1、2020-2021 学年人教版初一数学上学期高频考点学年人教版初一数学上学期高频考点 01 三视图与展开折叠三视图与展开折叠 知识框架知识框架 基础知识点 常见几何体三视图的画法 三视图之间的联系 几何体的展开、折叠与逻辑关系 （欧拉公式） 重难点题型 三视图有关的计数问题 计算组合体的体积和表面积 三视图中的最值问题 常见几何体的特征 几何体的分类 点、线、面、体之间的关系 基本几何体的三视图 图形的展开与折叠 多面体的顶点、面、棱的数量关系 基础知识点：基础知识点： 知识点知识点 1-1.常见几何体的特征常见几何体的特征 几何体 底面 侧面 顶点 圆柱 两个底面，平行，形状大小相等的圆 曲
2、面 无 圆锥 1 个底面，是圆形 曲面 1 个 棱柱 两个底面，平行，形状大小相等的多边形 平面 有 棱锥 1 个底面，是多边形 平面 有 （圆柱）（圆柱） （圆锥）（圆锥） （棱柱）（棱柱） （棱锥）（棱锥） 例例 1 （ （2020 江苏赣榆江苏赣榆 初一月考）初一月考）下列几何中，属于棱柱的是（ ） A B C D 【答案】【答案】C 【分析】根据棱柱的定义解答即可 【解析】【解析】解：棱柱；圆柱；棱柱；棱锥；圆锥；棱柱故选：C 【点睛】本题主要考查的是认识立体图形，掌握棱柱的定义是解题的关键 例例 2 （ （2019 广东茂名广东茂名 初一期中）初一期中）下列说法中，正确的个数是（ ）
3、. 柱体的两个底面一样大；圆柱、圆锥的底面都是圆；棱柱的底面是四边形；长方体一定是柱体； 正棱柱的侧面一定是长方形. A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【答案】【答案】C 【分析】根据柱体，锥体的定义结合各选项作答 【解析】【解析】解：柱体包括圆柱、棱柱，柱体的两个底面一样大，正确， 圆柱、圆锥的底面都是圆，正确；棱柱的底面可以为任意多边形，错误； 长方体一定是柱体，正确；正棱柱的侧面一定是长方形，正确；共有 4个正确，故选 C 【点睛】本题考查了柱体，锥体的定义，应注意棱柱由上下两个底面以及侧面组成；上下两个底面是全等 的多边形 例例 3 （2020 全国初一单元测试）全国初一单元测试
4、）下列说法正确的个数为（ ） 柱体的上、下两个面一样大；圆柱的侧面展开图是长方形；正方体有 6 个顶点；圆锥有 2 个面， 且都是曲面；球仅由 1 个面围成，这个面是平面；三棱柱有 5 个面，且都是平面 A1 B2 C3 D4 【答案】【答案】C 【解析】【解析】正确，正确，错误，正方体有 8个顶点，错误，有一个是曲面，有一个是平面, 错误， 球仅由 1个面围成，这个面是曲面；正确.故选 C. 【点睛】本题考查了认识立体图形，熟练掌握立体图形的性质是解题的关键 例例 4 （ （2019 河北省初一期末）河北省初一期末）不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征甲 同学：它有
5、 4个面是三角形；乙同学：它有 8 条棱该模型的形状对应的立体图形可能是( ) A三棱柱 B四棱柱 C三棱锥 D四棱锥 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据有四个三角形的面，且有 8 条棱，可知是四棱锥.而三棱柱有两个三角形的面，四棱柱没有三 角形的面，三棱锥有四个三角形的面，但是只有 6 条棱.故选 D 考点：几何体的形状 知识点知识点 1-2：几何体的分类几何体的分类: 按柱、锥、球来划分; 按组成面的平或曲划分; 按“底面的个数”划分; 按 “是否含有顶点”划分。 例例 1 （ （2019 全国初一课时练习）全国初一课时练习）如图所示，给出了 6 个立体图形.找出图中具有相同特征的图
