1、第一章 1.1 命题及其关系 1.1.1 命 题 1.了解命题的概念. 2.会判断命题的真假，能够把命题化为“若p，则q”的形式. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 命题的定义 (1)用 表达的，可以判断 的 叫做 . (2)判断为 的语句叫做 . (3)判断为 的语句叫做 . 思考 (1)“x5”是命题吗？ 答案 “x5”不是命题，因为它不能判断真假. (2)陈述句一定是命题吗？ 答案 陈述句不一定是命题，因为不知真假.只有可以判断真假的陈述句 才叫做命题. 答案 语言、符号或式子 真假 陈述句 命题 真 真命题
2、 假 假命题 知识点二 命题的结构 从构成来看，所有的命题都由 两部分构成.在数学中，命题 常写成“ ”的形式.通常，我们把这种形式的命题中的p叫做 ，q叫做 . 答案 条件和结论 若p，则q 命题的条件 命题的结论 返回 题型探究 重点突破 解析答案 题型一 命题的判断 例1 (1)下列语句为命题的是( ) A.x10 B.238 C.你会说英语吗？ D.这是一棵大树 解析 A中x不确定，x10的真假无法判断； B中238是命题，且是假命题； C不是陈述句，故不是命题； D中“大”的标准不确定，无法判断真假. B 解析答案 反思与感悟 (2)下列语句为命题的有_. 一个数不是正数就是负数；
3、梯形是不是平面图形呢？ 22 015是一个很大的数； 4是集合2,3,4的元素； 作ABCABC. 解析 是陈述句，且能判断真假； 不是陈述句； 不能断定真假； 是陈述句且能判断真假； 不是陈述句. 解析答案 跟踪训练1 判断下列语句是不是命题. (1)求证 3是无理数； (2)x22x10； (3)你是高二学生吗？ (4)并非所有的人都喜欢苹果； (5)一个正整数不是质数就是合数； (6)若xR，则x24x70； (7)x30. 解 (1)(3)(7)不是命题， (2)(4)(5)(6)是命题. 解析答案 题型二 命题真假的判断 例2 判断下列命题的真假： (1)已知a，b，c，dR，若ac
4、，bd，则abcd； 解 假命题.反例：14,52，而1542. (2)若xN，则x3x2成立； 解 假命题.反例：当x0时，x3x2不成立. (3)若m1，则方程x22xm0无实数根； 解 真命题.m144mbc2，则ab. 其中真命题的序号是_. 解析 是真命题， 四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形， 平行四边形不是梯形. 解析答案 题型三 命题的构成形式 例3 (1)已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧，若把 上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是_， q是_. (2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假. 已知x，y为正整数，当yx1时，y3，
5、x2； 当abc0时，a0且b0且c0. 解 已知x，y为正整数，若yx1，则y3，x2，假命题. 若abc0，则a0且b0且c0，假命题. 一条直线是弦的垂直平分线 这条直线经过圆心且平分弦所对的弧 反思与感悟 跟踪训练3 指出下列命题中的条件p和结论q，并判断各命题的真假. (1)若四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分； 解 条件p：四边形是平行四边形， 结论q：四边形的对角线互相平分.真命题. (2)若a0，b0，则ab0； 解 条件p：a0，b0， 结论q：ab0.真命题. (3)面积相等的三角形是全等三角形. 解 条件p：两个三角形面积相等， 结论q：它们是全等三角形.假命题.
