1、2020-2021 学年高二数学上学期期中测试卷 03（人教 A 版） （理） （本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟） 测试范围：人教 A 版必修 5 全册+选修 2-1 第一章、第二章 一、单项选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是 符合题目要求的. 1已知命题p： 2 0, x xex ，则 p 为（ ） A 0 0 x， 0 2 0 x ex B 0 0 x， 0 2 0 x ex C0 x ， 2x ex D0 x ， 2x ex 【答案】A 【解析】因为命题p： 2 0, x xex ， 所以 p 为 0 0 x，
2、0 2 0 x ex， 故选 A 2关于 x的不等式 2 450 xx的解集为（ ） A( 5,1) B( 1,5) C( , 5)(1,) D(, 1)(5,) 【答案】B 【解析】不等式可化为 2 450 xx，有( 5)(1)0 xx ， 故不等式的解集为( 1,5). 故选 B 3在等差数列 n a中， 8 24a ， 16 8a，则 24 a（ ） A24 B16 C8 D0 【答案】C 【解析】 n a是等差数列， 82416 2aaa+=， 24 8a=-. 故选 C. 4“点 M在曲线 2 4xy上”是“点 M 的坐标满足方程2xy”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件
3、 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若点 M 在曲线 2 4xy上，则2xy； 当点 M 的坐标满足方程2xy时，必有 2 4xy，即点 M 在曲线 2 4xy上， 故“点 M 在曲线 2 4xy上”是“点 M 的坐标满足方程2xy”的必要不充分条件 故选 B 5在ABC中， 9,10,60abA，则此三角形解的情况是（ ） A一解 B两解 C一解或两解 D无解 【答案】B 【解析】因为sin5 3bAab，所以有两解. 故选 B. 6已知等比数列 n a， 10 a， 30 a是方程 2 10160 xx的两实根，则 20 a等于（ ） A4 B4 C8 D8 【答案】
4、A 【解析】因为 10 a， 30 a是方程 2 10160 xx的两实根， 由根与系数的关系可得 1030 10aa ， 1030 16aa，可知 10 0a， 30 0a 因为 n a是等比数列，所以 2 201030 16aaa， 因为 10 2010 aaq ，所以 20 0a， 所以 20 4a， 故选 A 7在ABC中，角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，若 222 ()tan3acbBac，则角 B的值为（ ） A 6 B 3 C 6 或 5 6 D 3 或 2 3 【答案】D 【解析】 222 ()tan3acbBac， 由余弦定理可得 222 cos 2 acb B ac
5、 3 costansin 2 BBB 3 B 或 2 3 故选 D 8双曲线 22 2 :1(0) 36 xy Ca a 左、右焦点分别为 12 ,FF，一条渐近线与直线430 xy垂直，点M在 C上，且 2 14MF ，则 1 |MF （ ） A6或 30 B6 C30 D6或 20 【答案】C 【解析】 双曲线 22 2 :1(0) 36 xy Ca a 左、 右焦点分别为 1 F， 2 F， 一条渐近线与直线430 xy垂直， 可得 63 4a ，解得8a ， 点M在C上， 2 | 14216MFa ，所以M在双曲线的右支上， 则 12 | 2| 30MFaMF 故选C 9已知实数x，y
6、满足不等式组 40, 0, 1, xy xy y ，则23zxy的最小值为（ ） A0 B2 C3 D5 【答案】D 【解析】不等式组表示的可行域如图所示， 由23zxy，得 2 33 z yx ， 作出直线 2 3 yx ，即直线230 xy， 将此直线向下平移过点C时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最小值， 由 1 0 y xy ，得 1 1 x y ，即 ( 1, 1)C ， 所以23zxy的最小值为2 ( 1)3 ( 1)5 ， 故选 D 10已知数列 n a满足 1 2a ， * 1 1() 1 2 n n anN a ，则 2020 a（ ） A2 B 1 3 C 1 2 D3
7、 【答案】D 【解析】由已知得 1 2a ， 2 21 1 123 a ， 3 21 1 1 2 1 3 a ， 4 2 13 1 1 2 a ， 5 2 12 1 3 a ， 可以判断出数列 n a是以 4为周期的数列，故 2020505 44 3aaa ， 故选 D. 11在锐角三角形ABC中， 角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 222 3acac b ， 则c o ss i nAC 的取值范围为（ ） A 3 3 , 22 B 2 ,2 2 C 1 3 , 2 2 D 3,2 【答案】A 【解析】由 222 3acacb 和余弦定理得 222 3 cos 22 acb B ac ，