6、形，并说明相 同特征. 【答案】【答案】见解析 【分析】立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等.其中长方体、正方体、棱柱、 棱锥是多面体，能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内. 【解析】【解析】都是由六个面组成的；的面都是平的；都有一个面不是平的；至少有一个 面是圆；的六个面都是四边形，等等. 【点睛】本题考查了认识立体图形，解题的关键是掌握常见立体图形的特征； 例例 2 （ （2020 全国初一课时练习）全国初一课时练习）将正方体、圆锥、三棱柱、球四种几何体分类正确的是（ ） A正方体、圆锥、三棱柱是柱体，球是球体 B正方体、三棱柱是柱体
7、，圆锥是锥体，球是球体 C圆锥、三棱柱是柱体的一类，正方体的面都是平面的一类，球的面是曲面的一类 D正方体、圆锥、三棱柱、球都是柱体 【答案】【答案】B 【分析】根据柱体、椎体、球体的特点即可求解. 【解析】【解析】将正方体、圆锥、三棱柱、球四种几何体分类为正方体、三棱柱是柱体，圆锥是椎体，球是球体 故选 B. 【点睛】此题主要考查几何体的分类，解题的关键是熟知几何体的分类方式. 例例 3 （ （2019 全国初一课时练习）全国初一课时练习）在如下图所示的图形中，柱体有_，锥体有_，球体有_ 【答案】【答案】 【解析】【解析】是圆柱，是正方体，属于棱柱，是长方体，属于棱柱，是球，是圆锥，是三棱
8、锥， 是三棱柱，所以柱体有，锥体有，球体有，故答案为：；. 例例 4如图，下图中是圆柱体的有_，是棱柱体的有_ （只填图的标号） 【答案】【答案】、 、 【分析】根据圆柱体和棱柱体的结构特点进行判断即可. 【解析】【解析】、不符合圆柱体和棱柱体的结构特点，、符合圆柱体的结构特点， 、符合棱柱体的结构特点.故答案为： （1）、 （2）、 【点睛】本题考查圆柱体和棱柱体的结构特点，棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面都是四边 形，并且相邻四边形的公共边互相平行，熟练掌握圆柱体和棱柱体的结构特点是解题关键. 例例 5 （ （2019 全国初一课时练习）全国初一课时练习）数学课上，左老师给出了这
9、样一道题：将图中的几何体进行分类，并简要 说明理由. 小明认为：若按柱、锥、球来划分：是柱体；是锥体；是球体. 小彬认为：若按组成几何体的面是平面或曲面来划分：是一类，因为组成它们的面中至少有一面是曲 面；是一类，因为组成它们的各个面都是平面. 同学们，你认为小明和小彬的划分方法正确吗？若不正确，请加以改正. 【答案】【答案】都不正确，按柱、锥、球来划分：是柱体；是锥体；是球体；按组成几何体的面是 平面或曲面来划分：是一类，至少有一面为曲面；是一类，没有曲面. 【分析】分别按柱、锥、球来分类与按平面或曲面来分类，分别求解即可. 【解析】【解析】解：都不正确. 若按柱、锥、球来划分：是柱体；是锥
10、体；是球体. 若按组成几何体的面是平面或曲面来划分：是一类，至少有一面为曲面；是一类，没有曲面. 【点睛】此题主要考查几何体的分类，解题的关键是熟知几何体的分类方式与方法. 知识点知识点 1-3.点、线、面、体之间的关系。点、线、面、体之间的关系。 （点、线、面、体之间的关系:点动成线,线动成面，面动成体） 线与线相交而成 点 点 （几何中的点无大小） 线段平面 面与面相交而成 线三角形几何 （几何中的线无粗细） 几 多边形图形 何包围着体的部分 圆 面 图 （几何中的面无厚薄） 形 圆柱 圆锥 体立体图形 棱柱 棱锥 例例 1 （2020 广东番禺初一期末）广东番禺初一期末）笔尖可以看作一个
11、点，这个点在纸上运动时就形成了线，这可以说点动成 线；汽车的雨刷在档风玻璃上画出一个扇面，这可以说_. 【答案】【答案】线动成面 【分析】利用雨刷可看成线，扇面是面，即可求出答案 【解析】【解析】汽车的雨刷在挡风玻璃上画出一个扇面，这说明线动成面的数学原理故答案为：线动成面 【点睛】本题考查了点，线，面、体，此题较简单，解题时要灵活应用点、线、面、体之间的关系 例例 2 （ （2020 陕西神木陕西神木 期末）期末）如图，下列图形绕直线l旋转一周后，能得到圆锥体的是（ ） A B C D 【答案】【答案】B 【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体，只有直角三角形绕直角边旋转一周，可以得到一个
