5.9天天C解解易知易知q1，由题意可得，由题意可得例例1 Sn为等比数列为等比数列an的前的前n项和，已知项和，已知a49a2，S313，且公比，且公比q0.(1)求求an及及Sn；(2)是否存在常数是否
8、存在常数，使得数列，使得数列Sn是等比数列？若存在，求是等比数列？若存在，求的值；若不存的值；若不存在，请说明理由在，请说明理由.解解假设存在常数假设存在常数，使得数列，使得数列Sn是等比数列，是等比数列，S11，S24，S313，证明证明anSnn，an1Sn1n1.得得an1anan11，所以所以2an1an1，2(an11)an1，又，又a1a11，训练训练1 已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为Sn，且，且anSnn.(1)设设cnan1，求证：，求证：cn是等比数列；是等比数列；(2)求数列求数列an的通项公式的通项公式.角度1项与和的性质解析解析log9a1log9a2log
9、9a10log9(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)log9955，故选，故选B.例例2(1)若等比数列若等比数列an的各项均为正数，且的各项均为正数，且a1a109，则，则log9a1log9a2log9a10()B(2)等比数列等比数列an的前的前n项和为项和为Sn，若，若S101，S307，则，则S40_.解析解析等比数列等比数列an的前的前n项和为项和为S101，S307，S10、S20S10、S30S20、S40S30成等比数列，成等比数列，即即1、S201、7S20、S407成等比数列，成等比数列，(S201)21(7S20)，解得，解得S203或或S20
10、2(舍舍)，所以所以1、2、4、S407成等比数列，成等比数列，所以所以S4078，解得，解得S4015.15(3)已知等比数列已知等比数列an共有共有2n项，其和为项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比，则公比q_.解析解析由题设，由题设，S偶偶S奇奇80，S2n240.2A.S2 021S2 022B.a2 021a2 02310C.T2 022是数列是数列Tn中的最大中的最大值值D.数列数列Tn无最大值无最大值角度2等比数列的最值AB故故0q1，且，且a2 0211，0a2 0221，故，故S2 022S2 021，A正确；正确；T2 021
11、是数列是数列Tn中的最大值，中的最大值，CD错误错误.故选故选AB.解析解析公比不为公比不为1的等比数列的等比数列an满足满足a5a6a4a78，a5a6a4a74，由，由a2am4，2m5611，解得，解得m9.训练训练2(1)公比不为公比不为1的等比数列的等比数列an满足满足a5a6a4a78，若，若a2am4，则，则m的值为的值为()A.8 B.9 C.10 D.11B(2)已知正项等比数列已知正项等比数列an的前的前n项和为项和为Sn，且，且S82S45，则，则a9a10a11a12的最小值为的最小值为()A.25 B.20 C.15 D.10解析解析在正项等比数列在正项等比数列an中
12、，中，Sn0，因为因为S82S45，则，则S8S45S4，易知易知S4，S8S4，S12S8是等比数列，是等比数列，所以所以(S8S4)2S4(S12S8)，B因为因为a9a10a11a12S12S8，所以，所以a9a10a11a12的最小值为的最小值为20.数列中的创新问题读懂题意，将其转化为数列问题，根据条件可将其转化为有规律等差或等比读懂题意，将其转化为数列问题，根据条件可将其转化为有规律等差或等比数列问题，解此类题的关键是找到其规律数列问题，解此类题的关键是找到其规律.A.54 B.18 C.9 D.6解析解析奇数构成的数阵，令奇数构成的数阵，令2n12 021，解得，解得n1 011
13、，故，故2 021是数阵中的是数阵中的第第1 011个数，个数，A则第则第1行到第行到第44行末一共有行末一共有990个奇数，第个奇数，第1行到第行到第45行末一共有行末一共有1 035个奇数，个奇数，所以所以2 021位于第位于第45行，又第行，又第45行是从左到右依次递增的，且共有行是从左到右依次递增的，且共有45个奇数，个奇数，所以所以2 021位于第位于第45行，从左到右第行，从左到右第21列，所以列，所以i45，j21，解析解析对于对于A，(n)a0a1ak，2n020a021a122ak12kak2k1，所以，所以(2n)0a0a1ak(n)，A正确；正确；对于对于B，取，取n2，
14、则，则2n37120121122，(7)3，而，而2020121，则，则(2)1，即，即(7)(2)1，B错误；错误；(2)(多选多选)设正整数设正整数na020a12ak12k1ak2k，其中，其中ai0，1(i0，1，k)，记，记(n)a0a1ak，则，则()A.(2n)(n)B.(2n3)(n)1C.(8n5)(4n3)D.(2n1)nACD对于对于C，8n5a023a124ak2k35120021122a023a124ak2k3，所以，所以(8n5)2a0a1ak，4n3a022a123ak2k23120121a022a123ak2k2，所以，所以(4n3)2a0a1ak，因此，因此(