6、解析答案 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1.下列语句不是命题的个数为( ) 21；x1；若x2，则x1；函数f(x)x2是R上的偶函数. A.0 B.1 C.2 D.3 解析 可以判断真假，是命题； 不能判断真假，所以不是命题. C 解析答案 C 2.下列命题为真命题的是( ) A.互余的两个角不相等 B.相等的两个角是同位角 C.若a2b2，则|a|b| D.三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角 解析 由平面几何知识可知A、B、D三项都是错误的. 1 2 3 4 5 解析答案 3.下列命题是真命题的是( ) A.若 a24，则 a2 B.若 ab，则 a b C.若1 a
7、 1 b，则 ab D.若 ab，则 a 2b2 解析 判断是假命题，只需举反例，用排除法，得到正确选项. 由a24得a2，排除A； 取ab1，排除B； 212，排除D.故选C. C 1 2 3 4 5 解析答案 4.给出下列四个命题： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 垂直于同一条直线的两条直线相互平行； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个 平面也不垂直. 其中，为真命题的是( ) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 解析答案 5.下列命题： 若xy0，则|x|y|
8、0；若ab，则ac2bc2； 矩形的对角线 互相垂直. 其中假命题的个数是_. 解析 当x，y中一个为零，另一个不为零时，|x|y|0； 当c0时不成立； 菱形的对角线互相垂直.矩形的对角线不一定垂直. 3 1 2 3 4 5 课堂小结 返回 1.根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题.命题的条件与结论 之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例 即可. 2.任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式. 含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变， 且不写在条件p中. 1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系 第一章 1.
9、1 命题及其关系 1.理解四种命题的概念，能写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题. 2.知道四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系. 3.会利用逆否命题的等价性解决问题. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 四种命题的概念 (1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命 题的 ，那么这两个命题叫做 .其中一个命题叫做 ， 另一个叫做原命题的 . (2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命 题的条件的否定和结论的否定，这两个命题叫做 .其中一个命题叫 做原命题，另一个
10、叫做原命题的 . (3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一 个命题的 和 ，这两个命题叫做 .其中一 个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的 . 答案 结论和条件 互逆命题 原命题 逆命题 互否命题 否命题 结论的否定 条件的否定 互为逆否命题 逆否命题 知识点二 四种命题的真假性的判断 原命题为真，它的逆命题 ；它的否命题也 .原命题 为真，它的逆否命题 . 不一定为真 不一定为真 一定为真 答案 若綈q,则綈p 若綈p,则綈q 若綈q,则綈p 返回 题型探究 重点突破 解析答案 题型一 四种命题的概念 例1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假
11、. (1)若m n0，则方程mx2xn0有实数根； 解 逆命题：若方程mx2xn0有实数根， 则m n0且n0，则mn0，真命题. 逆否命题：若mn0，则m0且n0，假命题. (4)在ABC中，若ab，则AB. 解 逆命题：在ABC中，若AB，则ab，真命题. 否命题：在ABC中，若ab，则AB，真命题. 逆否命题：在ABC中，若AB，则ab，真命题. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1 判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、 逆否命题，并判断其真假. (1)若x2y20，则x，y全为零； 解 该命题为真命题. 逆命题：若x，y全为零，则x2y20，真命题. 否命题：若x2y20，则x