12、以旋转 直角边为高，另一直角边为底面半径的圆锥 【解析】【解析】解：只有直角三角形绕直角边旋转一周，可以得到一个圆锥故选：B 【点睛】本题考查了点、线、面、体之间的关系，抓住旋转的定义和圆锥的特征即可解决此类问题 例例 3 （ （2019 全国初一课时练习）全国初一课时练习） 三角板绕它的一条直角边旋转一周， 形成一个圆锥体， 这说明了_. 【答案】【答案】面动成体 【分析】根据面动成体的原理即可解 【解析】【解析】三角板绕它的一条直角边旋转一周，形成一个圆锥体，说明了面动成体.故答案：面动成体 【点睛】本题考查点、线、面、体，解题的关键是理解面动成体的原理. 例例 4 （ （2020 全国初
13、一单元测试）全国初一单元测试）假如我们把笔尖看作一个点，当笔尖在纸上移动时，就能画出线，说明了 _ 【答案】【答案】点动成线 【解析】【解析】笔尖在纸上移动时，就能画出线，说明了点动成线 知识点知识点 1-4 基本几何体的三视图基本几何体的三视图 注注:主视图主视图:从正面看到的图；左视图（侧视图）左视图（侧视图）:从左面看到的图；俯视图俯视图:从上面看到的图. 例例 1 （ （2020 福建泉州外国语学校其他）福建泉州外国语学校其他）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A三棱柱 B三棱锥 C圆柱 D圆锥 【答案】【答案】A 【分析】由题意直接根据三视图以及三棱柱的特征，进行分析可得此几
14、何体为三棱柱 【解析】【解析】解：根据几何体的三视图即可知道几何体是三棱柱故选：A 【点睛】本题考查三视图以及三棱柱的特征，熟练掌握三棱柱的特征是解题的关键 例例 2 （ （2020 湖北武汉湖北武汉 初三一模）初三一模）下列图形中主视图，左视图不相同的是（ ） A B C D 【答案】【答案】A 【分析】根据几何体的主视图，左视图是否相同进行判断即可 【解析】【解析】解：A长方体的主视图，左视图分别是长方形和正方形，故 A选项符合题意； B圆柱的主视图，左视图都是相同的长方形，故 B选项不合题意； C正方体的主视图，左视图都是相同的正方形形，故 C 选项不合题意； D球的主视图，左视图都是相
15、同的圆，故 D选项不合题意；故选：A 【点睛】本题主要考查了三视图，解题时注意：从正面看到的图形是主视图，从左边看到的图形是左视图 例例 3(20.成都市青羊区二诊成都市青羊区二诊)某立体图形的三视图如图所示，则该立体图形的名称是（ ） A正方体 B长方体 C圆柱体 D圆锥体 【答案】【答案】C 【分析】俯视图是圆形，说明这个几何体的上下有两个面是圆形的，左视图、左视图都是长方形的，于是 可以判断这个几何体是圆柱体 【解析】【解析】俯视图是圆形，说明这个几何体的上下有两个面是圆形的，左视图、左视图都是长方形的，于是 可以判断这个几何体是圆柱体故选：C 【点睛】本题考查了立体图形的三视图，掌握根
16、据三视图判断立体图形的方法是解题的关键 例例 4 （ （20.成都市五城区二诊）成都市五城区二诊）下面几何体中，其主视图与俯视图相同的是（ ） A B C D 【答案】【答案】C 【解析】【解析】选项 A，圆柱主视图是矩形，俯视图是圆；选项 B，圆锥主视图是三角形，俯视图是圆； 选项 C，正方体的主视图与俯视图都是正方形；选项 D，三棱柱的主视图是矩形与俯视图都是三角形； 故选：C 【点睛】本题考查几何体的三视图 例例 5 （ （20.成都市五城区一诊）成都市五城区一诊）某露天舞台如图所示，它的俯视图是（ ） A B C D 【答案】【答案】B 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的
17、看到的棱都应表现在俯视图中 【解析】【解析】解：它的俯视图是： 故选 B 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图 例例 6 （ （2020 江苏兴化江苏兴化 初三一模）初三一模）如图是一个三视图，则此三视图所对应的直观图是（ ） A B C D 【答案】【答案】B 【分析】由三视图判断几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面 和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状 【解析】【解析】解：由图可得，此三视图所对应的直观图是。故选：B 【点睛】解三视图的定义是关键. 知识点知识点 1-5 三视图的画法三视图的画法 常见几何体的三种形状图的画
