1、2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 二次函数的面积问题（二阶）学生版考法探究突破考法一表示三角形面积平面直角坐标系中的面积问题，方法见提分微专题2.考法二表示四边形面积1.求四边形面积，通常利用割补法将四边形转化为几个三角形面积的和.2.当四边形的两边在坐标轴上，常见的求面积的方法有：（1）如图1，连接OP，S四边形OBPCSOCPSOBP；（2）如图2，连接BC，过点P作x轴的垂线交BC于点D，S四边形OBPCSOBCSBCPSOBCSCPDSBPD.类型一面积求值1.（2023历下三模节选）如图1，抛物线C：y14x2bxc过A（6，0），B（0，3）两点，将抛物线C绕点O旋
2、转180，得到新的抛物线C，抛物线C交x轴的负半轴于点D，作直线BD.（1）求抛物线C的表达式和点D的坐标；（2）如图2，过点O作EEBD，交抛物线C于点E和F，交抛物线C于点E和F，求EFB的面积.类型二面积平分2.（2024天桥二模节选）已知抛物线C1：yx2mx6m交x轴于点A，B，交y轴于点C.（1）如图，当点A坐标为（3，0）时，求抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，点D是第二象限内抛物线上的一点，连接BD，若BD将四边形ABCD平分成面积相等的两部分，求点D的横坐标.类型三面积最值3.（2024长清一模节选）如图，直线y12x3交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y14x2bxc
3、经过点A，点C，且交x轴于另一点B.（1）求抛物线的表达式；（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标.类型四面积比值定值4.（2023长清东片区一模节选）已知抛物线yax2bx3经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上动点.（1）抛物线的表达式为yx22x3（x1）24，抛物线的顶点坐标为（1，4）；（2）如图1，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图2，连接OP交BC于点D，当SCPDSBPD12时，请求出点D的坐标.类型五面积比值最值5.（2024章
4、丘二模节选）抛物线yax22xc与x轴交于A（1，0），B两点，与y轴交于点C（0，3）.（1）求抛物线的表达式.（2）点P为第一象限抛物线上的一点，连接OP，交BC于点Q，连接CP，求CPQ与OCQ面积的比值的最大值.达标演练检测1.（2023历城一模）抛物线yax2bx3过点A（1，0），点B（3，0），顶点为C，与y轴相交于点D.点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m（0m3）.（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）如图，连接BD，PB，PD，若PBD的面积为3，求m的值.2.（2023历下九校联考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx4（a0）与x轴交于点A（1，0），
5、B（4，0），与y轴交于点C.（1）求该抛物线的表达式；（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点F为直线AD下方抛物线上一动点，连接FA，FD，求FAD面积的最大值.3.如图，二次函数yx2bxc 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中B（1，0），C（0，3）.（1）求二次函数的表达式；（2）在二次函数图象上是否存在点P，使得SPACSABC？若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由.2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 二次函数的面积问题（二阶）教师版考法探究突破考法一表示三角形面积平面直角坐标系中的面积问题，方法见提分微专题2.考法二表示四边
6、形面积1.求四边形面积，通常利用割补法将四边形转化为几个三角形面积的和.2.当四边形的两边在坐标轴上，常见的求面积的方法有：（1）如图1，连接OP，S四边形OBPCSOCPSOBP；（2）如图2，连接BC，过点P作x轴的垂线交BC于点D，S四边形OBPCSOBCSBCPSOBCSCPDSBPD.类型一面积求值1.（2023历下三模节选）如图1，抛物线C：y14x2bxc过A（6，0），B（0，3）两点，将抛物线C绕点O旋转180，得到新的抛物线C，抛物线C交x轴的负半轴于点D，作直线BD.（1）求抛物线C的表达式和点D的坐标；（2）如图2，过点O作EEBD，交抛物线C于点E和F，交抛物线C于点
