1、 高中数学试题研究群（群号码 545423319） ，汇聚全国数学教师与教研员，共同教研学习，word 资源共享。建群目的资源共 享，共同教研，愉快撸题。欢迎各位有志向提高解题能力，提高教研水平的老师加入。 第五章第五章 平面向量平面向量 平面向量的线性运算和平面向量的线性运算和坐标运算坐标运算 【背一背重点知识】 1. 向量加法：利用“平行四边形法则”或“三角形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的 向量. 2. 向量的减法：用“三角形法则” ，要注意：减向量与被减向量的起点相同. 3. 向量平移具有坐标不变性，相等向量的坐标是一样的. 4. 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一
2、定相等. 5. 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行 不包含两条直线重合.来源:163文库 6. 平行向量无“传递性”（因为有0). 7. 三点 A、B、C共线 ,AB AC 共线. 8. 当判定两个向量的关系时，特别注意以下两种特殊情况： (1)零向量的方向及与其他向量的关系； (2)单位向量的长度及方向 9.已知 1122 ()()axybxy ， ，判断两向量平行和垂直的充要条件容易混淆.应为ab 1212 0 x xy y，/ab 1221 0 x yx y，使用时要注意区分清楚 【讲一讲提高技能】 1.必备技能： （1）向量的基本
3、概念是向量的基础，学习时应注意不要把向量与实数盲目类比；向量的运算 包括两种形式：(1)向量式；(2)坐标式；在学习时要学会灵活选用，解题时应善于将向量用一组基底（不 共线向量）来表示，要会应用向量共线、垂直的充要条件来解题. （2）平面向量基本定理是向量坐标形式表示的理论基础，平面向量的坐标运算是高考的重点，通常考查两 个向量平行、垂直的位置关系；另外平面向量的坐标运算，在解析几何、三角函数中出现较多. 高中数学试题研究群（群号码 545423319） ，汇聚全国数学教师与教研员，共同教研学习，word 资源共享。建群目的资源共 享，共同教研，愉快撸题。欢迎各位有志向提高解题能力，提高教研水
4、平的老师加入。 （3）在中，当M为BC中点时， 1 () 2 AMABAC应作为公式记住 （4） 在一般向量的线性运算中，只要把其中的一个向量当作一个字母看待即可其运算方法类似于合并 同类项，在计算时可进行类比 2.典型例题： 例 1 设P是ABC所在平面内一点，2BCBABP则 A0PAPB B0PBPC C0PCPA D0PAPBPC 例 2 下列各组平面向量中，可以作为基底的是（ ） （A） 12 0,0 ,1, 2ee （B） 12 1,2 ,5,7ee （C） 12 3,5 ,6,10ee （D） 12 13 2, 3 , 24 ee 例 3 在直角坐标系xOy中，已知点(1,1),
5、 (2,3), (3,2)ABC，点( , )P x y在ABC三边围成的区域（含边 界）上，且( ,)OPmABnAC m nR. （1）若 2 3 mn，求|OP； （2）用, x y表示mn，并求mn的最大值. 【练一练提升能力】 1.向量abc， ，在正方形网格中的位置如图所示，若cab (R，)，则 = . 高中数学试题研究群（群号码 545423319） ，汇聚全国数学教师与教研员，共同教研学习，word 资源共享。建群目的资源共 享，共同教研，愉快撸题。欢迎各位有志向提高解题能力，提高教研水平的老师加入。 2.已知点A(1,3),B(4, 1) ,则与向量 AB 同方向的单位向量
6、为 ( ) A B C D 3. 在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，(2,4)AB ，(1,3)AC ，则DA（ ） A （2,4） B （3,5） C （1，1） D （1，1） 平面向量的数量积平面向量的数量积 【背一背重点知识】 1. 数量积是一个实数，不再是一个向量. 2.向量数量积与实数相关概念的区别： (1)表示方法的区别:数量积的记号是a b，不能写成a b，也不能写成ab. (2)相关概念及运算的区别： 若ab，为实数，且0ab，则有0a或0b，但0a b 却不能得出0a 或0b . 若abcR， ，则a bcab c(结合律)成立，但对于向量, ,a b c，向量的数