18、法常见几何体的三种形状图的画法:确定从不同方向看到的几何体的形状. 虚实要求虚实要求:画图时,看得见的轮廓线画实线,看不见的轮廓线画虚线. 正方体搭建的几何体的画法正方体搭建的几何体的画法 画三种形状图，要注意从相应的方向看几何体有几列,每列有几个正方体(即有几层),根据看到的列数、层数 画出相应的图. 例例 1 （ （2019 河南省初一期末）河南省初一期末）如图所示的几何体，从上面看得到的平面图形是（ ） A B C D 【答案】【答案】B 分析：根据所看位置，找出此几何体的三视图即可 【解析】【解析】从上面看得到的平面图形是两个同心圆，故选 B 考点：简单组合体的三视图 例例 2 （ （
19、2020 黑龙江哈尔滨黑龙江哈尔滨 二模）二模）下列几何体是由 5 个相同的小正方体搭成的，它的左视图是（ ） A B C D 【答案】【答案】B 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中 【解析】【解析】解:从左面可看到 2列小正方形的个数从左到右分别为 2，1故选：B 【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图 例例 3 （ （2020 全国初一单元测试）全国初一单元测试）如图，一个几何体由 5 个大小相同、棱长为 1 的正方体搭成，下列关于这 个几何体的说法正确的是（ ） A主视图的面积为 4 B左视图的面积为 2 C俯视图的面积为
20、 5 D搭成的几何体的表面积是 20 【答案】【答案】A 【解析】【解析】A、从正面看，可以看到 4 个正方形，面积为 4，故 A选项正确； B、从左面看，可以看到 3个正方形，面积为 3，故 B选项错误； C、从上面看，可以看到 4个正方形，面积为 4，故 C选项错误； D、搭成的几何体的表面积是 22，故 D 错误故选 A 例例 4 （ （2019 全国初一课时练习）全国初一课时练习）请你画出如图所示的几何体从正面、左面、上面看到的形状图. 【答案】【答案】见解析 【分析】由简单几何体的三视图的定义即可画出. 【解析】【解析】如图所示. 【点睛】此题主要考查简单几何体的三视图，解题的关键是
21、从各方向直接观察即可画出. 例例 5 （ （2019 全国初一课时练习）全国初一课时练习）如图是由几个完全相同的小立方体所搭成的几何体从上面看到的形状图， 小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，请你画出这个几何体从正面和左面看到的形状图. 【答案】【答案】见解析. 【分析】由已知条件可知，从正面看有 3 列，每列小正方数形数目分别为，；从左面看有 3 列， 每列小正方形数目分别为，据此可画出图形 【解析】【解析】解：如图所示. 【点睛】本题考查了作图-三视图， 由三视图判断几何体，能根据俯视图对几何体进行推测分析,有一定的 挑战性,关键是从俯视图中得出几何体的排列信息. 知识点知识点
22、1-6 三视三视图之间的联系图之间的联系 物体长度、高度和宽度的确定物体长度、高度和宽度的确定: 三种形状图中,从正面看到的形状图和从左面看到的形状图反映物体的高度, 从正面看到的形状图和从上面看到的形状图反映物体的长度, 从左面看到的形状图和从上面看到的形状图反映物体的宽度. 例例 1 （ （2019 全国初三单元测试全国初三单元测试）一个物体的主视图和俯视图如图所示，请根据你对这个物体的想象，画出 它的一个左视图 【答案】【答案】见解析. 【分析】根据主视图与俯视图，可大致推出左视图的形状，答案不唯一. 【解析】【解析】左视图如图所示： （答案不唯一） 【点睛】此题主要考察几何体的三视图.
