1、类型三特殊三角形存在性问题类型三特殊三角形存在性问题(8年年2考：考：2023.25，2019.28)二阶二阶 综合综合训练训练1.如图，抛物线如图，抛物线yax22xc与与x轴交于轴交于A，B(3，0)两点两点(点点A在点在点B左侧左侧)，与，与y轴交于点轴交于点C，直线，直线yxb经过经过B，C两点，抛物两点，抛物线的顶点记为线的顶点记为D.(1)求抛物线的函数表达式及点求抛物线的函数表达式及点D的坐标；的坐标；第第1题图题图解：解：(1)将将B(3，0)代入代入yxb中，得中，得3b0，解得，解得b3，直线直线BC的函数表达式为的函数表达式为yx3，当当x0时，时，y3，点点C的坐标为的
2、坐标为(0，3).将将B(3，0)，C(0，3)代入代入yax22xc中，中，得得 解得解得 抛物线的函数表达式为抛物线的函数表达式为yx22x3.yx22x3(x1)24，点点D的坐标为的坐标为(1，4)；9230,3,acc 1,3,ac 第第1题图题图第第1题图题图(2)若点若点P是对称轴右侧，且位于第一象限内抛物线上的一个动点，连接是对称轴右侧，且位于第一象限内抛物线上的一个动点，连接PB，PC，当，当PBC的面的面积是积是OBC面积的面积的 时，求点时，求点P的坐标；的坐标；23(2)B(3，0)，C(0，3)，OBOC3.SOBC OBOC 33 ，如图，过点如图，过点P作作PEx
3、轴于点轴于点E，交，交BC于点于点F，121292EF设点设点P的横坐标为的横坐标为n(1n3)，则，则P(n，n22n3)，F(n，n3).PF(n22n3)(n3)n23n.SPBCSPCFSPBF PFOE PFBE PF(OEBE)PFOB (n23n)3 n2 n.又又PBC的面积是的面积是OBC面积的面积的 ，n2 n .解得解得n11(不合题意，舍去不合题意，舍去)，n22.当当n2时，时，y222233.点点P的坐标为的坐标为(2，3)；129232921212121223233292第第1题图题图EF(3)在在(2)的条件下，对称轴上是否存在一点的条件下，对称轴上是否存在一点
4、Q，使得，使得BPQ是直角三角形？是直角三角形？若存在，求出点若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由(3)存在点存在点Q的坐标为的坐标为(1，)或或(1，)或或(1，1)或或(1，2).点点Q在对称轴直线在对称轴直线x1上，上，设点设点Q的坐标为的坐标为(1，m)，由由(2)可知，可知，P(2，3)，B(3，0)，BQ2m24，BP210，PQ2m26m10，若若BPQ是直角三角形，可分三种情况讨论：是直角三角形，可分三种情况讨论：2383第第1题图题图EF当当BPQ90时，时，BP2PQ2BQ2，即即m26m20m24，解得解得m ，Q(1，)；当当PBQ9
5、0时，时，BP2BQ2PQ2，即即10m24m26m10，解得解得m ，Q(1，)；第第1题图题图EF23832383当当PQB90时，时，PQ2BQ2BP2，即即m26m10m2410，解得解得m1或或m2，Q(1，1)或或Q(1，2)；综上所述，点综上所述，点Q的坐标为的坐标为(1，)或或(1，)或或(1，1)或或(1，2).第第1题图题图EF2383解题关键点若若BPQ为直角三角形，可分为直角三角形，可分BPQ90，PBQ90，PQB90三种情况讨论三种情况讨论2.(2023广元广元)如图如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数，在平面直角坐标系中，已知二次函数yax2bx4的图象与的图象
6、与x轴交于点轴交于点A(2，0)，B(4，0)，与，与y轴交轴交于点于点C.(1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；第第2题图题图解：解：(1)将点将点A(2，0)，B(4，0)，代入，代入yax2bx4，得得 解得解得 抛物线的解析式为抛物线的解析式为y x2x4；4240,16440,abab 1,21,ab 12(2)已知已知E为抛物线上一点，为抛物线上一点，F为抛物线对称轴为抛物线对称轴l上一点，以上一点，以B，E，F为顶为顶点的三角形是等腰直角三角形，且点的三角形是等腰直角三角形，且BFE90，求出点，求出点F的坐标；的坐标；第第2题图题图(2)点点A(2，0)，B(4，0)，抛物
7、线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线x 1，当当F在在x轴上方，如解图轴上方，如解图，设设l与与x轴交于点轴交于点G，过点过点E作作EDl于点于点D.242 第第2题题解解图图以以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且为顶点的三角形是等腰直角三角形，且BFE90，EFBF，DFE90BFGGBF，EDFBGF90.DFEGBF，GFDE，GBFD，设设F(1，m)，则，则DEm，DGDFFGGBFG3m，E(1m，3m)，E点在抛物线点在抛物线y x2x4上上3m (1m)2(1m)4解得解得m3(舍去舍去)或或m1，F(1，1)；1212第第2题题解解图图如解图如解图，当，当E点与点与