7、E和F，求EFB的面积.解：（1）抛物线y14x2bxc经过A（6，0）和B（0，3）两点，9+6bc=0，c3，解得b1，c3，抛物线C的表达式为y14x2x3.抛物线C绕点O旋转180，得到新的抛物线C，点A与点D关于原点对称，点D的坐标是（6，0）.（2）设直线BD的表达式为ykxn.将B（0，3），D（6，0）分别代入得3=n，0=6kn，解得k12，n3，y12x3.EEBD，直线EE的表达式为y12x.联立y14x2x3，y12x，解得x1113， x2113，xE113， xF113.抛物线C绕点O旋转180，得到新的抛物线C，xE113，SEFB SEOB SFOB12OB（x
8、FxE）123（113113）3.类型二面积平分2.（2024天桥二模节选）已知抛物线C1：yx2mx6m交x轴于点A，B，交y轴于点C.（1）如图，当点A坐标为（3，0）时，求抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，点D是第二象限内抛物线上的一点，连接BD，若BD将四边形ABCD平分成面积相等的两部分，求点D的横坐标.解：（1）将A（3，0）代入yx2mx6m中，得93m6m0，解得m1， yx2x6.（2）设D（a，a2a6），y轴与直线BD交于点E，当y0时，0x2x6，解得x3（舍去），x2，B（2，0）.设直线BD的表达式为ykxb，2kb=0，kaba2a+6，解得k(a+3),b
9、=2a+6，直线BD的表达式为y（a3）x2a6.令x0得，y2a6，E（0，2a6），CE62a62a.SBCDSABD，12（2a）（2a）125（a2a6），a2或a157.D是第二象限内抛物线上的一点，a2（舍去），点D的横坐标是157.类型三面积最值3.（2024长清一模节选）如图，直线y12x3交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y14x2bxc经过点A，点C，且交x轴于另一点B.（1）求抛物线的表达式；（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标.解：（1）令x0，得y12033，A（0，3），令y0，得y12x30，解得，x6，C（6，0）
10、，把A，C两点代入y14x2bxc得，c=3，1436+6b+3=0，解得b=1，c=3，抛物线的表达式为y14x2x3.（2）连接OM，如图，设Mx,14x2x+3，令y0，得y14x2x30，解得x2，或x6，B（2，0）.则S四边形ABCMSABOSAOMSOCM1232123x12614x2x+334x292x1234（x3）2754.340，当xb2a3时，四边形ABCM的面积最大，其最大值为754，此时14x2x3154，此时点M的坐标为3，154.类型四面积比值定值4.（2023长清东片区一模节选）已知抛物线yax2bx3经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，点P为
11、第二象限内抛物线上动点.（1）抛物线的表达式为yx22x3（x1）24，抛物线的顶点坐标为（1，4）；（2）如图1，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图2，连接OP交BC于点D，当SCPDSBPD12时，请求出点D的坐标.解：（2）不存在，理由：如图，连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H.令二次函数x0，解得y3，C（0，3）.设直线BC的表达式为ykxb，把C（0，3），B（3，0）代入得3=b，0=3kb，解得k=1，b=3，直线BC的表达式为yx3.设点P（x，x22x3），点H（x，x3），则S四边形BOCPSOBC
12、SPBC123312（x22x3x3）38，整理，得3x29x70，0，故方程无解，则不存在满足条件的点P.（3）OBOC，CBO45，BCBO2CO232.SCPDSBPD12，BD23BC233222，yDBDsinCBO22222，代入直线BC得2x3，解得x1，D（1，2）.类型五面积比值最值5.（2024章丘二模节选）抛物线yax22xc与x轴交于A（1，0），B两点，与y轴交于点C（0，3）.（1）求抛物线的表达式.（2）点P为第一象限抛物线上的一点，连接OP，交BC于点Q，连接CP，求CPQ与OCQ面积的比值的最大值.解：（1）抛物线yax22xc与x轴交于A（1，0），B两点，