12、，y不全为零，真命题. 逆否命题：若x，y不全为零，则x2y20，真命题. 解析答案 (2)若在二次函数yax2bxc(a0)中，b24ac0，则该函数图象 与x轴有交点. 解 该命题为假命题. 逆命题：若二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴有交点， 则b24acbc2，则ab”的逆命题. 其中是真命题的是_. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2 下列命题为真命题的是( ) “正三角形都相似”的逆命题； “若m0，则x22xm0有实根”的逆否命题； “若x 是有理数，则x是无理数”的逆否命题. A. B. C. D. 2 解析答案 题型三 等价命题的应用 例3 判断命题“已知a，x为实数，
13、若关于x的不等式x2(2a1)xa2 20的解集是空集，则a0，即抛物线与x轴有交点， 所以关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集不是空集， 故原命题的逆否命题为真. 反思与感悟 跟踪训练3 判断命题“若m0，则方程x22x3m0有实数根”的 逆否命题的真假. 解 m0， 方程x22x3m0的判别式12m40. 原命题“若m0， 则方程x22x3m0有实数根”为真. 又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m0， 则方程x22x3m0有实数根”的逆否命题也为真. 解析答案 解析答案 思想方法 化归思想的应用 例4 判断命题“若x2y20，则xy，xy中至少有一个不等于0”的真 假. 分析
14、原命题的真假性不容易判断，可以找出其逆否命题，若其逆否命题 的真假性容易判断，则根据互为逆否的两个命题的真假性之间的关系，就 可以解决原命题的真假性问题了. 解 原命题的逆否命题：若xy，xy都等于0， 则x2y20. 由xy0，xy0，得x2y2(xy)(xy)0. 因此，原命题的逆否命题是真命题. 所以原命题是真命题 解后反思 解析答案 易错点 根据已知集合求参数范围 例5 已知p：Mx|x22x800，q：Nx|x22x1m20，m0.如果 “若p，则q”为真，且“若q，则p”为假，求实数m的取值范围. 分析 先求不等式的解集，再根据条件建立不等式组求解即可. 解 p：Mx|x22x80
15、0 x|8x10， q：Nx|x22x1m20，m0 因为“若p，则q”为真，且“若q，则p”为假，所以MN， 返回 解后反思 x|1mx1m，m0. 所以 m0， 1m8， 1m10 或 m0， 1m8， 1m10， 即 m0， m9， m9 或 m0， m9， m9， 解得 m9， 即实数 m 的取值范围是 m|m9. 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1.命题“若aA，则bB”的否命题是( ) A.若aA，则bB B.若aA，则bB C.若bB，则aA D.若bB，则aA 解析 命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，“”与“” 互为否定形式. B 解析答案 1 2 3 4
16、 5 2.命题“若ABA，则ABB”的逆否命题是( ) A.若ABB，则ABA B.若ABA，则ABB C.若ABB，则ABA D.若ABB，则ABA 解析 注意“ABA”的否定是“ABA”. C 1 2 3 4 5 3.命题“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题是 _，它是_命题 (填“真”或“假”). 若平面向量a，b的方向不相同，则a，b不共线 假假 答案 解析答案 4.给出以下命题： “若a，b都是偶数，则ab是偶数”的否命题； “正多边形都相似”的逆命题； “若m0，则x2xm0有实根”的逆否命题. 其中为真命题的是_. 解析 否命题是“若a，b不都是偶数，则ab不是偶
17、数”.假命题. 逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”.假命题. 14m，m0时，0， x2xm0有实根，即原命题为真. 逆否命题为真. 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 5.“若 sin 1 2，则 6”的逆否命题是“_”， 逆否命题是_命题(填“真”或“假”). 解析 逆否命题是“若 6， 则 sin 1 2”是假命题. 若 6，则 sin 1 2 假假 课堂小结 返回 1.写四种命题时，可以按下列步骤进行： (1)找出命题的条件p和结论q； (2)写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q； (3)按照四种命题的结构写出所求命题. 2.每一个命题都由条件和结论
