1、1 高 一 数 学 本试卷共 4 页，分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟. 第卷(选择题共 60 分) 注意事项: 1.答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦 干净后，再改涂在其它答案标号. 一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.其中 1-11 题为单选题，在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；第 12 题为多选题，在给出的四个选项中有一 项或多项正确，全部选对得 5 分，部分选对得 3
2、分，选错得 0 分. 1已知全集，则集合的真子集共有 A3 个B4 个C5 个D6 个 2. 命题“”的否定形式是 A.B. C.D. 3计算的值为 AB CD 4. 已知，则的大小关系为 ABCD 5. 函数的单调递增区间为 AB CD 6. 已知函数，则的最小值是 AB. C.D 7. 已知幂函数的图象经过函数 （且）的图象所过的 定点，则幂函数不具有的特性是 A. 在定义域内有单调递减区间 B. 图象过定点 C. 是奇函数 D.其定义域是 8一次社会实践活动中，数学应用调研小组在某厂办公室看到该 厂年来某种产品的总产量与时间（年）的函数图象（如图） ， 以下给出了关于该产品生产状况的几点
3、判断： 前三年的年产量逐步增加； 前三年的年产量逐步减少； 后两年的年产量与第三年的年产量相同； 2 后两年均没有生产 其中正确判断的序号是 ABCD 9. 若是正数，且，则有 A最大值最小值C.最小值最大值 10已知函数是定义在上的奇函数， 当时，的图象如图所示，那么满足 不等式的的取值范围是 A B CD 11. 已知函数是奇函数，且与的图象的交点为 ，则 A.B.C.D. 注意：第 12 题是多选题 12. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名 的函数称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是 A. B.函数是偶函数 C.任意一个非零有理数，对任意
4、恒成立 D.存在三个点，使得为等边三角形 第卷 (非选择题共 90 分) 注意事项: 第卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在 “数学”答题卡指定的位置. 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.） 13. 若函数的定义域为实数集 R，则实数的取值范围 是 14. 定义在上的奇函数，已知当时， 则在上的解析式为 15. 某企业去年的年产量为，计划从今年起，每年的年产量比上年增加，则 第年的年产量为. 16若函数同时满足：对于定义域上的任意，恒有； 对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数 3 为“理想函数”。给出下列四个函数中：； ；，能被称为“理想函数”的有_（请将
5、所有正确命题的序号都填上） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 10 分） 已知集合，全集 (1)当时，求,； （2）若是成立的充分不必要条件,求实数的取值范围 18 （本小题满分 12 分） 已知函数. （1）求函数的零点； （2）若函数的最小值为，求的值. 19 （本小题满分 12 分） 已知函数 （1）在给定的直角坐标系内直接画出的图象； （2）写出的单调区间，并指出单调性（不要求证明）； （3）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围 123451xO y 1 1 2 3 4 20 （本小题满分 12 分） 已知函数
6、 （1）当时，判断函数的单调性，并用定义证明； （2）根据的不同取值，讨论的奇偶性，并说明理由 21. （本小题满分 12 分） 某地草场出现火灾，火势正以每分钟的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派 消防队员前去，在火灾发生后分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟 灭火，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟元，另附加每次救火 所耗损的车辆、 器械和装备等费用平均每人 100 元， 而烧毁一平方米森林损失费为 30 元 （1）设派名消防队员前去救火，用分钟将火扑灭，试建立与的函数关系式； （2）问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？ （注：总损失费=灭火劳务津贴车辆
7、、器械装备费森林损失费） 22 （本小题满分 12 分） 已知二次函数满足. （1）求的解析式； （2）若在上单调，求的取值范围； （3）设 ，当 时，有最大值 14, 试求 a 的值. 5 一、一、 1-12 ABDDAADBCB DABCD 二、二、 13函数 f（x）? ? ? ? ?的定义域为 R， x26kx+k+80 恒成立， 即判别式36k24（k+8）0， 即 9k2k80， 解得? ? ? ?k1， 14义在3，3上的奇函数 f（x） ，已知当 x0，3时，f（x）3x+a4x（aR） ， 当 x0 时，f（0）0，解得 1+a0，所以 a1 故当 x0，3时，f（x）3x4
8、x 当3x0 时，0 x3，所以 f（x）3 x4x， 由于函数为奇函数，故 f（x）f（x） ，所以 f（x）4 x3x， 15设年产量经过 x 年增加到 y 件， 第一年为 ya（1+b%） 第二年为 ya（1+b%） （1+b%）a（1+b%）2， 第三年为 ya（1+b%） （1+b%） （1+b%）a（1+b%）3， 即年产量 y 是以 a（1+b%）为首项， （1+b%）为公比的等比数列 ya（1+b%）x（xN*） 16条件说明“理想”函数为奇函数；说明“理想”函数为减函数 函数? ? ? ? ? 为对勾函数，此函数是奇函数，但在整个定义域内不是减函数，故不 选； 函数? ? ?