7、量积是不满足结合律 若abR，则|aba b，但对于向量, a b，却有|aba b，等号当且仅当/ab时成立 3.设两个非零向量a，b，其夹角为，则： 0aba b ； 当a，b同向时，aba b， 特别地， 2 22 ,aa aaaa； 当a与b反向时，aba b； 当为锐角时，ab0，且 a b、不同向，0a b 是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，ab 0，且 a b、不反向，0a b 是为钝角的必要非充分条件； 4.数量积的运算要注意： （1）0a 时，0a b ，但0a b 时不能得得到0a 或0b ，因为ab时，也有0a b . 高中数学试题研究群（群号码 545423319）
8、 ，汇聚全国数学教师与教研员，共同教研学习，word 资源共享。建群目的资源共 享，共同教研，愉快撸题。欢迎各位有志向提高解题能力，提高教研水平的老师加入。 （2）若abcR， ，则()0abacbc a；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量, ,a b c满足 abac (0a )，则不一定有bc，即等式两边不能同时约去一个向量 （3）平面向量的数量积有定义式和坐标运算，应注意灵活选择计算方法. 【讲一讲提高技能】 1.必备技能：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边 平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能 两边同除以一个
9、 向量，即两边不能约去一个向量，切 记 两 向 量 不 能 相 除 (相 约 )； （2）向量的“乘法”不满足结合律，即()()a b ca b c. （3）已知非零向量 1122 ()()axybxy ， ， 则有 1 212 | 00ababababx xy y，是非常重要的性质，它是解决平面几何中有关 垂直问题的有力工具，应熟练掌握 2.典型例题： 例 1 如图在平行四边形ABCD中，已知8,5ABAD，3,2CPPD AP BP，则AB AD的值 是 . 例 2 在边长为1的等边ABC中，,D E分别在边 BC 与 AC 上，且BDDC，2AEEC 则AD BE（ ） A 1 2 B
10、1 3 C 1 4 D 1 6 例 3 已知向量与的夹角为，且，若，且，则 实数的值为_. 【练一练提升能力】 1.已知向量, ), , 2( ),3 , 5(baxbxa 且则x A2 或 3 B1 或 6 C6 D2 A D C B P 高中数学试题研究群（群号码 545423319） ，汇聚全国数学教师与教研员，共同教研学习，word 资源共享。建群目的资源共 享，共同教研，愉快撸题。欢迎各位有志向提高解题能力，提高教研水平的老师加入。 2. 设向量ba , 满足10|ba ，6|ba ，则ba （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 平面向量的长度与角度问题平面向量的长度与角度
11、问题 【背一背重点知识】 1.在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围是0, 2.ab的几何意义：ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积. b在a方向上的投影 是一个数量|b|cos，它可以为正，可以为负，也可以为 0. 3.在ABC中，AB与BC的夹角不是ABC而是其补角 【讲一讲提高技能】 1.必备技能： （1）利用数量积求解长度与角度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法： 设 1212 ()()aaabbb ， ，基本公式为： |a| 22 12 aa， cos, a b | | a b ab 121 2 2222 1212 a
12、abb aabb . 另外 2 |aa a= 2 a， 2 22 2abaa b b+，是实现向量运算与实数运算相互转化的有力工具. （2）已知a与b为不共线向量，且a与b的夹角为，则 ab0090； ab090； ab090180. 特别的：在利用两向量的夹角公式判断夹角的取值范围时，要注意两向量是否共线 2.典型例题： 例 1 设非零向量a、b、c满足|cba， cba，则向量a、b间的夹角为（ ） A.150 B. 120 C. 60 D.30来源:学*科*网Z*X*X*K 例 2 平面向量(1,2)a ，(4,2)b ，cmab（mR） ， 且c与a的夹角等于c与b的夹角， 则m .