18、组成，要分清条件和结论. 3.判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断， 这也是反证法的理论基础. 1.2.1 充分条件与必要条件 第一章 1.2 充分条件与必要条件 1.理解充分条件、必要条件的意义. 2.会求(判定)某些简单命题的条件关系. 3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、 判断和归纳的逻辑思维能力. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点 充分条件与必要条件 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们 就说，由p可推出q，记作pq，并且说p是q的 ，q
19、是p的 . (1)p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法 不同.p是q的充分条件只反映了pq，与q能否推出p没有任何关系. (2)注意以下等价的表述形式：pq；p是q的充分条件；q的充分条 件是p；q是p的必要条件；p的必要条件是q. (3)“若p，则q”为假命题时，记作“pq”，则p不是q的充分条件，q不 是p的必要条件. 答案 充分条件 必要条件 答案 返回 思考 (1)数学中的判定定理给出了结论成立的什么条件？ 答案 充分条件. (2)性质定理给出了结论成立的什么条件？ 答案 必要条件. 题型探究 重点突破 解析答案 题型一 充分条件、必要条件 例1 给出下列
20、四组命题： (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； 解 两个三角形相似两个三角形全等， 但两个三角形全等两个三角形相似， p是q的必要不充分条件. (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； 解 矩形的对角线相等，pq， 而对角线相等的四边形不一定是矩形，qp. p是q的充分不必要条件. 解析答案 反思与感悟 (3)p：AB，q：ABA； 解 pq，且qp， p既是q的充分条件， 又是q的必要条件. (4)p：ab，q：acbc. 试分别指出p是q的什么条件. 解 pq，且qp， p是q的既不充分也不必要条件. 解析答案 跟踪训练1 指出下列哪些命题中p是q的充分条件？ (1
21、)在ABC中，p：AB，q：BC AC. 解 在ABC中，由大角对大边知，ABBCAC， 所以p是q的充分条件. (2)对于实数x，y，p：xy8，q：x2或y6. 解 对于实数x，y， 因为x2且y6xy8， 所以由xy8x2或x6， 故p是q的充分条件. 解析答案 (3)在ABC中，p：sin Asin B，q：tan Atan B. 解 在ABC中，取A120，B30， 则sin Asin B，但tan Atan B， 故pq，故p不是q的充分条件. (4)已知x，yR，p：x1，q：(x1) (x2)0. 解 由x1(x1)(x2)0， 故p是q的充分条件. 故命题(1)(2)(4)中
22、p是q的充分条件. 解析答案 题型二 充分条件、必要条件与集合的关系 例2 是否存在实数p，使4xp0的充分条件？如果存在， 求出p的取值范围；否则，说明理由. 解 由x2x20解得x2或x2或x1， 由 4xp0，得 Bx|xp 4， 当 BA 时，即p 41，即 p4， 此时 x0， 当p4时，4xp0的充分条件. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2 已知Mx|(xa)21，Nx|x25x240，若M是N的 充分条件，求a的取值范围. 解 由(xa)21得x22ax(a1)(a1)0， a1xa1. 又由x25x240得3x8. M是N的充分条件，MN， a13， a18， 解得2a7. 故
23、a的取值范围是2a7. 解析答案 易错点 根据必要条件(充分条件)求参数的范围 返回 例3 已知Px|a4xa4，Qx|1x3，“xP”是“xQ” 的必要条件，则实数a的取值范围是_. 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1.“2x1或x1”的( ) A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.既不是充分条件，也不是必要条件 D.既是充分条件，也是必要条件 解析 2x1或x1或x12x1， “2x1或xb”是“a|b|”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既是充分条件，也是必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由a|b|ab， 而ab推不出a|b|.