8、又0,B， 6 B . 因为三角形ABC为锐角三角形，则 0 2 0 2 A C ，即 0 2 5 0 62 A A ，解得 32 A ， 13 cossincossincossincoscossin 6622 ACAAAAAAA 33 sincos3sin 223 AAA ， 32 A ，即 25 336 A ，所以， 13 sin 232 A ， 则 33 cossin 22 AC，因此，cos sinAC的取值范围是 3 3 , 22 . 故选 A. 12已知椭圆的方程为 2 2 2 11 x ya a ，上顶点为A，左顶点为B，设P为椭圆上一点，则PAB面积 的最大值为 21 .若已知
9、 3,0 ,3,0MN，点Q为椭圆上任意一点，则 14 QNQM 的最小值为 （ ） A2 B3 2 2 C3 D 9 4 【答案】D 【解析】在椭圆 2 2 2 11 x ya a 中， 点0,1 ,0ABa，则 2 1ABa， 1 AB k a ， 直线AB的方程为 1 1yx a ，设与直线AB平行的椭圆的切线方程为 1 yxb a ， 由方程组 2 2 2 1 1 yxb a x y a 得 2222 220 xabxa ba ， 由 2 222 24 20aba ba ，得 2 2b ，则2b ， 两平行线间的距离 22 2121 1 1 1 a d a a ， 则PAB面积的最大值
10、为 1 21 2 AB d ，得2a， 24QMQNa， 14114 4 QMQN QNQMQNQM 1 1 44 QMQN QNQM 19 12 444 QMQN QNQM ， 当且仅当2QMQN时取等号. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13设ABC内角 A，B，C所对应的边分别为 a，b，c.已知(4 )coscosacBbC ，则cos B_ 【答案】 1 4 【解析】由(4)coscosacBbC及正弦定理， 得(4sinsin)cossincosACBBC， 即4sincossin()sinABBCA，因为(0, )A，sin0A， 所以 1 cos
11、4 B 故填 1 4 14已知数列 n a的前 n 项和为 n S， 1 21 n S n n ，则 17 aa_. 【答案】29 【解析】由 1 21 n S n n ，得 2 21 n Snn， 令1n ，则 1 2 1 12S ，即 1 2a ， 22 776 2 77 1 (2 66 1)27aSS ， 所以 17 22729aa， 故填 29 15若正实数 , x y满足 39 loglog1xy，则 2 xy的最小值为_. 【答案】6； 【解析】因为 39 loglog1xy，所以 2 2 9 3 loglog1xy，即 2 9 log ()1x y ， 所以 2 9x y ， 所
12、以 22 22 96xyx y，当且仅当 2 xy，即3,3xy时取等号， 所以 2 xy的最小值为 6 故填 6 16以下四个关于圆锥曲线命题： “曲线 22 1axby为椭圆”的充分不必要条件是“ 0,0ab”； 若双曲线的离心率2e，且与椭圆 22 1 148 yx 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为 3yx ； 抛物线 2 2xy 的准线方程为 1 8 x =； 长为 6的线段AB的端点,A B分别在x、y轴上移动， 动点( , )M x y满足 2AMMB ， 则动点M的 轨迹方程为 22 1 416 xy 其中正确命题的序号为_ 【答案】 【解析】对于， “曲线 22 1axb
13、y为椭圆”的充要条件是“ 0,0ab 且ab”. 所以“曲线 22 1axby为椭圆”的必要不充分条件是“ 0,0ab”，故错误； 对于，椭圆 22 1 148 yx 的焦点为0,6，又双曲线的离心率 222 669 2,6,2, 22 ecabca a ，所以双曲线的方程为 22 22 1 39 yx ，所以双 曲线的渐近线方程为 3 3 yx ，故错误； 对于，抛物线 2 2xy 的方程化为标准式 2 1 2 yx ，准线方程为 1 8 x =，故正确； 对于， 设()(), 0,0 ,AaBb， 3 2 2,2, 3 2 2 ax xax AMMBxa yx by ybyby ， 2 2
14、33 3 ,0 ,0,6,36 22 AxByABxy ，即 22 1 416 xy ，即动点M的轨迹方程为 22 1 416 xy .故正确. 故填. 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17已知 :p 22a ，q：关于x的方程 2 0 xxa有实数根. （1）若q为真命题，求实数a的取值范围； （2）若p q 为真命题， q 为真命题，求实数a的取值范围. 【解析】 （1） 方程 2 0 xxa有实数根，得： :140qa 得 1 4 a ； （2） pq 为真命题， q 为真命题 p为真命题，q为假命题，即 22 1 4 a a 得 1