23、 例例 2（2019 全国初一课时练习）全国初一课时练习） 一仓库管理员需要清点仓库的物品， 物品全是一些大小相同的正方体箱子， 他不能搬下箱子进行清点，后来，他想出了一个办法，通过从三个不同方向观察物品的形状图，求出了仓 库里的存货，他所看到的三个形状图如下，仓库管理员清点出存货的个数是多少？ 【答案】【答案】8 个 【分析】从俯视图中可以看出最底层正方体箱子的个数及形状，从主视图可以看出每一层正方体箱子的层 数和个数，从左视图确定中间位置应有两排 2 个，从而算出总的个数 【解析】【解析】由三个形状图可判断箱子的堆放数量如图， 1 1 1 22 1 8 （个）.所以一共有 8 个正方体箱子
24、. 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，需要一定的想象力，结合三视图推出每一层的正方体箱子个数， 例例 3 （ （2019 全国初一期末）全国初一期末）从正面和从左面看一个长方体得到的形状图如图所示(单位： cm)，则其从上 面看到的形状图的面积是_ 【答案】【答案】12cm 2 【解析】【解析】根据从左面、从正面看到的形状图的相关数据可得； 从正面看到的形状图是长为 4cm宽为 2cm的长方形， 从左面看到的形状图是长为 3cm宽为 2cm的长方形， 则从上面看到的形状图的面积是 4 3=12cm2. 例例 4 （ （2019 全国初三单元测试）全国初三单元测试）如图是一个由若干个正方体搭
25、建而成的几何体的主视图与左视图，那么下 列图形中可以作为该几何体的俯视图的序号是_(多填或错填得 0分，少填酌情给分) 【答案】【答案】 【分析】根据几何体的主视图和左视图用正方体实物搭出图形判断，或者根据主视图和左视图想象出每个 位置正方体的个数进行计算. 【解析】【解析】综合左视图跟主视图，从正面看，第 1行第 1列有 3个正方体，第 1 行第 2 列有 1个或第 2 行第 2 列有 1 个或都有 1 个，第 2 行第 1 列有 2个正方体，第 2行第 1列有 2 个正方体. 故答案为: . 【点睛】本题考查了学生的空间想象能力和三视图的综合能力，解题关键是熟练掌握三视图，充分发挥空 间想
26、象. 例例 5 （ （2019 全国初一单元测试）全国初一单元测试）小明和小彬观察同一个物体，从俯视图看都是一个等腰梯形，但小明所看 到的主视图如图（1）所示，小彬看到的主视图如图（2）所示你知道这是一个什么样的物体？小明和小 彬分别是从哪个方向观察它的？ 【答案】【答案】见解析 分析：根据题意，俯视图是一个等腰梯形，而（1）与（2）的形状是相同的，故可知道小明和小彬是从不 同方向观察它的，且该几何体是底面为等腰梯形的四棱柱 【解析】【解析】底面为等腰梯形的四棱柱（如图所示） 小明是从前面观察的，而小彬则是从后面观察的（答案不 惟一） 知识点知识点 1-7 几何体的展开与折叠几何体的展开与折叠
27、 注意注意:棱柱的侧面展开图为长方形，圆锥的侧面展开图为扇形，圆柱的侧面展开图为长方形.将平面图形 折叠成几何体时,要注意:折叠中无重合的面.确定正方体各面数字的口诀:“一个中心”定“四周”,剩下一 个是对面.在展开图中,确定长方形对应点的方法建议:两底放上员下,再定背对面，想象还原图. 例例 1 （ （2020 上海市静安区实验中学课时练习）上海市静安区实验中学课时练习）下列哪一个图形是正方体的侧面展开图（ ） A B C D 【答案】【答案】D 【分析】根据已知正方体图形，利用排除法选出正确答案，从底面和侧面的情况进行全面的分析，相邻必 不相对. 【解析】【解析】根据已知正方体图形，从底面
28、和侧面的情况进行全面的分析，相邻必不相对. 利用排除法可得 D 选项正确；故选：D 【点睛】判断一个平面图形是不是某立体图形的平面展开图，需要从底面和侧面的情况进行全面的分析， 反之相同，在分析过程中需谨记:相邻必不相对.此类题目的解答有两种思路:根据已知立体图形，利用排除 法选出正确答案；将选项中的展开图还原成成立体图形与已知立体图形比较得出正确答案. 例例 2 （ （2019 全国初一课时练习）全国初一课时练习）下面四个图形中，是三棱柱的表面展开图的是（下面四个图形中，是三棱柱的表面展开图的是（ ） A B C D 【答案】【答案】A 【分析】根据三棱柱的展开图进行判断即可. 【解析】【解