24、B 1 2 3 4 5 3.若aR，则“a1”是“|a|1”的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.既不是充分条件也不是必要条件 D.无法判断 解析 当a1时，|a|1成立， 但|a|1时，a1，所以a1不一定成立. “a1”是“|a|1”的充分条件. A 解析答案 解析答案 1 2 3 4 5 4.“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在区间(0，)内单调递增”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既充分也必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 f(x)|(ax1)x|在区间(0，)内单调递增等价于f(x)0在区间 (0，)内无实根， 即 a0 或1 a0， 也就是a
25、0，“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在区间(0，)内单调 递增”的既是充分也是必要条件.故选C. C 解析答案 1 2 3 4 5 5.若“x0”的充分不必要条件，求m的取值范围. 解 由(x1)(x2)0可得x2或x1， 由已知条件，知x|x2或xB，q：sin Asin B； 解 在ABC中，显然有ABsin Asin B， 所以p是q的充要条件. 若a，bR，p：a2b20，q：ab0； 解 若a2b20，则ab0，即pq； 若ab0，则a2b20，即qp，故pq， 所以p是q的充要条件. p：|x|3，q：x29. 解 由于p：|x|3q：x29，所以p是q的充要条件. 反思与
26、感悟 解析答案 跟踪训练1 (1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是( ) A.ab0 B.ab0 C.a2b20 D.a2b20 解析 a2b20， 则a、b不同时为零； a，b中至少有一个不为零， 则a2b20. D 解析答案 (2)“函数yx22xa没有零点”的充要条件是_. 解析 函数没有零点， 即方程x22xa0无实根， 所以有44a0， 解得a1.反之，若a1， 则0，方程x22xa0无实根， 即函数没有零点. 故“函数yx22xa没有零点”的充要条件是a1. a1 解析答案 题型二 充要条件的证明 例2 求证：方程x2(2k1)xk20的两个根均大于1的充要条件是 k0，yy，
27、1 x 1 y，则 p 是 q 的_条件. 解析 当 x0，yy 且1 x 1 y成立， 当 xy 且1 x 1 y时，得 xy0， xy xy 0， y0的解集为R，若“pq”与“綈q”同时为 真命题，求实数a的取值范围. 反思与感悟 跟踪训练3 已知命题p：方程x2ax10有两个不等的实根；命题q： 方程4x22(a4)x10无实根，若“p或q”为真，“p且q”为假， 求实数a的取值范围. 解 “p或q”为真，“p且q”为假，p与q一真一假， 由a240得a2或a2或a2， a2或a6， a2或a6； 若 p 假 q 真，则有 2a2， 2a6， 通过分析可知不存在这样的 a. 综上，a2
28、或a6. 由4(a4)2440得2a0对一切xR恒成立， 命题q：函数f(x)(32a)x是增函数.若pq为真，pq为假，求实数a的 取值范围. 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1.命题p：“x0”是“x20”的必要不充分条件，命题q：ABC中， “AB”是“sin Asin B”的充要条件，则( ) A.p真q假 B.pq为真 C.pq为假 D.p假q真 解析 命题p假，命题q真. D 解析答案 1 2 3 4 5 2.给出下列命题： 21或13； 方程x22x40的判别式大于或等于0； 25是6或5的倍数； 集合AB是A的子集，且是AB的子集. 其中真命题的个数为( ) A.1 B
29、.2 C.3 D.4 解析答案 3.已知命题p1：函数y2x2x在R上为增函数， p2：函数y2x2x在R上为减函数. 则在命题q1：p1p2，q2：p1p2，q3：(綈p1)p2和q4：p1(綈p2)中， 为真命题的是( ) A.q1，q3 B.q2，q3 C.q1，q4 D.q2，q4 1 2 3 4 5 解析答案 4.已知命题p：1x|(x2)(x3)0，命题q：0，则下列判断正确 的是( ) A.p假q真 B.“pq”为真 C.“pq”为真 D.“綈p”为真 解析 由(x2)(x3)0得2x0； 解 由于xR，都有x20，因而有x2220， 即x220，所以命题“xR，x220”是真命