8、A点重合点点重合点F在在x轴下方时，轴下方时，第第2题解图题解图AB6，ABF是等腰直角三角形，且是等腰直角三角形，且BFE90，GF AB3此时此时F(1，3)；12如解图如解图，当，当E点与点与A点重合，点重合，点点F在在x轴上方时，轴上方时，同理可得点同理可得点F(1，3).第第2题解图题解图当当F在在x轴下方，轴下方，如解图如解图，同理可得，同理可得DFEGBF，GFDE，GBFD.设设F(1，n)，则，则E(1n，n3)，把把E(1n，n3)代入代入y x2x4，得得n3 (1n)2(1n)4，解得解得n3(舍去舍去)或或n5，F(1，5).1212第第2题解图题解图综上所述，点综上
9、所述，点F的坐标为的坐标为(1，1)或或(1，3)或或F(1，3)或或(1，5)；(3)如图如图，P为第一象限内抛物线上一点，连接为第一象限内抛物线上一点，连接AP交交y轴于点轴于点M，连接，连接BP并延长交并延长交y轴于点轴于点N，在点，在点P运动过程中，运动过程中，OM ON是否为定值？若是，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由求出这个定值；若不是，请说明理由.12第第2题图题图(3)OM ON是定值是定值6.理由如下：理由如下：设设P(s，t)，直线，直线AP的解析式为的解析式为ydxf，BP的解析式为的解析式为ygxh，点点A(2，0)，B(4，0)，P(s，t)，解得解
10、得 1220,dfsdft 40,ghsght ,22,2tdstfs ,44,4tgsths 直线直线AP的解析式为的解析式为y x ，直线直线BP的解析式为的解析式为y x ，对于对于y x ，当，当x0时，时，y ，即，即M ，对于对于y x ，当，当x0时，时，y ，即，即N ，P(s，t)在抛物线上，则在抛物线上，则t s2s4 (s4)(s2)，OM ON 6，OM ON为定值为定值6.2ts 22ts 4ts 44ts 2ts 22ts 4ts 44ts 22ts 2(0,)2ts 44ts 4(0,)4ts 1212121222ts 44ts 21228tss 6(4)(2)(
11、4)(2)ssss 12第第2题图题图3.(2019成都成都B卷卷28题题12分分)如图，抛物线如图，抛物线yax2bxc经过点经过点A(2，5)，与与x轴相交于轴相交于B(1，0)，C(3，0)两点两点(1)求抛物线的函数表达式；求抛物线的函数表达式；第第3题图题图解：解：(1)由题意得由题意得 解得解得 抛物线的函数表达式为抛物线的函数表达式为yx22x3；425,0,930,abcabcabc 1,2,3,abc (2)点点D在抛物线的对称轴上，且位于在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将轴的上方，将BCD沿直线沿直线BD翻翻折得到折得到BCD，若点，若点C恰好落在抛物线的对称轴上，求
12、点恰好落在抛物线的对称轴上，求点C和点和点D的的坐标；坐标；第第3题图题图(2)抛物线与抛物线与x轴的交点为轴的交点为B(1，0)，C(3，0)，BC4，抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线x1.如图，设抛物线的对称轴与如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点轴交于点H，则点则点H的坐标为的坐标为(1，0)，BH2，H由翻折得由翻折得BCBC4，在在RtBHC中，由勾股定理得，中，由勾股定理得，CH 2 ，点点C的坐标为的坐标为(1，2 )，tan CBH ，CBH60.由翻折得由翻折得DBH CBH30，在在RtBHD中，中，DHBHtan DBH2tan 30 ，点点D的坐标为的坐标为(1
13、，)；3C HBH322BCBH 32242 2 32122 332 33第第3题图题图H(3)设设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，在抛物线的对称轴上，当当CPQ为等边三角形时，求直线为等边三角形时，求直线BP的函数表达式的函数表达式(3)如解图如解图，取，取(2)中的点中的点C，D，连接，连接CC，BCBC，CBC60，CCB为等边三角形为等边三角形分类讨论如下：分类讨论如下：当点当点P在在x轴上方时，点轴上方时，点Q在在x轴上方，轴上方，连接连接BQ，CP，第第3题题解解图图第第3题图题图第第3题解图题解图PCQ，CCB为等边三角