15、8n5)(4n3)，C正确；正确；对于对于D，2n120212n1，故，故(2n1)n，D正确正确.故选故选ACD.FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG分层训练 巩固提升31.已知等比数列已知等比数列an满足满足a11，a3a54(a41)，则，则a7的值为的值为()BC解析解析A、B、C三种产品的数量刚好构成一个公比为三种产品的数量刚好构成一个公比为q的等比数列，的等比数列，C产品产品的数量为的数量为20，3.某工厂生产某工厂生产A、B、C三种产品的数量刚好构成一个公比为三种产品的数量刚好构成一个公比为q(q1)的等比数列，的等比数列，现从全体产品中按分层随机抽样的方法抽
16、取一个样本容量为现从全体产品中按分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为260的样本进行的样本进行调查，其中调查，其中C产品的数量为产品的数量为20，则抽取的，则抽取的A产品的数量为产品的数量为()A.100 B.140 C.180 D.120C解析解析当当a10，q1时，时，ana1qn10，此时数列，此时数列Sn递减，所以甲不是乙递减，所以甲不是乙的充分条件的充分条件.当数列当数列Sn递增时，有递增时，有Sn1Snan1a1qn0，若，若a10，则，则qn0(nN*)，即即q0；若若a10，则，则qn0(nN*)，不存在，所以甲是乙的必要条件，不存在，所以甲是乙的必要条件.综上，甲是乙的必要条
17、件但不是充分条件综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件.4.等比数列等比数列an的公比为的公比为q，前，前n项和为项和为Sn.设甲：设甲：q0，乙：，乙：Sn是递增数列，是递增数列，则则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件B5.(多选多选)已知等比数列已知等比数列an的公比为的公比为q，且，且a51，则下列选项正确的是，则下列选项正确的是()A.a3a72 B.a4a62C.a72a61
18、0 D.a32a410ACa72a61q22q1(q1)20，故，故C正确；正确；最后一个音是最初那个音的频率的最后一个音是最初那个音的频率的2倍，倍，a132a1，即，即a1q122a1，可得，可得q122，解析解析由于由于S37，S663知公比知公比q1，又又S6S3q3S3，得，得6377q3.q38，q2.7.已知等比数列已知等比数列an的前的前n项和为项和为Sn，若，若S37，S663，则，则a1_.1因为因为S5，S10S5，S15S10成等比数列，且公比为成等比数列，且公比为q5，x1x2x100100，x101x102x200a100(x1x2x100)100a100.9.设数
19、列设数列xn满足满足logaxn11logaxn(a0，a1)，若，若x1x2x100100，则则x101x102x200_.100a100证明证明2Snann，当当n2时时2Sn1an1n1，两式相减，得两式相减，得2ananan11，(2)求数列求数列an1的前的前n项和项和Tn.解解设设an的公比为的公比为q(q1)，且，且a2a420，a38.11.已知公比大于已知公比大于1的等比数列的等比数列an满足满足a2a420，a38.(1)求求an的通项公式；的通项公式；因此因此q2，a12，所以所以an的通项公式的通项公式an2n.解解易知易知(1)n1anan1(1)n122n1，则数列
20、则数列(1)n122n1公比为公比为4.故故a1a2a2a3(1)n1anan123252729(1)n122n1(2)求求a1a2a2a3(1)n1anan1.解析解析a11，anan12n，a22，a32，a44，由由anan12n可得可得an1an22n1，12.(多选多选)已知数列已知数列an中，中，a11，anan12n，nN，则下列说法正确的是，则下列说法正确的是()A.a44 B.a2n是等比数列是等比数列C.a2na2n12n1 D.a2n1a2n2n1ABCa2n，a2n1分别是以分别是以2，1为首项，公比为为首项，公比为2的等比数列，的等比数列，a2n22n12n，a2n1
21、12n12n1，a2na2n12n1，a2n1a2n32n12n1，综上可知，综上可知，ABC正确，正确，D错误错误.解析解析设设bn的公比为的公比为q.由题知由题知b3b42(b2b3)b4b32b20q2q20q2或或1(舍舍)，故故bn2n，ann2bn2bn12n12n2n，an2nn，anbnn，故故anbn为等差数列，为等差数列，A正确；正确；ABCan1an2n11，故，故an是递增数列，是递增数列，C正确；正确；解解设公比为设公比为q.由题意得由题意得a1a22a3，a1(1q2q2)0，14.已知公比不为已知公比不为1的等比数列的等比数列an满足满足a1a35，且，且a1，a3，a2构成等差数列构成等差数列.(1)求求an的通项公式；的通项公式；a1a35，a1(1q2)5，a14，解得解得k3，所以满足条件的最大正整数，所以满足条件的最大正整数k的值为的值为3.
