1、 考点精讲考点精讲1 重难点分层练重难点分层练2 内蒙古中考真题及拓展内蒙古中考真题及拓展3比例线段及性质比例线段比例的性质黄金分割平行线分段成比例相似三角形的性质及判定概念性质判定方法相似多边形及其性质概念性质图形的位似概念性质相似三角形考点精讲考点精讲 【对接教材】【对接教材】北师：九上第四章北师：九上第四章P75P123；人教：九下第二十七章人教：九下第二十七章P23P59.比例线段及性质比例线段及性质1.比例线段比例线段概念概念在四条线段在四条线段a、b、c、d中，如果其中两条线段的比中，如果其中两条线段的比_另外两条线段的比，另外两条线段的比，即即 ，那么这四条线段，那么这四条线段a
2、、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段叫做成比例线段，简称比例线段abcd1考点考点等于等于2.比例的性质比例的性质基本基本性质性质 ad_(abcd0)合比合比性质性质如果如果 ，那么，那么 _(b，d0)等比等比性质性质 (b，d，n0)_(bdn0)abcdabcdabb abcdmnacmbdmbccdd ab3.黄金分割黄金分割图示图示图1概念概念如图如图1，点，点C把线段把线段AB分成两条线段分成两条线段AC和和BC(ACBC)，且，且 ，那么线段那么线段AB被点被点C黄金分割，点黄金分割，点C叫做线段叫做线段AB的黄金分割点，的黄金分割点，AC与与AB的比叫黄金比，即的比叫黄金
3、比，即 0.618，0.382【满分技法】一条线段上有两个黄金分割点【满分技法】一条线段上有两个黄金分割点ACBCABAC 512ACAB BCAB4.平平行线分线段成比例行线分线段成比例图示图示 图2 图3 图4基本基本事实事实两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例，如图两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例，如图2，当，当l3l4l5时，时，有有 ，等等推论推论平行于三角形一边的直线截其他两边平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线或两边的延长线)所得的对应线段成比所得的对应线段成比例如图例如图3，在，在ADE和和ABC中，中，DEBC，；如；如图图4,在在ADE和
4、和ABC中中,DEBC，ABDEBCEF ABDEACDF ADAEDBEC ADAEABAC ADAEABAC 针 对 训 练针 对 训 练1.如果如果2x3y(且且xy0)，则下列比例式中正确的是，则下列比例式中正确的是()A.B.C.D.23xy 23xy 32xy 23xy C2.如果如果 (bd0)，则，则 _abcd1222bdac 43.一个偌大的舞台，当主持人站在黄金分割点处时，不仅看起来美观，而且音响效一个偌大的舞台，当主持人站在黄金分割点处时，不仅看起来美观，而且音响效果也非常好，若舞台的长度为果也非常好，若舞台的长度为10米，那么主持人到较近的一端应为米，那么主持人到较近
5、的一端应为_米米(精确到精确到0.1米米)3.84.如图，直线如图，直线abc，直线，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点与这三条平行线分别交于点A，B，C和点和点D，E，F.若若AB BC1 2，DE3，则，则EF的长为的长为 _第4题图65.如图，已知如图，已知D、E分别为分别为AB、AC上的两点，且上的两点，且DEBC，AE2CE，AB6，则，则AD的长为的长为_6.如图，点如图，点D、E分别在分别在ABC的两边的两边BA、CA的延长线上，的延长线上，DEBC，已知，已知AE3，AC6，AD2，则，则BD_第5题图第6题图46相似三角形的性质与判定相似三角形的性质与判定2考点考点概念概
6、念如果两个三角形的两角对应相等，或三条边对应成比例，那么这两个三角形如果两个三角形的两角对应相等，或三条边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形叫做相似三角形性质性质1.相似三角形的对应角相似三角形的对应角_，对应边，对应边_；2.相似三角形对应线段相似三角形对应线段(高、中线、角平分线高、中线、角平分线)成比例，且等于成比例，且等于_；3.相似三角形的周长比等于相似三角形的周长比等于_，面积比等于，面积比等于_判定判定方法方法1.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；似；2.三边三边_的两个三角
7、形相似；的两个三角形相似；3.两边成比例且夹角两边成比例且夹角_的两个三角形相似；的两个三角形相似；4._相等的两个三角形相似相等的两个三角形相似相等相等成比例成比例相似比相似比相似比相似比相似比的平方相似比的平方成比例成比例相等相等两角两角【满分技法】相似三角形的判定思路：【满分技法】相似三角形的判定思路：(1)有平行截线有平行截线用平行线的性质，找等角用平行线的性质，找等角(2)有一对等角，找有一对等角，找(3)有两边对应成比例，找有两边对应成比例，找另一对等角另一对等角该角的两边对应成比例该角的两边对应成比例夹角相等夹角相等第三边也对应成比例第三边也对应成比例一对直角一对直角针 对 训