14、形，为等边三角形，CQCP，BCCC，PCQCCB60，BCQCCP，BCQCCP，BQCP.点点Q在抛物线的对称轴上，在抛物线的对称轴上，BQCQ，CPCQCP.第第3题解图题解图又又BCBC，BP垂直平分垂直平分CC，由翻折可知由翻折可知BD垂直平分垂直平分CC，点点D在直线在直线BP上上设直线设直线BP的函数表达式为的函数表达式为ykxb(k0)，则则 解得解得 直线直线BP的函数表达式为的函数表达式为y x ；33330,2 3,3kbkb 3,33,3kb 如解图如解图，当点，当点P在在x轴下方时，点轴下方时，点Q在在x轴下方，轴下方，QCP，CCB为等边三角形，为等边三角形，CPC
15、Q，BCCC，CCBQCPCCB60，BCPCCQ，BCPCCQ，CBPCCQ，BCCC，CHBC，CCQ CCB30，CBP30，12第第3题解图题解图设设BP与与y轴相交于点轴相交于点E，在在RtBOE中，中，OEOBtan CBPOBtan 301 ，点点E的坐标为的坐标为(0，).设直线设直线BP的函数表达式为的函数表达式为ykxb(k0)，则则 解得解得 直线直线BP的函数表达式为的函数表达式为y x .综上所述，直线综上所述，直线BP的函数表达式为的函数表达式为y x 或或y x .333333333333330,3,3kbb 3,33,3kb 3333第第3题解图题解图解题关键点
16、分点分点P，Q在在x轴上方和轴上方和x轴下方两种情况求解轴下方两种情况求解4.(2023成都成都B卷卷25题题10分分)如图，在平面直角坐标系如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线中，已知抛物线yax2c经过点经过点P(4，3)，与，与y轴交于点轴交于点A(0，1)，直线，直线ykx(k0)与抛与抛物线交于物线交于B，C两点两点(1)求抛物线的函数表达式；求抛物线的函数表达式；第第4题图题图备用图备用图解：解：(1)抛物线抛物线yax2c经过点经过点P(4，3)且与且与y轴交于点轴交于点A(0，1)，将将P(4，3)，A(0，1)代入，代入，解得解得 抛物线的函数表达式为抛物线的函数表达式
17、为y x21；163,1,acc 1,41,ac 14(2)若若ABP是以是以AB为腰的等腰三角形，求点为腰的等腰三角形，求点B的坐标；的坐标；第第4题图题图备用图备用图(2)设设B(t，t21)，根据题意，根据题意，ABP是以是以AB为腰的等腰三角形，有两种情况：为腰的等腰三角形，有两种情况：当当ABAP时，点时，点B和点和点P关于关于y轴对称，轴对称，P(4，3)，B(4，3)；当当ABBP时，则时，则AB2BP2，(t0)2(t211)2(t4)2(t213)2，整理得整理得t24t160，解得，解得t122 ，t222 .14514514当当t22 时，时，t21 (22 )2152
18、，B(22 ，52 ).当当t22 时，时，t21 (22 )2152 ，B(22 ，52 )，综上所述，满足题意的点综上所述，满足题意的点B的坐标为的坐标为(4，3)或或(22 ，52 )或或(22 ，52 )；5514514514555145555555第第4题图题图备用图备用图解题关键点ABP是以是以AB为腰的等腰三角形，有为腰的等腰三角形，有两种情况：两种情况：ABAP，ABBP.(3)过点过点M(0，m)作作y轴的垂线，交直线轴的垂线，交直线AB于点于点D，交，交直线直线AC于点于点E.试探究：试探究：是否存在常数是否存在常数m，使得，使得ODOE始终成立？若存在，求出始终成立？若存
19、在，求出m的值；若不存的值；若不存在，请说明理由在，请说明理由第第4题图题图备用图备用图(3)存在常数存在常数m，使得，使得ODOE.理由如下：理由如下：设抛物线设抛物线y x21与直线与直线ykx(k0)的的交点坐标为交点坐标为B(a，ka)，C(b，kb)，由由y x21kx得得x24kx40，ab4k，ab4，1414设直线设直线AB的表达式为的表达式为ypxq，则则 解得解得 直线直线AB的表达式为的表达式为y x1，令令ym，由，由y x1m得得x ，D(，m).同理可得直线同理可得直线AC的表达式为的表达式为y x1，则则E(，m)，过点过点E作作EQx轴于点轴于点Q，过点，过点D
20、作作DNx轴于点轴于点N，,1,apqkaq 1,1,kapaq 1kbb(1)1a mka 1kaa 1kaa(1)1a mka (1)1b mkb 第第4题题解解图图则则EQOOND90，EQNDm，QO ，ON ，若若ODOE，则，则EOD90，QEOQOEDONQOE90，QEODON，EQOOND，则则 ，(1)1a mka (1)1b mkb EQONQOND(1)1ma mka (1)1b mkbm 第第4题题解解图图整理得整理得m2(ka1)(kb1)ab(m1)2，即即m2abk2k(ab)1ab(m1)2，将将ab4k，ab4代入，得代入，得m2(4k24k21)4(m1)2，即即m24(m1)2，则，则m2(m1)或或m2(m1)，解得解得m12，m2 .综上所述，存在常数综上所述，存在常数m使得使得ODOE始终成立，始终成立，m的值为的值为2或或 .2323第第4题题解解图图