15、 2 4 a. 18已知不等式 2 320 xx的解集为 | xaxb. （1）求实数a，b的值； （2）解关于x的不等式：()()0 xc axb（c为常数，且2c ）. 【解析】 （1）不等式 2 320 xx的解集为 |12xx， 因为不等式 2 320 xx的解集为 | xaxb， 所以1a ，2b. （2）由（1）可知：不等式为()(2)0 xc x， c为常数，且 2c ， 当 2c时解集为 | x xc或2x ； 当2c时解集为 |2x x 或xc. 19已知椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 3 2 ，短轴的一个端点到右焦点的距离为 2 （1）求椭圆
16、 C 的方程； （2）设直线 l： 1 2 yxm交椭圆 C于 A，B 两点，且5AB ，求 m的值 【解析】 （1）由题意可得 2222 2 3 2 abc c a ， 解得：2a，1b， 椭圆 C的方程为 2 2 1 4 x y； （2）设 11 ,A x y， 22 ,.B x y 联立 22 1 2 44 yxm xy ， 得 22 2220 xmxm， 12 2xxm ， 2 12 22x xm， 222 12 5 1488 2 ABkxxmm 2 525m ， 解得1m 20已知数列 n a的前n项和 2 n Snn，等比数列 n b的公比(1)q q ，且 345 28bbb，
17、4 2b 是 3 b和 5 b的等差中项. （1）求 n a和 n b的通项公式； （2）令 2 1 1 nn n cb a ， n c的前n项和记为 n T，若2 n Tm对一切 * nN成立，求实数m的最大 值. 【解析】 （1）1n 时， 11 2aS， 当2n时 1 2 nnn aSSn 1 2a 也符合上式，所以 * 2 n an nN， 又 345 28bbb和 435 22bbb，得 4 8b ，2q =或 1 2 q . 1q 2q =. 1 2n n b ， * nN （2） 11 22 11111 22 1412 2121 nn nn n cb annn 1 2111111
18、111 (1)2)2 1 22335212 1 1(1 2121422 n nn n T nnnn 而 n T随着n的增大而增大，所以 1 8 22 3 n TT 故有m最大值为 8 3 . 21如图在ABC中，点 P 在边BC上， 3 C ，2AP ，4AC PC （1）求APB； （2）若ABC的面积为 5 3 2 求sinPAB 【解析】 （1）在APC中，设ACx， 因为4AC PC， 4 PC x ，又因为 3 C ，2AP ， 由余弦定理得： 222 2cos 3 APACPCAC PC 即： 2 22 44 22cos 3 xx xx ， 解得2x， 所以ACPCAP， 此时AP
19、C为等边三角形， 所以 2 3 APB ； （2）由 15 3 sin 232 ABC SAC BC ， 解得5BC ， 则3BP， 作ADBC交BC于 D，如图所示： 由（1）知，在等边APC中，3AD ，1PD ， 在RtABD中 22 3 1619ABADBD 在 ABP 中，由正弦定理得 sinsin ABPB APBPAB ， 所以 3 3 3 57 2 sin 3819 PAB 22已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为 F，过点 F的直线 l与抛物线 C 交于 M，N两点 （1）若(2,0)F，直线 l的斜率为 2，求OMN的面积； （2）设点 P是线段MN的中点（点
20、P与点 F不重合，点 0,0 Q x是线段MN的垂直平分线与 x轴的 交点，若给定 p 值，请探究： 2 | | PQ FQ 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由 【解析】 （1）由题意得，直线:24l yx，抛物线 2 :8C yx 联立 2 8 24 yx yx ，整理得 2 4160yy，800 设 11 ,M x y， 22 ,N x y，则 12 4yy ， 12 16y y ， 2 121212 1 |44 5 2 OMN SOFyyyyy y （2）由题意得，,0 2 p F ，易知直线 l的斜率存在且不为 0， 设直线 l的方程为(0) 2 p xtyt， 联立 2 2 2 p xty ypx ，整理得 222 22 20,440yptypp tp 设 11 ,M x y， 22 ,N x y，则 12 2yypt， 2 1212 2xxt yypptp， 2 , 2 p P ptpt ， 直线PQ的方程为 2 2 p yptt xpt 令0y ，得 2 3 2 p xpt， 2 3 ,0 2 p Q pt ， 222 2 |PQpp t， 22 3 | 22 pp FQptptp， 2 | | PQ p FQ ，即 2 | | PQ FQ 为定值，定值为 p