8、练针 对 训 练7.如图，在如图，在ABC中，中，DEBC，AE EC2 3，则，则DE BC_，ADE的的周长与周长与ABC的周长之比为的周长之比为_，ADE的面积与的面积与ABC的面积之比为的面积之比为_第7题图2 52 54 258.如图，在如图，在ABC和和ADE中，中，12，有以下四个条件，有以下四个条件，BD，CE，要使，要使ABCADE，只需要添加一个条，只需要添加一个条件即可，这个条件可能是件即可，这个条件可能是_(填正确条件的序号填正确条件的序号)第8题图ADABAEAC ACBCAEDE 相似多边形及其性质相似多边形及其性质3考点考点概念概念两个边数相同的多边形，如果它们的
9、角分别两个边数相同的多边形，如果它们的角分别_，边，边_，那么这两个，那么这两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做_性质性质1.相似多边形对应角相似多边形对应角_，对应边，对应边_；2.相似多边形的周长比等于相似多边形的周长比等于_，面积比等于，面积比等于_相等相等成比例成比例相似比相似比相等相等成比例成比例相似比相似比相似比的平方相似比的平方 针 对 训 练针 对 训 练第9题图9.如图，矩形如图，矩形ABCD矩形矩形DEFC，且面积比为，且面积比为4 1，则，则AE ED的值为的值为_3 1图形的位似图形的位似4考点考点概念概念如图
10、，两个多边形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平如图，两个多边形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，其中对应点连线的交点行，像这样的两个图形叫做位似图形，其中对应点连线的交点O叫做位似中心叫做位似中心性质性质1.两个图形是位似图形，具有相似图形的一切性质；两个图形是位似图形，具有相似图形的一切性质；2.对应点的连线都经过同一点；对应点的连线都经过同一点；3.对应边互相平行或在同一条直线上；对应边互相平行或在同一条直线上；4.位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于位似比位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于位似
11、比【满分技法】位似图形与相似图形的区别：位似图形一定是相似图形，相似图形不【满分技法】位似图形与相似图形的区别：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形一定是位似图形.针 对 训 练针 对 训 练第10题图10.如图，如图，ABC与与DEF是位似图形，位似比为是位似图形，位似比为2 3，若，若AB4，则，则DE_.611.如图，已知矩形如图，已知矩形OABC与矩形与矩形ODEF是位似图形，是位似图形，P是位似中心，若点是位似中心，若点B的坐标为的坐标为(2，4)，点，点E的坐标为的坐标为(1，2)，则点，则点P的坐标为的坐标为_.第11题图(2，0)第1题图证明：平行于三角形一边的直线
12、截其他两边证明：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线或两边的延长线)，所得的对应线段成，所得的对应线段成比例比例1.已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，DEBC，且，且DE分别交分别交AB、AC于点于点D、E.求证：求证：.【自主作答】【自主作答】ADAEDEABACBC 证明：如解图，过点证明：如解图，过点E作作EFAB，交，交BC于点于点F.FDEBC，EFAB，四边形四边形DBFE是平行四边形，是平行四边形，回归教材回归教材 ，DEBF，.ADAEABAC BFAEBCAC DEAEBCAC ADAEDEABACBC 第1题图F证明：三边成比例的两个三角形相似证明：三边
13、成比例的两个三角形相似2.已知：如图，在已知：如图，在ABC和和ABC中，中，.求证：求证：ABCABC.【自主作答】【自主作答】第2题图ABBCACA BB CA C 证明：如解图，在线段证明：如解图，在线段AB(或它的延长线或它的延长线)上截取上截取ADAB，过点，过点D作作DEBC，交交AC于点于点E，DEADEABC，又又 ，ADAB，ADDEAEABBCAC ABBCACABBCAC ，DEBC，AEAC，ADEABC，ABCABC.DEBCBCBC AEACACAC 第2题图DE重难点分层练重难点分层练模型一模型一A字型字型模 型 分 析模 型 分 析正正A字型字型斜斜A字型字型模
14、型特点模型特点有一个公共角有一个公共角(A)模型展示模型展示DEBCDE与与BC不平行不平行正正A字型字型斜斜A字型字型解题解题思路思路(1)由由DEBC，直接得到两个，直接得到两个三角形相似；三角形相似；(2)寻找公共角的对应边成比寻找公共角的对应边成比例，如条件例，如条件(1)寻找另一组对应角相等，如条寻找另一组对应角相等，如条件件ADEC或或AEDB；(2)寻找公共角的对应边成比例，寻找公共角的对应边成比例，如条件如条件结论结论ADEABCADEACBADAEABAC ADAEACAB 第1题图模 型 应 用模 型 应 用1.如图，在如图，在ABC中，中，B45，点，点D为为BC边上的一
