1、课件园 对数与对数运算（第一课时）教学设计对数与对数运算（第一课时）教学设计 山西省长治市第十六中学 申秀兰 【教学教学内容内容解解析析】 本节课是高中数学人教 A 版必修一2.2.1对数与对数运算第一课时。 对数的概念对高一学生来说比较抽象，学起来较困难。本节课从对数产生的背景 入手，用图片形式向学生展示对数发明的原因。接着，从上节课两个实际问题开 始，逆向提出两个问题让学生解答，学生感受到求解的困难，从而体会到引入对 数的必要性。在给出定义后，通过以下几种方式引导学生逐步理解其含义：（1） 让学生进行具体的对数表述， 并通过完成练习归纳出指数与对数互化的步骤， 发 现出指数与对数的等价关系
2、，初步理解定义；采用填表、连线的方式，进一步体 会指数与对数的等价关系。（2）应用定义解决对数求值问题，并总结出求值方 法，使学生的知识技能化。（3)通过完成计算，让学生关注两个重要对数，得出 三个结论；通过指数与对数的等价关系，使学生获得对数式中 a、x、N 的限制 条件，达到精致定义，深读概念的目的。在整个教学过程中渗透类比、转化、归 纳、方程的数学思想方法，培养抽象概括的能力。 【教学目标【教学目标设置设置】 1.让学生了解对数发明的历史，理解对数定义，准确应用符号。 2.学生能熟练进行指数式与对数式的互化，并根据定义求对数的值。 3.学生能体会到转化、类比、归纳、方程的数学思想方法，并
3、能提高其抽象 概括能力。 【学生【学生学学情分析】情分析】 学生在必修一2.1 学习了指数与指数幂的运算和指数函数，掌握了实数指 数幂的相关运算，能理解指数函数的概念、图像和性质。但学生整体基础差，数 学思维能力较低，学习主动性不够，因此教师要将所学内容进行分解，设置比较 合适的台阶，让学生跳一跳够得着，体会完成一个小任务的成就感，从而提高学 习兴趣，提高教学效率。 课件园 【教学【教学策略分析策略分析】 教学内容问题化。本节内容化为七个问题五个练习，促进学生独立思考，再 通过合作探究、展示交流等形式，使学生理解概念，掌握方法。在例题分析时紧 扣定义、总结方法以达到知识技能化的目的。 【教学【
4、教学过程过程】 一、一、对数产生的历史背景对数产生的历史背景 （如图 1），16 世纪末人们热衷于航 海，而测量船只在海上的位置等等，需要 大数字的计算。同时代，地心说向日心说 转变，天文学家计算行星的轨迹与运动规 律也面临着大数的乘除开方，繁琐的计算 令天文学家苦不堪言，因此，尽可能地简 化计算是时代的需求。在这个时代背景下，英国数学家纳皮尔（如图 2）发明了 简化计算的专用工具对数，实现了化幂 为乘法，乘法为加法，除法为减法的降级 运算。那么，什么是对数？它长什么模样 呢？ 18 世纪，瑞士数学家欧拉发现： “对 数源于指数”。 欧拉为什么会这样说？让 我们从上节课的两个例题出发，开始我们
5、 的探索吧 设计意图：设计意图：使学生了解对数产生的背景，体会引入对数的必要性，激发学生 的学习兴趣。 二、二、实例实例分析分析，引出对数概念引出对数概念 （1）有一种纸，它的厚度是 1 毫米，对折 1 次厚度是 2 毫米，对折 2 次是 4 毫米，对折 3 次是 8 毫米，对折 x 次后纸的厚度为 y=2x (毫米)。 那么，对折多少次厚度是 16 毫米、32 毫米、64 毫米，大概对折多少次 后可达到珠穆朗玛峰的高度（8848 米）？ （2）2.1.2 例 8，截止到 1999 年，我国人口约 13 亿，如果今后能将人口 年平均增长率控制在 1%， 经过 x 年后， 我国人口总数最多为 y