29、析】A是三棱柱的平面展开图，符合题意；B是三棱锥的平面展开图，不符合题意； C是四棱锥的平面展开图，不符合题意； D 不是三棱柱的平面展开图，一侧多了一个底，另一侧则少了一个底，不符合题意.故选 A. 【点睛】本题考查了三棱柱的结构特征，掌握三棱柱的展开图是解题的关键. 例例 3 （ （2020 山东省初一期末）山东省初一期末）下列各图都是正方体的表面展开图，若将它们折成正方体，则其中两个正方 体各面图案完全一样的是_ （填序号） 【答案】【答案】 【分析】根据正方体中相对的两个面在展开图中隔一相对逐图分析即可解答 【解析】【解析】将这四幅图折成正方体时，+面对面，#面对面，面对 面； +面对
30、面，面对#面，面对 面；+面对面，#面对面，面对面； +面对面，#面对面，面对 面其中两个正方体各面图案完全一样的是与故答案为： 【点睛】本题考查了正方体平面展开图的性质，熟练掌握正方体平面展开图的性质是解题的关键，正方体 中相对的两个面在展开图中隔一相对，考查了学生熟练运用知识解决问题的能力 例例 4 （ （2019 山东省初一期中）山东省初一期中）如图是正方体的一种展开图，其中每个面上都有一个数字，在原正方体中， 与数字 1相对面上的数字是_。 【答案】【答案】6 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答 【解析】【解析】正方体的表面展开图，相对的面之间
31、一定相隔一个正方形， “6”与“1”是相对面，“2”与“4”是相对面，“3”与“5”是相对面， 与数字 1 相对面上的数字是 6，故答案为：6 【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解 答问题 例例 5 （ （2019 安徽省初一期末）安徽省初一期末）下列图形能围成一个无盖正方体的是_（填序号） 【答案】【答案】. 【分析】通过叠纸或空间想象能力可知；根据正方体的 11种展开图，因为本题是无盖的，要少一个正方形. 【解析】【解析】 通过叠纸或空间想象能力可知， 可以围成一个无盖正方体.另可根据正方体的 11种展开图， 因为本题是无盖的，要少一
32、个正方形，也可以得到可以围成一个无盖正方体. 故答案为 【点睛】考点：1、立体图形；2、正方体的展开图. 重难点题型：重难点题型： 题型题型 1. 图形的展开、折叠与逻辑关系图形的展开、折叠与逻辑关系 解题技巧：解题技巧：对于比较简单的展开与折叠,可以进行推理；记住一些常见几何体的展开图(比如长方体、正 方体)；如果是比较复杂的几何体,动手操作最好. 例例 1 （ （2020 山东省青岛三十九中初一期末）山东省青岛三十九中初一期末）在图中增加 1 个小正方形，使所得图形经过折叠能够围成一个 正方体，在图中适合按要求加上小正方形的位置有_个. 【答案】【答案】4 【分析】结合正方体的平面展开图的
33、特征，只要折叠后能围成正方体即可， 【解析】【解析】解：如图所示， 故答案为 4， 【点睛】本题考查了正方体的展开图，正方体的展开图形式：一四一呈 6种，一三二有 3种，二二二与三三 各 1种，展开图共有 11种 例例 2 （ （2020 黑龙江省初一期末）黑龙江省初一期末）一个小立方体的六个面分别标有数字 1、2. 3、4、5、6，从三个不同的方 向看到的情形如图所示，则数字 6的对面是_. 【答案】【答案】3 【分析】根据与 1相邻的面的数字有 2、3、4、6 判断出 1 的对面数字是 5，与 4相邻的面的数字 有 1、3、5、6 判断出 4 的对面数字是 2，从而确定出 3的对面数字是
34、6 【解析】【解析】解：由图可知，与 1相邻的面的数字有 2、3、4、6，1的对面数字是 5， 与 4相邻的面的数字有 1、3、5、6，4的对面数字是 2， 数字 6 的对面是 3，故答案为 3 【点睛】 本题考查正方体相对两个面上的文字， 根据相邻面上的数字确定出相对面上的数字是解题的关键 例例 3 （ （2019 福建省初一期末）福建省初一期末）图（1）是一个小正方形体的表面展开图，小正方体从图（2）所示的位置依 次翻到第 1 格、第 2格、第 3格、第 4 格，这时小正方体朝上一面的字是_ 【答案】【答案】梦 【分析】利用正方体的展开特点得出“中”和“美”相对；“国”和“水”相对；“梦”
35、和“城”相对，进一步利用翻转 得出答案即可 【解析】【解析】根据正方体的表面展开图可知：“国”和“水”相对，“城”和“梦”相对，“中”和“美”相 对；翻到第 1格“梦”在下面，翻到第 2 格“中”在下面，翻到第 3格“国”在下面，翻到第 4 格“城”在 下面，则第 4格时朝上一面的字是“梦”故答案为：梦 【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，两个面相隔一个面是对面，注意翻转的顺序确定每次翻 转时下面是解题关键 例例 4 （ （2020 获嘉县第一中学初一月考）获嘉县第一中学初一月考）有一个正六面体骰子放在桌面上，将骰子沿如图所示顺时针方向滚 动，每滚动 90 算一次，则滚动第 2022