13、高中数学试题研究群（群号码 545423319） ，汇聚全国数学教师与教研员，共同教研学习，word 资源共享。建群目的资源共 享，共同教研，愉快撸题。欢迎各位有志向提高解题能力，提高教研水平的老师加入。 【练一练提升能力】 1.已知非零向量b, a满足ab4，且)2(baa，则a与b的夹角是（ ） A、 3 B、 2 C、 2 3 D、 5 6 2. 已知向量 1, 3a ，3,bm.若向量, a b的夹角为 6 ，则实数m=（ ） （A）2 3 （B）3 （C）0 （D）3 来源:163文库 （一）（一） 选择题（选择题（12*5=6012*5=60 分）分） 1 1.已知点P为ABC所在
14、平面内一点，边AB的中点为D，若2(1)PDPA CB，其中R，则P 点一定在（ ） AAB边所在的直线上 BBC边所在的直线上来源:Z#xx#k.Com CAC边所在的直线上 DABC的内部 2 2.已知i与j为互相垂直的单位向量，2aij ，bij 且a与b的夹角为锐角，则实数的取值范围 是 （ ） A 1 (, 2)( 2, ) 2 B 1 ( ,) 2 C 22 ( 2, )( ,) 33 D 1 (, ) 2 3 3.已知向量2, 8ab，8,16ab ，则a与b夹角的余弦值为( ) A 63 65 B 63 65 C 63 65 D 5 13 4 4.已知平面向量1 )3(2,am
15、，()2bm ，且a b，则实数m的值等于（ ） A2 或 3 2 C2 或 3 2 B 3 2 D 2 7 5 5.设a、b都是非零向量,下列四个条件中,一定能使0 | ab ab 成立的是（ ） 高中数学试题研究群（群号码 545423319） ，汇聚全国数学教师与教研员，共同教研学习，word 资源共享。建群目的资源共 享，共同教研，愉快撸题。欢迎各位有志向提高解题能力，提高教研水平的老师加入。 A 1 3 ab B/ /ab C2ab Dab 6 6.已知向量1,2 ,23,2aab，则（ ） A1, 2b B1,2b C5,6b D2,0b 7 7.设 31 1 (2sin , ),
16、( ,cos ) 26 4 axbx,且/ab,则锐角x为 A 6 B 3 C 4 D 5 12 8 8.函数tan() 42 yx 的部分图象如图所示，则()OAOBAB（ ） A6 B6 C4 D4 9.正三角形ABC内一点M满足,45CMmCAnCBMCA，则 m n 的值为（ ） A3 1 B3 1 C 31 2 D 31 2 1010.若O为ABC所在平面内任一点，且满足0)2()(OAOCOBOCOB，则ABC的形状为（ ） A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形 1111.已知O为ABC内一点，满足0OA OBOC, 2AB AC,且 3 BAC ,则OBC的面
17、积为 （ ） A 1 2 B 3 3 C 3 2 D 2 3 1212.在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足，则点集 所表示的区域的面积是（ ） A B C D 高中数学试题研究群（群号码 545423319） ，汇聚全国数学教师与教研员，共同教研学习，word 资源共享。建群目的资源共 享，共同教研，愉快撸题。欢迎各位有志向提高解题能力，提高教研水平的老师加入。 （二）填空二）填空题（题（4*5=204*5=20 分）分） 13.13. 已 知 向 量( 1,2)a ，(2,3)b ， 若mab与nab共 线 ， 则 实 数的 值 是 来源:163文库 1414.在四边形ABCD中， 1 , 1 DCAB， BA BA BC BC BD BD 3，则四边形ABCD的面积是 _ 15.在ABC中，3BCBD，ADAB，1AD ，则AC AD . 16.16.已知ABC中4,2ACAB，若G为ABC的重心，则AG BC
