1、专题7 瓜豆原理中动点轨迹圆或圆弧型最值问题【专题说明】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法:（1） 动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或者圆弧。（2） 当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆，具体运用如下;见直角，找斜边，想直径，定外心，现圆形见定角，找对边，想周角，转心角，现圆形【知识精讲】如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆
2、与圆O有什么关系？考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有AMQAOP，QM:PO=AQ:AP=1:2【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=1/2AOQ点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放根据动点之间的相对位置关系【分析】圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系【分析】轨迹圆半径数量关系如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQAP且AQ=AP考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90得
3、AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆接下来确定圆心与半径考虑APAQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AMAO；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO即可确定圆M位置，任意时刻均有APOAQM如图，APQ是直角三角形，PAQ=90且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？【分析】考虑APAQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AMAO；考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1即可确定圆M位置，任意时刻均有APOAQM，且相似比为2【模型总结】为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连
4、线的夹角是定量（PAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：PAQ=OAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩古人云：种瓜得瓜，种豆得豆“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”【例题】1、如图，在中，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ）A5B6C7D8【解析】如图，设O与AC相切于点D，连接OD，作
5、垂足为P交O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为，点O是AB的三等分点，O与AC相切于点D，MN最小值为，如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，MN最大值，,MN长的最大值与最小值的和是6故选B2、如图，在矩形纸片ABCD中，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将沿EF所在直线翻折，得到，则的长的最小值是AB3CD【解析】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点在线段CE上时，的长取最小值，如图所示，根据折叠可知：在中，的最小值故选D3、如图，在RtABC中，ABC90，ACB30，BC23 ，ADC与ABC关于AC对称，点E、F分别是边DC、
6、BC上的任意一点，且DECF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为( )A1B3C32D2【解析】连接AD，因为ACB30，所以BCD60，因为CBCD，所以CBD是等边三角形，所以BDDC.因为DECF，EDBFCD60，所以EDBFCD，所以EBDFDC，因为FDCBDF60，所以EBDBDF60，所以BPD120，所以点P在以A为圆心，AD为半径的弧BD上，直角ABC中，ACB30，BC23，所以AB2，AC4，所以AP2.当点A，P，C在一条直线上时，CP有最小值，CP的最小值是ACAP422.故选D.4、如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的
7、动点，将EBF沿EF所在直线折叠得到EB F，连接B D，则B D的最小值是_【解析】如图所示点B在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B、E共线时，BD的值最小，根据折叠的性质，EBFEBF，B=EBF，EB=EBE是AB边的中点，AB=4，AE=EB=2又AD=6，DE2，BD=225、如图，中，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为_.【解析】PAB+PBA=90，APB=90，点P在以AB为直径的弧上（P在ABC内）设以AB为直径的圆心为点O，如图接OC，交O于点P，此时的PC最短，AB=6，OB=3，又BC=4，PC=5-3=26、如图，点在半圆上，半径，点在弧上移动，连接，
8、作，垂足为，连接，点在移动的过程中，的最小值是_【解析】如图，设AD的中点为点E，则由题意得，点H的运动轨迹在以点E为圆心，EA为半径的圆上由点与圆的位置关系得：连接BE，与圆E交于点H，则此时取得最小值，连接BDAB为半圆O的直径，7、如图，过抛物线上一点A作轴的平行线，交抛物线于另一点B，交轴于点C，已知点A的横坐标为（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；连结BD，求BD的最小值；当点D落在抛物线的对称轴上，且在轴上方时，求直线PD的函数表达式【解析】（1）由题意A（2，5），对称轴x=4，A、B关于对称轴对称，B（10，5）（2）如图1中，由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，当O、D、B共线时，BD的最小值=OBOD=如图2中，图2当点D在对称轴上时，在RtODE中，OD=OC=5，OE=4，DE=3，点D的坐标为（4，3）设PC=PD=x，在RtPDK中，x2=（4x）2+22，x=，P（，5），直线PD的解析式为y=x+