9、 ?是奇函数，但在整个定义域内是增函数，故不选； 函数? ? ?，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? t，函数为奇函数， ? ? ? ? ?在定义域内为增函数，故不选； 函数，画出图象 可知 f（x）为奇函数，且为减函数， 6 三、三、 17 （1）当 a2 时，Ax|1x7， 则 ABx|1x4； RAx|x1 或 x7，UBx|x2 或 x4， （RA）（RB）x|x2 或 x7； （2）xA 是 xB 成立的充分不必要条件，A B， 若 A ，则 a12a+3，解得 a4； 若 A ，由 A B，得到， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
10、且 a12 与 2a+34 不同时取等号； 解得：1a? ? ?， 综上：a 的取值范围是（，4）1，? ? 18 （）要使函数有意义：则有 ? ? ?t ? ? ?t，解之得：3x1（2 分） 函数可化为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由 f（x）0，得x22x+31 即 x2+2x20，? ? ? ? ? ? ? ? ?，?，f（x）的零点是? ? ?（5 分） （）函数化为：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 3x1， 7 0（x+1）2+44（7 分） 0a1， ? ? ? ? ? ? ? 即 f（x）minloga4 由 loga44，
11、得 a 44， ? ? ? ? ? ? ? ?（10 分） 19 （1）由题意，函数 f（x）大致图象如下： （2）根据（1）中函数 f（x）大致图象，可知 函数 f（x）在1，0上单调递增，在0，2上单调递减，在2，5上单调递增 （3）根据（1）中函数 f（x）大致图象，可知 当 t1 时，直线 yt 与 yf（x）没有交点； 当 t1 时，直线 yt 与 yf（x）有 1 个交点； 当1t1 时，直线 yt 与 yf（x）有 2 个交点； 当 1t2 时，直线 yt 与 yf（x）有 1 个交点； 当 2t3 时，直线 yt 与 yf（x）有 2 个交点； 当 t3 时，直线 yt 与 y
12、f（x）有 1 个交点； 当 t3 时，直线 yt 与 yf（x）没有交点 若函数 ytf（x）有两个不同的零点，实数 t 的取值范围为： （1，12，3） 20 （1）a0 时，f（x）? ? ?，设 x1x2， f（x1）f（x2）? ? ? ? ? ? ? ? ?，x1x2，2 ? ?2 ?0， f（x1）f（x2）0， 8 f（x）在定义域单调递增； （2）f（x）? ? ? ? ? ? ， 若 f（x）f（x） ，即 f（x）为偶函数，则 a1； 若 f（x）f（x） ，即为奇函数，则 a1； 若 f（x）f（x）且 f（x）f（x） ，即非奇非偶函数，则 a1 且 a1 21 （1
13、）由题意可知：60（t+5）30 xt， 即 t? ?t ? 由 30 x60 可得 x2 故 t 关于 x 的函数为 t? ?t ?（x2 且 xN ） （2）设总损失费为 f（x） ，则 f（x）80 xt+100 x+3030 xt? ?tt? ? ， f（x）? ?tt? ? ， 令 f（x）0 可得 x16 或 x12（舍） ， 故当 2x16 时，f（x）0，当 x16 时，f（x）0， 当 x16 时，f（x）取得最小值 故派 16 名消防员前去救火，总损失费用最少 22 （1）f（x）ax2+bx 满足 f（x1）f（x）+x1， a（x1）2+b（x1）ax2+bx+x1，即
14、 ax2（2ab）x+abax2+（b+1）x1， 所以（2ab）b+1，ab1， 得 a? ? ?，? ? ? ?， 所以 f（x）? ? ? ? ? ? （2）因为 g（x）2f（x）+px2（? ? ? ? ? ?）+pxx 2+（p1）x，x2，4上 单调， 所以其对称轴 x? ? ? ?2，或者? ? ? ? ?， 所以 p7，或者 p3 （3）F（x）4f（ax）+3a2x1a2x+2ax1， （a0 且 a1） ， 当 x1，1时，令 tax，F（x）t2+2t1（t+1）22， 9 当 a1 时，t? ? ? ? ，?，F（x）maxF（a）（a+1）2214，得 a3； 当 0a1 时，t? ?， ? ?，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，得 a? ? ? 故 a3 或? ?