6、=131.01x（亿） 。 图图 1 图图 2 课件园 那么，我国人口总数达到 18 亿时，需经过多少年? 问题问题 1 1 观察上面两例在求值时有何共同特征？试着用你的语言表达一下。 思考思考 如何求指数 x 的值？必须依次代入 1，2，3逐个试验吗？请同学 们计算x的值？ 思考思考 能否像加减运算那样，采取“移项”的方法，用一个式子直接表达 x 呢？ 预设的活动：学生先独立完成，然后教师引领学生交流，并总结答案是肯定 的，而且很容易就可得到结果：(1) x 23 次 (2) x 33 年。之后点题这 就是今天研究的新问题：对数与对数运算。 设计意图：设计意图：实例 1 设置悬念，学生会猜测
7、一个很大的数，当教师告诉他们只 需对折 23 次就可达到珠穆朗玛峰的高度时，学生心理会形成强烈的反差，激起 他们的求知欲。而且，通过两个实例的逆向提问，学生想办法计算x值时，感受 到困难， 体会到引入对数的必要性， 同时明确了对数用来解决 “已知底数和幂值， 求指数”问题。为定义的给出做出铺垫，培养了学生的归纳能力。 接下来，请同学们打开课本 p62，阅读例 1 之前的内容，然后合起课本默写 定义，之后完成下列问题和练习。 三、三、习得习得定义定义，在应用中初步理解，在应用中初步理解概念概念 问题问题 2 2 什么是对数？如何读？如何写？ 练习练习 1 1 根据定义，写出以上两个实例中 x 的
8、值。 练习练习 2 2 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1） 62554 （2） 73. 5 3 1 m （3）416log 2 1 （4） 10 log 100m 思考思考 解决这类问题的依据是什么？ 预设的活动：学生独立思考后，得出依据是： “对数的定义”，并进行转化， 多媒体展示结果。 思考思考 求解这类问题的步骤是什么？ 预设的活动：教师引领学生交流， 得出指数与对数互化“三步曲”：1.定形式 2.找底数 3.写结果 课件园 设计意图：设计意图：引导学生准确认识对数概念，及时应用举例，使抽象概念得到具 体实例的支持，帮助学生理解定义；紧扣对数的定义，进行指数与对数互化，题
9、 目完成后总结出指数与对数互化的步骤，同时渗透转化的数学思想。 问题问题 3 3 根据定义，观察指数式与与对数式，发现对数式可用指数式“反过来”表 述，那么，指数与对数有什么关系？ 思考思考 类似的运算学过哪些？ 设计意图：设计意图：通过观察定义和练习 2，学生发现指数与对数等价（互逆）。与 熟悉的加减乘除类比，使学生更好地理解这种关系，同时完善已有的逆运算知识 体系。 问题问题 4 4 指数与对数式中指数与对数式中 a 、x、N 名称和位置有什么变化？名称和位置有什么变化？ （1） 请你思考并完成下表： ax=N x=logaN a x N 相同图形连线，并写出各图形所代表的字母名称 = =
10、loglog = = 式子 名称 axNxNa a xNxNa 互逆互逆 互逆互逆 logaxN x aN 互逆互逆 等价等价 课件园 设计意图：设计意图：充分发挥学生的主动性，熟悉各字母的名称和位置，通过观察指 数与对数中的变与不变，发现指数与对数是同一关系的不同形式，进一步理解指 数与对数的等价关系。 四四、应用、应用定义定义，使使知识技能化知识技能化 练习练习 3 3 求下列各式中 x 的值： （1） 3 2 log64x (2)log 273 x 1 2 3 log 8x 思考思考 解决这类问题的依据是什么？ 预设的活动：学生独立思考，得出依据是“对数的定义”，并进行求值，多 媒体展示