36、次后，骰子朝下一面的数字是_ 【答案】【答案】3 【分析】观察图形知道点数 3和点数 4 相对，点数 2 和点数 5相对，分别确定出前四次滚动后朝下的点数； 根据题意可知四次一循环，接下来用 2022 除以 4，根据余数即可确定答案. 【解析】【解析】观察图形知道点数 3和点数 4 相对，点数 2 和点数 5相对，则点数 1与点数 6相对，且骰子朝下一 面的点数是 2，3，5，4 依次循环， 2022 4=5052，滚动第 2022 次后与第 2次相同， 朝下的点数为 3.故答案为 3. 【点睛】本题考查了探究规律，解题的关键是根据题意掌握循环的规律. 例例 5 （ （2020 全国初一单元测
37、试）全国初一单元测试）如图所示，图为一个正方体，其棱长为 10，图为图的表面展开图(数 字和字母写在外表面上，字母也可以表示数)，请根据要求回答问题： (1)如果正方体相对面上的两个数字之和相等，则 x_，y_； (2)如果面“2”是右面，面“4”在后面，则上面是_(填“6”“10”“x”或“y”)； (3)图中，M，N 为所在棱的中点，试在图中找出点 M，N 的位置，并求出图中三角形 ABM 的面积 【答案】【答案】(1)12，8；(2)6；（3）三角形 ABM 的面积为 25 或 125. 分析： （1）根据两个面相隔一个面是对面，对面的和是 14，可得答案； （2）根据临面，对面的关系，
38、可得答案； （3）根据展开图面与面的关系，可得 M、N的位置，根据三角形的面积公式，可得答案 【解析】【解析】 (1) 如果长方体相对面上的两个数字之和相等，则 x=12，y=8； (2)6 (3)有两种情况如图甲，三角形 ABM 的面积为 1 2 10 525.如图乙，三角形 ABM的面积为 1 2 (10105) 10125. 三角形 ABM的面积为 25 或 125. 题型题型 2. 多面体的顶点、面、棱的数量关系：多面体的顶点、面、棱的数量关系： 解题技巧：解题技巧：熟练记忆欧拉公式。 欧拉公式：顶点数+面数-棱数=2 例例 1 （ （2020 四川省初一期中）四川省初一期中）瑞士著名
39、数学家欧拉发现：简单多面体的顶点数 V、面数 F及棱数 E 之间满 足一种有趣的关系：V+FE2，这个关系式被称为欧拉公式比如：正二十面体（如右图） ，是由 20 个等 边三角形所组成的正多面体， 已知每个顶点处有 5条棱， 则可以通过欧拉公式算出正二十面体的顶点为_ 个那么一个多面体的每个面都是五边形，每个顶点引出的棱都有 3条，它是一个_面体 【答案】【答案】12 12 【分析】设出正二十面体的顶点为 n个，则棱有 5 2 n 条.利用欧拉公式构建方程即可解决问题.设顶点数 V、棱数 E、面数 F、每个点都属于三个面，每条边都属于两个面，利用欧拉公式构建方程即可解决问题. 【解析】【解析】
40、解：设出正二十面体的顶点为 n个，则棱有 5 2 n 条 由题意 F20，n+10 5 2 n 2，解得 n12 设顶点数 V，棱数 E，面数 F，每个点属于三个面，每条边属于两个面 由每个面都是五边形，则就有 E 5 2 F ，V 5 2 F 由欧拉公式：F+VE2，代入：F+ 5 2 F 5 2 F 2 化简整理：F12 所以：E30，V20 即多面体是 12 面体棱数是 30，面数是 12，故答案为 12，12. 【点睛】本题考查欧拉公式的应用，解题的关键是弄清题意、利用等量关系列出方程是解答本题的关键. 例例 2 （ （2019 福建省初一期末）福建省初一期末）简单多面体是各个面都是多
41、边形组成的几何体，十八世纪瑞士数学家欧拉证 明了简单多面体中顶点数（V） 、面数（F）和棱数（E）之间存在一个有趣的关系式，称为欧拉公式如表 是根据左边的多面体模型列出的不完整的表： 现在有一个多面体，它的每一个面都是三角形，它的面数（F）和棱数（E）的和为 30，则这个多面体的顶 点数 V_ 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 长方体 8 6 正八面体 8 12 【答案】【答案】8 【分析】直接利用 V，E，F 分别表示凸多面体的顶点数、棱数、面数，欧拉公式为 VE+F=2，求出答案 【解析】【解析】现在有一个多面体，它的每一个面都是三角形，它的面数（F）和棱数（E）的和为 30