30、题. (2)xN，x41； 解 由于0N，当x0时，x41不成立， 所以命题“xN，x41”是假命题. (3)对任意角，都有sin2cos21. 解 由于R，sin2cos21成立. 所以命题“对任意角，都有sin2cos21”是真命题. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1 试判断下列全称命题的真假： (1)xR，x212； 解 由于xR，都有x20， 因而有x211，所以“xR，x212”是假命题. (2)任何一条直线都有斜率； 解 当直线的倾斜角为 时，斜率不存在， 所以“任何一条直线都有斜率”是假命题. (3)每个指数函数都是单调函数. 解 无论底数a1或是0a1，指数函数都是单调函数，
31、所以“每个指数函数都是单调函数”是真命题. 2 解析答案 题型二 存在量词与特称命题 例2 判断下列特称命题的真假： (1)x0Z，x3 01； 解 1Z，且(1)311， “x0Z，x3 01， 不存在 x0R，使 cos x0 2， “x0R，cos x0 2”是假命题. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练 2 试判断下列特称命题的真假： (1)x0Q，x2 03； 解 由于使 x2 03 成立的数只有 3，而它们都不是有理数， 因此没有任何一个有理数的平方能等于3， 所以命题“x0Q，x2 03”为假命题. (2)x0，y0为正实数，使 x2 0y 2 00； 解 因为 x00，y00，所以
32、 x2 0y 2 00， 所以“x0，y0为正实数，使 x2 0y 2 00”为假命题. 解析答案 (3)x0R，tan x01； 解 当 x0 4时，tan 41， 所以“x0R，tan x01”为真命题. (4)x0R，lg x00. 解 当x01时，lg 10， 所以“x0R，lg x00”为真命题. 解析答案 例 3 (1)若命题 p：存在 x0R，使 ax2 02x0a0，求实数 a 的取值范围； 题型三 全称命题、特称命题的应用 解 由 ax2 02x0a0，得 a(x 2 01)0， 当 x00 时，x0 1 x02， 2 x0 1 x0 1， 当 x00 时，x0 1 x02，
33、 2 x0 1 x0 1， a 2x0 x2 01 2 x0 1 x0 ， 2 x0 1 x0 的最大值为 1. 又x0R，使 ax2 02x0a0 成立， 只要a1，a的取值范围是(，1). 解析答案 (2)若不等式(m1)x2(m1)x3(m1)0对任意实数x恒成立，求实数 m的取值范围. 解 当m10即m1时，2x60不恒成立. 当m10，则 m10， 0， m1， m124m1 3m10， m1， m1， 综上，m13 11. 反思与感悟 反思与感悟 有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用，注意 二者的区别. 解析答案 跟踪训练3 (1)已知关于x的不等式x2(2a1)xa220的
34、解集非空， 求实数a的取值范围； 解 关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空， (2a1)24(a22)0，即4a70， 解得 a7 4， 实数 a 的取值范围为7 4，). (2)若命题 p：1sin 2xsin xcos x 是真命题，求实数 x 的取值范围. 解 由1sin 2xsin xcos x， 得sin2xcos2x2sin xcos xsin xcos x， sin xcos x2sin xcos x， 即|sin xcos x|sin xcos x， 结合三角函数图象得，2k 4x2k 5 4 (kZ)， 此即为所求x的取值范围. sin xcos x. 即 p：x
35、2k 4，2k 5 4 (kZ)， 有1sin 2xsin xcos x 是真命题. 解析答案 思想方法 化归思想的应用 例4 对任意x1,2，有4x2x12a0恒成立，求实数a的取值范围. 分析 通过换元，可转化为一元二次不等式的恒成立问题，通过分离参数， 又可将恒成立问题转化为求最值的问题. 解 原不等式化为22x2 2x2a0， 令 t2x，因为 x1,2，所以 t1 2，4， 则不等式化为t22t2at22t2. 所以原命题等价于t1 2，4，at 22t2 恒成立， 令yt22t2(t1)21， 因为当 t1 2，4时，ymax10，所以只需 a10 即可. 故实数a的取值范围是(1
36、0，). 解析答案 返回 解后反思 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1.下列命题中全称命题的个数是( ) 任意一个自然数都是正整数； 有的等差数列也是等比数列； 三角形的内角和是180. A.0 B.1 C.2 D.3 解析 是全称命题. C 解析答案 1 2 3 4 5 2.下列命题中，不是全称命题的是( ) A.任何一个实数乘以0都等于0 B.自然数都是正整数 C.每一个向量都有大小 D.一定存在没有最大值的二次函数 解析 D选项是特称命题. D 1 2 3 4 5 3.下列特称命题是假命题的是( ) A.存在xQ，使2xx30 B.存在xR，使x2x10 C.有的素数是偶数 D.
