1、2.2.1 椭圆及其标准方程 （一）创设情境、导入新课（一）创设情境、导入新课 圆：平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合圆：平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合 （一）创设情境、导入新课（一）创设情境、导入新课 教具上有一条教具上有一条定长定长且没有弹性的细绳，且没有弹性的细绳， 绳子的两端拉开了一段距离，分别固定在绳子的两端拉开了一段距离，分别固定在 了图板的了图板的两点两点处，下面请同学们套上笔，处，下面请同学们套上笔， 拉紧绳子，移动笔尖，看能画出什么图形？拉紧绳子，移动笔尖，看能画出什么图形？ 合作实验：合作实验： （二）突出认知、建构概念（二）突出认知、建构概念 （二）突出认
2、知、建构概念（二）突出认知、建构概念 （二）突出认知、建构概念（二）突出认知、建构概念 生活中的生活中的 椭圆椭圆 （二）突出认知（二）突出认知 、建构概念、建构概念 动画演示 （三）注重本质（三）注重本质 、理解概念、理解概念 1. 椭圆定义：椭圆定义： 平面内与两个定点平面内与两个定点 的距离的和等于常数（大于的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫作）的点的轨迹叫作椭圆。椭圆。这两个定点叫做椭圆的这两个定点叫做椭圆的焦焦 点点，两焦点间的距离叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距焦距 。 12 ,F F 12 |FF |MF1|+|MF2|=2a M F1 F2 记焦距为记焦距为2c，
3、椭圆上的点，椭圆上的点M与与F1， F2的的 距离距离和记为和记为2a。 (|F1F2|=2c, （三）注重本质（三）注重本质 、理解概念、理解概念 2a2c0) 绳长绳长等于等于两定点间两定点间 距离即距离即2a=2c 时时, 绳长绳长小于小于两定点间两定点间 距离即距离即2a2c0. （2） 平面内平面内. -这是大前提这是大前提 （3）动点）动点M与两定点与两定点 的的距离的和距离的和等于常数等于常数2a 1. 椭圆定义：椭圆定义： 平面内与两个定点平面内与两个定点 的距离的和等于常数（大于的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦）的点的轨迹叫作椭圆，这两个
4、定点叫做椭圆的焦 点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 12 ,F F 12 |FF |MF1|+|MF2|=2a (2a2c0, |F1F2|=2c) M F1 F2 记焦距为记焦距为2c，椭圆上的点椭圆上的点M与与F1， F2的的 距离的距离的和记为和记为2a。 12 ,F F （三）注重本质、理解概念（三）注重本质、理解概念 求曲线方程的步骤是什么？ （1）建立适当的坐标系，设曲线上任意一点M的坐标 为(x，y); （2）找出限制条件 p(M); （3）把坐标代入限制条件p(M) ，列出方程 f (x，y)=0; （4）化简方程 f (x，y)=0; （5）检
5、验(可以省略,如有特殊情况，适当说明) 建、建、 设、限、代、化设、限、代、化 结合椭圆的几何特征，你认为怎样选择坐标系才能结合椭圆的几何特征，你认为怎样选择坐标系才能 使椭圆的方程简单？使椭圆的方程简单？ （四）深化研究、构建方程（四）深化研究、构建方程 222 )()(rbyax x O y A (a,b) M r 222 ryx x O y M r 类比探究类比探究 （四）深化研究、构建方程（四）深化研究、构建方程 建立平面直角坐标系一般遵循的原则：建立平面直角坐标系一般遵循的原则：对称、简洁对称、简洁 x O y M 方案一方案一 探讨建立平面直角坐标系的方案探讨建立平面直角坐标系的方
6、案 （四）深化研究、构建方程（四）深化研究、构建方程 方案二方案二 x O y M 1 F 2 F 2 F 1 F 以以F1、F2 所在直线为所在直线为 x 轴，线段轴，线段 F1F2 的垂直平分线为的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系 两边同时平方两边同时平方、整理得整理得 2 2 2 ycxacxa )0( 222 babca设 上式两边再平方、整理得上式两边再平方、整理得 22222222 caayaxca , 0,22 22 cacaca所以即由椭圆定义可知由椭圆定义可知 2 2 2 2 2ycxaycx 化化 代代 设设 建建 F1 F2 x y M( x , y )
7、 设设 M( x，y )是椭圆上任意一点，是椭圆上任意一点， 椭圆的焦距为椭圆的焦距为2c，则有，则有F1(-c，0)、F2(c，0). - , 0c , 0c 则：则： 22 22 +-+= 2xcyx cya O 椭圆标准方程的推导椭圆标准方程的推导 限限 aMFMF2| 21 限限制条件为制条件为： )0.(1 2 2 2 2 ba b y a x 两边同除以两边同除以 得得 22b a 222222 bayaxb得， 22222222 ()()2xcyxcyacxy （四）深化研究、构建方程（四）深化研究、构建方程 又设又设M与与F1， F2的距离的和等于的距离的和等于2a F1 F2