15、点，边上的一点，ADAB，过点过点D作作DEAD，交，交AC于点于点E，若，若AB4，DE1，则，则ABC的面积的面积为为_323第2题图2.如图，在如图，在ABC中，中，AB5，D，E分别是边分别是边AC和和AB上的点，上的点，ADBC .(1)若若AEDC，则，则DE的长为的长为_；(2)若若AEDB，则，则DEAC的值为的值为_25252252模型二模型二8字型字型模 型 分 析模 型 分 析正正8字型字型斜斜8字型字型模型模型特点特点有一组等角有一组等角(对顶角对顶角AOBCOD)模型模型展示展示ABCDAB与与CD不平行不平行正正8字型字型斜斜8字型字型解题解题思路思路(1)由由AB
16、CD，直接得到两个，直接得到两个三角形相似；三角形相似；(2)寻找对顶角的对应边成比例，寻找对顶角的对应边成比例，如条件如条件(1)寻找另一组对应角相等，如寻找另一组对应角相等，如条件条件AC或或BD；(2)寻找公共角的对应边成比例，寻找公共角的对应边成比例，如条件如条件结论结论AOBDOCAOBCODOAOBODOC OAOBOCOD 模 型 应 用模 型 应 用第3题图3.如图，线段如图，线段AE、BD交于点交于点C，连接，连接AB、DE，若，若AC9，CE4，BCCD6，DE3，则，则AB的长为的长为_924.如图，在如图，在 ABCD中，点中，点E是边是边AD上一点，且上一点，且AD3
17、ED，EC交对角交对角线线BD于点于点F，则则 等于等于_EFFC第4题图135.(2023阜新阜新)如图，已知每个小方格的边长均为如图，已知每个小方格的边长均为1，则，则ABC与与CDE的周长比为的周长比为_第5题图2 1相似三角形的相关计算相似三角形的相关计算(包头包头5考，呼和浩特考，呼和浩特7考，赤峰考，赤峰5考考)内蒙古中考真题及拓展内蒙古中考真题及拓展命题点命题点1.(2022赤峰赤峰12题题3分分)如图，如图，D、E分别是分别是ABC边边AB、AC上的点，上的点，ADEACB，若，若AD2，AB6，AC4，则，则AE的长是的长是()A.1 B.2 C.3 D.4第1题图C第2题图
18、2.(2023包头包头17题题3分分)如图，在如图，在RtABC中，中，ACB90，过点，过点B作作BDCB，垂足为，垂足为B，且，且BD3，连接，连接CD，与，与AB相交于点相交于点M，过点，过点M作作MNCB，垂足为，垂足为N.若若AC2，则，则MN的长为的长为_65拓 展 训 练拓 展 训 练第3题图3.(2023临沂临沂)如图，点如图，点A，B都在格点上，若都在格点上，若BC ，则，则AC的长为的长为()A.B.C.D.2 133134 1332 133 13B4.(2023百色百色)如图，如图，ABC中，中，ABAC，B72.ACB的平分线的平分线CD交交AB于点于点D，则点，则点D
19、是线段是线段AB的黄金分割点若的黄金分割点若AC2，则，则BD_第4题图35 5.(2023烟台烟台)九章算术中记载了一种测量古井水面以上部分深度的九章算术中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法如图所示，在井口方法如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶，从木杆的顶端端B观察井水水岸观察井水水岸D，视线，视线BD与井口的直径与井口的直径AC交于点交于点E，如果测得，如果测得AB1米，米，AC1.6米，米，AE 0.4米，那么米，那么CD为为_米米第5题图36.(2023黄冈黄冈)如图，在如图，在ABC和和DEC中，中，AD，BCEACD.(1)求证
20、：求证：ABCDEC；第6题图(1)证明：证明：BCEACD，BCEACEACDACE，即即ACBDCE.又又AD，ABCDEC；(2)若若SABC SDEC4 9，BC6，求，求EC的长的长第6题图(2)解：由解：由(1)知知ABCDEC，SABC：SDEC4 9，.BC6，EC9.24()9ABCDECSBCSEC =23BCEC=7.(2023广元节选广元节选)如图如图，在，在ABC中，中，ACB90，ACBC，点，点D是是AB边上一点边上一点(含端点含端点A、B)，过点，过点B作作BE垂直于射线垂直于射线CD，垂足为，垂足为E，点点F在射线在射线CD上，且上，且EFBE，连接，连接AF
21、、BF.(1)求证：求证：ABFCBE；第7题图(1)证明：证明：ACB90，ACBC，AB BC，ABCBAC45.BE垂直于射线垂直于射线CD,BEF90，2又又EFBE，FB EB，FBEEFB45.ABEFBEABCABE，即即ABFCBE.又又 ，ABFCBE；2ABBFCBBE=2第7题图(2)如图如图，连接，连接AE，点，点P、M、N分别为线段分别为线段AC、AE、EF的中点，连的中点，连接接PM、MN、PN.求求PMN的度数及的度数及 的值的值MNPM第7题图(2)解：解：点点P、M、N分别为线段分别为线段AC、AE、EF的中点，的中点，PMCN，MNAF，PM CE，MN AF，MPNCNP，CNMEFA，MPNMNPCNPMNPCNMEFA.ABFCBE，1212第7题图AFBCEB90，EFB45，EFAAFBBFE904545，MPNMNP45.PMN18045135.2AFABCECB=1212AFMNAFPMCECE=2MNABPMCB=，.
