1、一阶一阶 认识模型认识模型模 型 分 析模 型 分 析1.模型特点：有一组对角互补，即模型特点：有一组对角互补，即ABCADC180；2.构图方法及结论：构图方法及结论：方法方法1：作垂线：作垂线如图如图，过点，过点D分别作分别作DEBC于点于点E，DFBA交交BA的延长线于点的延长线于点F.【结论】【结论】(1)ADFCDE；(2)当当DADC时，时，ADFCDE.图图方法方法2：作等角：作等角如图如图，过点，过点D作作CDEADB，DE交交BC的延长线于点的延长线于点E.【结论】【结论】(1)ABDCED；(2)当当DADC时，时，ABDCED，BDE为等腰三角形为等腰三角形图图例例1如图
2、，在如图，在RtABC中，中，ABC90，AB6，BC8，在，在RtMPN中，中，MPN90，点，点P在在AC上，上，PM交交AB于点于点E，PN交交BC于于点点F，当，当PE2PF时，求时，求AP的长的长例例1题图题图解：解：如图，过点如图，过点P分别作分别作PQAB于点于点Q，PRBC于于点点R.QRPQBQBRBRP90，四边形四边形PQBR是矩形，是矩形，QPR90MPN，QPEEPR90，RPFEPR90，QR例例1题图题图QPERPF，QPERPF，2，PQ2PR2BQ.PQBC，AQPABC.AB6，BC8，AC 10，AQQPAPABBCAC345.设设PQ4x，则，则AQ3x
3、，AP5x，BQ2x，2x3x6，x ，AP5x6.PQPEPRPF 22ABBC 65例例2 如图，在等边如图，在等边ABC中，中，D为为AC的中点的中点，点，点E在在BC的延长线上，点的延长线上，点F在在AB上，上，EDF120.求证：求证：DEDF.一题多解法一题多解法例例2题图题图解法一：解法一：解法一：解法一：如图，过点如图，过点D分别作分别作DQAB于点于点Q，DPBE于点于点P，QPDQFDPC90.ABC是等边三角形，是等边三角形，ABACB60，QDP360DQBDPBB120.一 题 多 解一 题 多 解例例2题图题图QP又又EDF120，QDFEDP.D为为AC的中点的中
4、点，ADCD.DQADsin 60，DPDCsin 60，DQDP.在在DQF和和DPE中，中，DQFDPE(ASA)，DEDF.,QDFPDEDQDPDQFDPE 解法二：解法二：解法二：解法二：如解图如解图，连接，连接BD，以，以DE为边作为边作EDGBDF，点，点G在在BE的延长线上的延长线上EDGBDF，BDGFDE120.ABC是等边三角形，是等边三角形，D为为AC的中点，的中点，ABDDBC30，DGB180BDGDBC1801203030，DGBDBC，DBDG，DBFDGE，DEDF.例例2题题解解图图二阶二阶 应用模型应用模型1.如图，如图，ABC为等边三角形，为等边三角形，
5、D为为BC边上一点，且边上一点，且CD3BD，E，F分别为分别为AB，AC上的点，且上的点，且EDF120，则，则 的值为的值为()A.B.C.D.DEDF14133433第第1题图题图B2.如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，中，E为为AB上一点，上一点，F为对角线为对角线BD上一点，上一点，EFCF，若，若AD7，BE1，则，则EF的长为的长为_第第2题图题图53.如图，如图，ABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，ACB90，D是斜边是斜边AB的中点，的中点，E是直线是直线AC上一点，连接上一点，连接DE，DFDE，交直线，交直线BC于点于点F，连接，连接EF.(1)如图如图，当点
6、，当点E在线段在线段AC上时，猜想并证明线段上时，猜想并证明线段EA，EC，EF之间的之间的数量关系；数量关系；第第3题图题图解：解：(1)猜想：猜想：AE2EC2EF2.证明：如图，连接证明：如图，连接CD.ABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，ACB90，D是斜边是斜边AB的中点，的中点，AB45，CDAB，ADCDDB，第第3题图题图DCBB45，ADCB，即，即ADCF.DFDE，ADEEDC90，CDFEDC90，ADECDF，在在AED与与CFD中，中，AEDCFD(ASA)，AECF，在在RtEFC中，中，CF2CE2EF2，AE2EC2EF2,ADCFADCDADECDF
7、(2)如图如图，当点，当点E在在CA的延长线上时，的延长线上时，(1)中的猜想是否成立，若成立，中的猜想是否成立，若成立，请完成证明，若不成立，请写出你的结论并说明理由；请完成证明，若不成立，请写出你的结论并说明理由；第第3题图题图(2)仍成立仍成立证明：如图，连接证明：如图，连接CD，在等腰在等腰RtABC中，中，ACB90，CABB45.CD为为AB的中线，的中线，CDAB，ADCDBD，ACDBCD45，EAD180CAD135，FCD180BCD135，第第3题图题图EADFCD.DFDE，ADEADFCDFADF90，ADECDF，在在AED与与CFD中，中，AEDCFD(ASA)，
8、AECF，在在RtEFC中，中，CF2CE2EF2，AE2EC2EF2；,EADFCDADCDADECDF (3)点点E在直线在直线AC上移动，当上移动，当EA EC时，求时，求ADE的度数的度数.3(3)由由(1)可知可知AE2EC2EF2，AE EC，(EC)2EC2EF2，EF2EC.ECF90，FEC60.AEDCFD，EDFD.EDF90，FED45，当当E在线段在线段AC上时，如解图上时，如解图AEF180FEC18060120，第第3题解题解图图33AEDAEFFED1204575.CAB45，ADE180457560；当当E在在AC延长线上时，如解图延长线上时，如解图，FEC60，FED45，AEDFECFED604515.CAB45，ADE1801545120.综上可知综上可知ADE的度数为的度数为60或或120.第第3题解题解图图解题关键点E在直线在直线AC上，需分点上，需分点E在线段在线段AC上和点上和点E在线段在线段AC的延长线上两种情况讨论的延长线上两种情况讨论请完成精练本习题请完成精练本习题