8、 x y M( x , y ) - , 0c , 0c 椭圆的标准方程 （四）深化研究、构建方程（四）深化研究、构建方程 焦点在焦点在 轴上轴上 1 F 2 Fx y O )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x x ),(yxM 思考思考： 焦点在焦点在 轴上轴上的的 方程是什么？方程是什么？ y O x y ),(yxM 1 F 2 F ) 0( 1 2 2 2 2 ba b x a y 01 2 2 2 2 ba b y a x 焦点在焦点在y轴：轴： 焦点在焦点在x轴：轴： 1 o F y x 2 F M( x , y ) aycxycx2)()( 2222 axcyxcy2)
9、()( 2222 1 2 y o F F M( x , y ) x 椭圆的标准方程 （四）深化研究、构建方程（四）深化研究、构建方程 Y Y型椭圆型椭圆 X X型椭圆型椭圆 ), 0(), 0( 21 cFcF， )0()0( 21 ，cFcF 的几何意义的几何意义 12 | |,OFOFc . b b oc a x 观察下图：你能从中找出表示观察下图：你能从中找出表示 的线段吗？的线段吗？ , ,a b c y 探究：探究： , ,a b c 1 F 2 F M ，aMFMF 21 22 caMO （五）多向分析、提高辨识（五）多向分析、提高辨识 ， 222 cba 若是椭圆，请写出它若是椭
10、圆，请写出它 的焦点坐标。的焦点坐标。 （六）应用拓展、提高能力（六）应用拓展、提高能力 1 1625 )1( 22 yx 1 1 ) 4( 2 2 2 2 m y m x 0225259 ) 3 ( 22 yx 思考：下列方程哪些表示椭圆？思考：下列方程哪些表示椭圆？ ) 1 , 0() 1, 0( 21 FF，焦点坐标为： )0 , 3()0 , 3( 21 FF，焦点坐标为： 1 1616 )2( 22 yx 1 925 22 yx （六）应用拓展、提高能力（六）应用拓展、提高能力 已知椭圆两个焦点的坐标分别是已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)， 并且经过点并且
11、经过点P ，求它的标准方程求它的标准方程. . 例例1 1： 2 3 2 5 ， 解：因为椭圆的焦点在解：因为椭圆的焦点在 轴上，设轴上，设 x )0(1 2 2 2 2 ba b y a x 由椭圆的定义知由椭圆的定义知 2222 5353 222 2222 a 所以所以 .10 a 又因为又因为 ， 所以所以 2 c6410 222 cab 因此，所求椭圆的标准方程为因此，所求椭圆的标准方程为 1 610 22 yx 定义法定义法 x F1 F2 P O y （六）应用拓展、提高能力（六）应用拓展、提高能力 已知椭圆两个焦点的坐标分别是已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2
12、,0)， 并且经过点并且经过点P ，求它的标准方程求它的标准方程. . 例例1 1： 2 3 2 5 ， 解：因为椭圆的焦点在解：因为椭圆的焦点在 轴上，设轴上，设 x )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 由于由于 所以所以 ，2 c4 22 ba 又点又点 在椭圆上在椭圆上 2 3 2 5 ， 1 2 3 2 5 2 2 2 2 ba 联立方程联立方程解得解得 6,10 22 ba 因此所求椭圆的标准方程为因此所求椭圆的标准方程为 1 610 22 yx x F1 F2 P O y 待定系数法待定系数法 已知椭圆两个焦点的坐标分别是已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 )
13、, (2,0)， 并且经过点并且经过点P ，求它的标准方程求它的标准方程. . 例例1 1： （六）应用拓展、提高能力（六）应用拓展、提高能力 2 3 2 5 ， （七）回顾反思、提升经验（七）回顾反思、提升经验 一个概念：一个概念： 两个方程：两个方程： 两种方法：两种方法： 三个意识：三个意识： 22 22 +=1 0 xy ab ab 22 22 +=1 0 xy ab ba |MF1|+|MF2|=2a (2a2c0) 定义法；待定系数法定义法；待定系数法. 类比意识；求美意识；求简意识类比意识；求美意识；求简意识. 两种思想：两种思想： 数形结合的思想；坐标法的思想数形结合的思想；坐
14、标法的思想. 1、必做题：、必做题： 教材教材49页习题页习题A组第组第1、2题；题； 2、选做题：、选做题： 求与圆求与圆 外切，且与圆外切，且与圆 内切的动圆圆心的轨内切的动圆圆心的轨 迹方程迹方程. （八）作业布置、巩固新知（八）作业布置、巩固新知 12 2 2 yx 492 2 2 yx 3、思考题：思考题： 方程方程 什么时候表示椭圆？什么时候表示椭圆？ 什么时候表示焦点在什么时候表示焦点在x轴上的椭圆？轴上的椭圆？ 什么时候表示焦点在什么时候表示焦点在y轴上的椭圆？轴上的椭圆？ 能表示圆吗？能表示圆吗？ 22 1AxBy 课后探索课后探索 （八）作业布置、巩固新知（八）作业布置、巩固新知