13、与y轴交于点C（0，3），把A（1，0），C（0，3）代入yax22xc，得a2+c=0，c=3，解得a1，c=3，抛物线的表达式为yx22x3.（2）如图，过点P作PDOB，交BC于点D，抛物线的表达式为yx22x3，与x轴交于A（1，0）、B两点，令y0，则x22x30，解得x11（为点A横坐标），x23，B（3，0），OB3，设直线BC的表达式为ykxb，把B（3，0），C（0，3）代入ykxb，得3kb=0，b=3，解得k1，b=3，直线BC的表达式为yx3.点P为第一象限抛物线上的一点，设点P（m，m22m3）（0m3）.PDOB，交BC于点D，yDyPm22m3，把ym22m3代入
14、yx3，得x3m22m3，整理，得xm22m，xDm22m，PDxPxDm（m22m）m23m.CPQ的边PQ上的高与OCQ的边OQ上的高相同，SCPQSOCQPQOQ.PDOB，PDQOBQ，DPQBOQ，PDQOBQ，PQOQPDOBm2+3m313m2m，SCPQSOCQ13m2m，当mb2a121332时，SCPQSOCQ取得最大值133223234，CPQ与OCQ面积的比值的最大值为34.达标演练检测1.（2023历城一模）抛物线yax2bx3过点A（1，0），点B（3，0），顶点为C，与y轴相交于点D.点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m（0m3）.（1）求抛物线的表达式及点
15、C的坐标；（2）如图，连接BD，PB，PD，若PBD的面积为3，求m的值.解：（1）将点A（1，0），点B（3，0）代入yax2bx3，得ab+3=0，9a+3b+3=0，解得a1，b=2，抛物线的表达式为yx22x3.yx22x3（x1）24，顶点C（1，4）.（2）设直线BD的表达式为ykxb.点D（0，3），点B（3，0），代入表达式，得b=3，3kb=0，解得k1，b=3，直线BD表达式为yx3.过点P作PQy轴交BD于点Q，设点P（m，m22m3），点Q（m，m3），SPBD12PQOB123（m22m3m3）32m292m，PBD的面积为3，32m292m3，m11，m22.2.（
16、2023历下九校联考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx4（a0）与x轴交于点A（1，0），B（4，0），与y轴交于点C.（1）求该抛物线的表达式；（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点F为直线AD下方抛物线上一动点，连接FA，FD，求FAD面积的最大值.解：（1）将A（1，0），B（4，0）代入yax2bx4，得ab4=0，16a+4b4=0，a=1，b3，yx23x4.（2）当x0时，y4，点C（0，4），点D与点C关于直线l对称，且对称轴为直线x32，D（3，4）.A（1，0），直线AD的函数关系式为yx1.设F（m，m23m4），作FHy轴交直线AD于点
17、H，H（m，m1），FHm1（m23m4）m22m3，SAFDSAFHSDFH12FH42（m22m3）2m24m62（m1）28，当m1时，SAFD最大为8.3.如图，二次函数yx2bxc 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中B（1，0），C（0，3）.（1）求二次函数的表达式；（2）在二次函数图象上是否存在点P，使得SPACSABC？若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）将点B（1，0），C（0，3）代入yx2bxc得1+bc=0，c3，解得b4，c=3，抛物线表达式为yx24x3.（2）yx24x3（x2）21，顶点坐标为（2，1）.当y0时，x24x30，
18、解得x11，x23，A（3，0），则OA3.C（0，3），则OC3，AOC是等腰直角三角形.SPACSABC，点P到AC的距离等于点B到AC的距离.A（3，0），C（0，3），设直线AC的表达式为ykx3，3k30，解得k1，直线AC的表达式为yx3.如图，过点B作AC的平行线，交抛物线于点P.设BP的表达式为yxd.将点B（1，0）代入yxd，得1d0，解得d1，直线BP的表达式为yx1.联立yx+1，yx24x+3，解得x=1，y=0（舍去）或x=2，y1，P（2，1）.PA（32）2122，PB（21）2122，AB312，PA2PB2AB2，ABP是等腰直角三角形，且APB90.如图，延长PA至点D，使得ADPA，过点D作AC的平行线DE，交x轴于点E，则符合题意的点P在直线DE上.APB是等腰直角三角形，DEAC，ACPD，DAEBAP45，PDDE，ADE是等腰直角三角形，AE2AD2AP2，E（5，0）.设直线DE的表达式为yxe，5e0，解得e5，直线DE的表达式为yx5.联立yx+5，yx24x+3，解得x3172，y7+172或x3+172，y7172，P3172，7+172或P3+172，7172.综上所述，点P的坐标为（2，1）或3172，7+172或3+172，7172.
