1、 江苏省南通市通州区 2021 届高三第一次诊断测试 数学试卷 20209 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1函数 1 ( )3 1 f xx x 的定义域为 A1，3 B(1，3 C(，1) D3，) 2已知 a，b，c，dR，则下列命题正确的是 A若 ab，nN，则 nn ab B若 ab，cd，则 acbd C若 ab，cd，则 acbd D若 ab，则 11 ab 3集合 M 8 NN 1 y yxy x ，的非空子集个数是 A3 B7 C15 D31 4已知 1
2、3 1 ( ) 2 a ， 1 3 log 2b ， 1 2 1 ( ) 3 c ，则 a，b，c 的大小关系是 Aabc Bbac Ccab Dbca 5函数 1 ( )()cosf xxx x 在其定义域上的图像大致是 6函数 1 ( )ln2f xxx x 的单调减区间为 A(1，) B(0，1) C( 1 2 ，1) D(， 1 2 )和(1，) 7某种物体放在空气中冷却，如果原来的温度是 1 ，空气的温度是 0 ，那么 t min 后 物体的温度(单位：)满足： 0.2 010 ()e t 若将物体放在 15的空气中从 62分别冷却到 45和 30所用时间为 1 t，2t， 则 21
3、 tt的值为 （取 ln20.7， e=2.718） A 7 2 B 2 7 C 7 2 D 2 7 8已知函数( )ln a f xx x ，m，n1，2，mn 时，都有 (1)(1) 0 f mf n mn ， 则实数 a 的取值范围是 A(，1) B(，1 C(，2) D(，2 二、 多项选择题 （本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共计 20 分在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9下列命题正确的是 A.“a1”是“a21”的充分不必要条件 B“MN”是“lgMlgN”的必要不充分条件 C命题“xR，x210”的否定是“xR，使
4、得 x210” D设函数( )f x的导数为( )fx，则“( )fx0”是“( )f x在 0 xx处取得极值”的 充要条件 10设 ab0，则下列不等式一定成立的是 A0 ab ba B20201 a b C 2ab ab ab D ba ab 11定义在 R 上的奇函数( )f x满足(1)(1)fxfx，则 A函数( )f x的图象关于原点对称 B函数( )f x的图象关于直线 x1 对称 C函数( )f x是周期函数且对于任意 xR，(2)( )f xf x成立 D当 x(0，1时，( )e1 x f x ，则函数( )f x在区间14k，34k(kZ)上单调递 减（其中 e 为自然
5、对数的底数） 12已知函数 4 ( ) n n f xx x (n 为正整数)，则下列判断正确的是 A函数( )f x始终为奇函数 B当 n 为偶数时，函数( )f x的最小值为 4 C当 n 为奇数时，函数( )f x的极小值为 4 D当 n1 时，函数( )yf x的图象关于直线 y2x 对称 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13已知函数 1 , 01 ( ) 2(1), 1 x f xx xx ，若( )(1)f af a，则实数 a 14若 2s3tst(s0，t0)，则 st 的最小值是 15 已知偶函数( )f x
6、(x0)的导函数为( )fx，(e)ef， 当 x0 时，( )2 ( )0 xfxf x， 则使 2 1 (1)(1) e f xx成立的 x 的取值范围是 （其中 e 为自然对数的底数） 16校园内因改造施工，工人师傅用三角支架固定墙面（墙面与地面垂直） （如图） ，现在一 支架斜杆长为 16dm，一端靠在墙上，另一端落在地面上，则该支架斜杆与其在墙面和 地面上射影所围成三角形周长的最大值为 dm；现为调整支架安全性，要求前述 直角三角形周长为 30dm，面积为 30dm2，则此时斜杆长度应设计为 dm （第一 空 2 分，第二空 3 分） 第 16 题 四、解答题（本大题共 6 小题，共
7、计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 在ABA， AB， B R A 这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中， 若问题中的实数 a 存在，求 a 的取值范围；若不存在，说明理由 问题：已知集合 A0R 1 xa xx x ，B 2 log (1)1Rxxx，是否存 在实数 a，使得 ？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )f xxaxb，a，bR，关于 x 的不等式( )0f x 的解集为(2，3) （1）求 a，b 的值； （2）求函数( ( )2yf
8、 f x的所有零点之积 19 （本小题满分 12 分） 设函数 322 1 ( )(1)(23) 3 f xxkxkkx，xR，kR （1）若函数( )f x为奇函数，求函数( )f x在区间3，3上的最值； （2）若函数( )f x在区间(0，2)内不单调，求实数 k 的取值范围 20 （本小题满分 12 分） 经验表明， 在室温 25 C 下， 85 C 开水冷至 35 C 到 40 C （温水） 饮用对身体更有益 某 研究人员每隔 1min 测量一次开水温度（如下表） ，经过 xmin 后的温度为 y C现给出以下 2 个函数模型：25 a ykx(kR，0a1，x0)；25 x yka
9、( kR，0a1， x0)，其中 a 为温度衰减比例，计算公式为： 5 1 1 251 525 i i i y a y (iN) 开水温度变化 时间 x/min 0 1 2 3 4 5 水温 y/ 85 79 75 71 68 65 （1）请选择一个恰当的函数模型描述 x，y 之间的关系，并求出 k； （2）求 a 值(a 保留 0.01)； （3）在 25 C 室温下，85 C 开水至少大约放置多长时间（单位：min，保留整数）才能 冷至到对身体有益温度？（参考数据： 16.6 1 4 0.92 ， 21.5 1 6 0.92 ） 21 （本小题满分 12 分） 已知函数( )(2)ln1f xxxx （1）求曲线( )yf x在点 P(1，(1)f)处的切线方程； （2）已知 0 xx是函数( )yf x的极值点，若 12 ( )()f xf x， 12 xx， 1 x， 2 x R， 求证： 120 2xxx（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） 22 （本小题满分 12 分） 已知函数 1 ( )exf xax ，( )lng xbxbx，其中 e 为自然对数的底数，a，bR （1）讨论函数( )f x在(0，)上的单调性； （2）当 a0 时，( )( )f xxg x对 x0 恒成立，求实数 b 的取值范围