37、有的有理数没有倒数 解析 对于任意的 xR，x2x1(x1 2) 23 40 恒成立. B 解析答案 解析答案 1 2 3 4 5 4.下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( ) A.存在一个0，使tan(900)tan 0 B.存在实数x0，使sin x0 C.对一切，sin(180)sin D.对一切，sin()sin cos cos sin 解析 含有存在量词的命题只有A，B， 2 而 sin x01，所以 sin x0 2不成立，故选 A. A 解析答案 1 2 3 4 5 5.已知命题 p：x0(，0)，2x03x0，命题 q：x(0， 2)，cos x1， 则下列命题为真命题的是
38、( ) A.pq B.p(綈q) C.(綈p)q D.p(綈q) 解析 当x00时，2x03x0不成立， p为假命题，綈p为真命题， 而 x(0， 2)时，cos x1 成立，q 为真命题. C 课堂小结 返回 1.判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称 量词或存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉 及的意义去判断. 2.要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立； 若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题. 3.要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可； 若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题
39、是假 命题. 1.4.3 含有一个量词的命题的否定 第一章 1.4 全称量词与存在量词 1.通过探究数学中一些实例，归纳总结出含有一个量词的命题与它们 的否定在形式上的变化规律. 2.通过例题和习题的学习，能够根据含有一个量词的命题与它们的 否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 全称命题的否定 全称命题p：xM，p(x)， 它的否定綈p： . 知识点二 特称命题的否定 特称命题p：x0M，p(x0)， 它的否定綈p： . 知识点三 全称命题与特称命题的关系
40、全称命题的否定是 命题. 特称命题的否定是 命题. 答案 x0M，綈p(x0) xM，綈p(x) 特称 全称 思考 (1)用自然语言描述的全称命题的否定形式惟一吗？ 答案 不惟一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是 “并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是 平行四边形”. (2)对省略量词的命题怎样否定？ 答案 对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称命题或特称命 题.一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”或 “对任意”，它的否定是特称命题.反之，亦然. 答案 返回 题型探究 重点突破 解析答案 题型一 全称命题的否定 例1 写出下列全称命题的否定： (
41、1)任何一个平行四边形的对边都平行； 解 其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行. (2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数； 解 其否定为：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数. (3)a，bR，方程axb都有惟一解； 解 其否定为：a，bR，使方程axb的解不惟一或不存在. (4)可以被5整除的整数，末位是0. 解 其否定为：存在被5整除的整数，末位不是0. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1 写出下列全称命题的否定： (1)p：每一个四边形的四个顶点共圆； 解 綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆. (2)p：所有自然数的平方都是正数； 解 綈p：有些自然数的平
42、方不是正数. (3)p：任何实数x都是方程5x120的根； 解 綈p：存在实数x0不是方程5x0120的根. (4)p：对任意实数x，x210. 解 綈 p：存在实数 x0，使得 x2 011，使 x2 02x030； 解 綈p：x1，x22x30.(假). (2)p：有些素数是奇数； 解 綈p：所有的素数都不是奇数.(假). (3)p：有些平行四边形不是矩形. 解 綈p：所有的平行四边形都是矩形.(假). 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假. (1)有些实数的绝对值是正数； 解 命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有 实数的绝对值
43、都不是正数”.它为假命题. (2)某些平行四边形是菱形； 解 命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四 边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题. (3)x0，y0Z，使得 2x0y03. 解 命题的否定是“x，yZ， 2xy3”. 当 x0，y3 时， 2xy3，因此命题的否定是假命题. 解析答案 题型三 特称命题、全称命题的综合应用 例3 已知函数f(x)x22x5. (1)是否存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xR恒成立，并说明理 由； 解 不等式mf(x)0可化为mf(x)， 即mx22x5(x1)24. 要使m(x1)24对于任意xR恒成立，只需m4即可. 故存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xR恒成立， 此时，只需m4. 解析答案 反思与感悟 (2)若存在一个实数x0，使不等式mf(x0)0成立，求实数m的取值范围. 解 不等式mf(x0)0可化为mf(x0)， 若存在一个实数x0， 使不等式mf(x0)成立，只需mf(x