42、， 这个多面体的顶点数 V=2+EF， 每一个面都是三角形，每相邻两条边重合为一条棱，E= 3 2 F， E+F=30，F=12，E=18，V=2+EF=2+1812=8，故答案为 8 【点睛】本题考查了欧拉公式，正确运用欧拉公式进行计算是解题的关键 例例 3 （ （2019 辽宁省初一期中）辽宁省初一期中）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中项点数(V)、面数(F)、棱数(E) 之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式请你观察下列儿种简单多面体模型，解答下列问题: (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格: 多面体 项点数(V) 面数(F) 棱数(F) 四面体 长方体 正八面体 正十
43、二面体 你发现项点数(V)、面数(F)、棱数(F)之间存在的关系式是_. （2）一个多面体的面数比顶点数小 8，且有 30 条棱，则这多面体的顶点数是 20； （3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有 48个 顶点，每个顶点处都有 3条棱，设该多面体表面三角形的个数为 x 个，八边形的个数为 y个，求 x+y的值 【答案】【答案】(1) 见解析，V+F-E=2；(2) 20；(3)26 【分析】 （1）观察表格可以看出：顶点数+面数-棱数=2，关系式为：V+F-E=2； （2）代入（1）中公式进行计算； （3）根据欧拉公式可得顶点数+面数-棱数=
44、2，然后表示出棱数，进而可得面数 【解析】【解析】解： （1）根据题意得如下图 多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E) 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 4+4-6=2，8+6-12=2，6+8-12=2， 顶点数（V） 、面数（F） 、棱数（E）之间存在的关系式是 V+F-E=2； （2）由（1）可知：V+F-E=2， 一个多面体的面数比顶点数小 8，且有 30条棱，V+V-8-30=2，即 V=20； （3）有 48个顶点，每个顶点处都有 3 条棱，两点确定一条直线；共有 48 3 2=72条棱， 设总面数为 F，48+F
45、-72=2，解得 F=26，x+y=26 【点睛】本题考查了多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用，得出欧拉公式是解题关键 4 （ （2019 山西浑源山西浑源 初一期末）初一期末）阅读材料，解决下面的问题： （1）如图 2，连接正六面体中相邻面的中心，可得到一个柏拉图体 它是正 面体，有 个顶点， 条棱；已知该正多面体的体积与原正方体体积的比为 1:6， 若原正方体的棱长为 3cm，该正多面体的体积为 cm3； （2）如图 3，用 6个棱长为 1 的小正方体搭成 一个几何体小明要再用一些完全相同的小正方体搭一个几何体若要使新搭的几何体恰好能与原几何体 拼成一个无空隙的正六面体， 则小
46、明至少需要 个小正方体， 他所搭几何体的表面积最小是 ；（3） 小华用 4个棱长为 1的小正四面体搭成一个如图 4所示的造型， 可以看做是一个不完整的大四面体 小华发 现此造型中间空缺部分也是一个柏拉图体！请写出该柏拉图体的名称： 【答案】【答案】 （1）八；6；12； 9 2 ； （2）21；50； （3）正八面体 【分析】 （1）根据图 2的特点即可求解；先求出原正方体的体积，根据比值即可求出该正多面体的体 积； （2）根据题意需搭建为 33的正方体，根据几何体的特点即可求解； （3）根据这个柏拉图体有 6个顶 点即可得到为正八面体 【解析】【解析】 （1）如图 2，连接正六面体中相邻面的
47、中心，可得到一个柏拉图体 它是正八面体，有 6 个顶点，12 条棱；已知该正多面体的体积与原正方体体积的比为 1:6，若原正方体 的棱长为 3cm，则原正方体的体积为 33=27该正多面体的体积为 19 27= 62 cm3； （2）如图，新搭的几何体俯视图及俯视图上的小正方体的个位数如下， 则至少需要 1+2 4+3 4=21 个小正方体，他所搭几何体的表面积最小是 2 9+2 8+2 8=50； （3）由图可知这个柏拉图体有 6 个顶点，故为正八面体； 故答案为： （1）八；6；12； 9 2 ； （2）21；50； （3）正八面体 【点睛】此题主要考查立方体的特点及性质，解题的关键是根据题意理解柏拉图体的特点、三视图的应用 题型题型 3 三视图有关的计数问题三视图有关的计数问题 解题技巧解题技巧: 这类题目的解题思路如下：先根据从