11、结果。 思考思考 解决这类问题的方法是什么？ 预设的活动：学生先独立思考，然后教师引领学生交流后，得出求解这类题 的方法是“先将对数式化为指数式，再进行指数运算。 设计意图：设计意图：进一步熟悉指数与对数的互化，加深对式子中字母意义的理 解，总结求解的方法，将知识技能化。同时体会化归、方程思想的应用，明确对 数式中 a，x，N 知任两个，可求另一个，使新旧知识发生联系。 五五、精致定义，深读概念、精致定义，深读概念 问题问题 5 5 类比指数，有哪些特殊的对数形式？根据你的阅读回答，并类比练习 3 完成下面计算： lg1 ln1 1 2 log 1 lg10 lne 0.3 log0.3 lg
12、( 1) ln( 1)= ln0 lg0 思考思考 你有什么发现？ 预设活动：教师引导学生合作交流，并得出两个重要对数，三个结论。 两两个个重要对数重要对数 常用对数 10 logNlg N； 自然对数 logeNlnN；（e=2.71828） 课件园 教师教师补充下面的知识以拓补充下面的知识以拓展学生的视野展学生的视野 日常生活中， 我们遇到较大的数字时， 通常采用科学计数法表示为a10n 的形式，它是以十进制数10为底数的指数式，反应到对数中，底数为10的就 很常用的，因此叫常用对数。 以 e为底数的对数主要应用在科技领域， 比如充电器电容和电压的关系、 物体的自然冷却关系、细胞的分裂繁殖
13、等。在研究中，用e表述规律是最自然 的，可减少无理数表述不清的烦恼。 三个结论三个结论 负数和零没有对数； 1 的对数是 0(log 10 a )； 底数的对数是 1(log1 aa )。 设设计意图：计意图： 认识两种重要对数， 通过计算发现对数的三个结论， 并进行证明。 进一步巩固完善对数定义”。 练习练习 4 4 2 loglg1x ln log 50 x 设计意图设计意图: : 熟悉两个重要对数，三个结论，使学生对定义的理解更深刻。 问题问题 6 6 由指数与对数的等价关系，写出 a，x，N 的取值范围？你有什么发现？ 预设的活动：学生思考后，根据指数与对数的等价（互逆）关系，得出对数
14、 式中 a，x，N 的范围。 练习练习 5 5 求使式子 log3x（1x） 有意义的 x 的取值范围。 设计意图设计意图：由指数与对数的等价（互逆）关系，获得对数式中 a，x，N 的 限制条件，使学生对定义的把握得更加准确。 六、六、梳理总结，深化提高梳理总结，深化提高 问题问题 7 7 本节课本节课你有什么收获？请你从知识你有什么收获？请你从知识、技能、技能、思想方法思想方法等方面总结。等方面总结。 1知识：对数的定义 ：写法、读法、符号 指数与对数的关系：互逆（等价）。 两个重要对数、三个结论 2技能：指数与对数互化“三步曲”：定形式、找底数、写结果。 对数式求值： 先化为指数式，再进行
15、指数运算。 3思想方法：转化、归纳、类比、方程 课件园 教师补充下面的知识以拓展学生的视野：教师补充下面的知识以拓展学生的视野： “对数对数”就在我们身边就在我们身边 螺旋生长-自然对数震级划分-常用对数PH测定-常用对数音乐感知-其它对数 “对数对数”就在我们身边就在我们身边 螺旋生长-自然对数震级划分-常用对数PH测定-常用对数音乐感知-其它对数 设计意图：设计意图：使学生体会对数从生活中来，又回归至生活中去。前后呼应， 感受数学作用。 七七、课后课后作业作业： 1.课本 p74 A 组 1. 2. 2.用对数的定义证明： logaN aN log n aa n（nR 3.寻找身边的对数。 4.想一想， 指数运算有哪些性质？那么对数运算呢？试着写一写你的发现。 就在的利器。现在，它就在的利器。现在，它 活跃各个科学领域，你若留心，它就在我们的身边活跃各个科学领域，你若留心，它就在我们的身边 对数的出现，本为简化计算，却成为表述自然规律的利对数的出现，本为简化计算，却成为表述自然规律的利 器器. . 现在，它活跃在各个科学领域，你若留心，它就在我们现在，它活跃在各个科学领域，你若留心，它就在我们 的身边的身边 结束语结束语结束语结束语结束语结束语
