1、专题05 手拉手模型构造全等三角形【专题说明】两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等或相似三角形，这样的图形称作共点旋转模型；为了更加直观，我们形象的称其为“手拉手”模型。【知识总结】【基本模型】一、等边三角形手拉手-出全等 图1 图2 图3 图4二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有 BCDACE；BDAE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；FC平分BFE；图1图2图3图41、如图，点C在线段AB上，DAC和DBE都是等边三角形，求证：DABDCE;DAEC.解析：（1）DAC和DBE都是
2、等边三角形.DA=DC,DB=DE,ADC=BDE=60.DA=DC,DB=DE,ADC=BDE=60ADC+CDB=BDE+CDB,（重点）即ADB=CDE在DAB和DCE中，DA=DCADB=CDEDB=DEDABDCE.（2）DABDCEA=DCE=60ADC=60DCE=ADCDAEC.2、已知：ACB和DCE都是等腰直角三角形，ACB=DCE=90，连结AE,BD交于点O,AE与DC交于点0，AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.解析:ACB和DCE都是等腰三角形ACB=DCE=90AC=BC,DC=ECACB+ACD=DCE+ACDBCD=ACE在ACE和BCD中AC=BCACE
3、=BCDCE=CDACEBCD(SAS)AE=BD3、已知，在ABC中，ABAC，点P平面内一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使QAPBAC，连接BQ、CP，若点P在ABC内部，求证BQCP；若点P在ABC外部，以上结论还成立吗？解析：（1）QAPBACQAPBAPBACBAP，即QABPAC另由旋转得AQAP在AQB和APC中AQAPQABPACABACAQBAPC，BQCP（2）QAPBACQAPBAPBACBAP来即QABPAC另由旋转得AQAP在AQB和APC中AQAPQABPACABACAQBAPC，BQCP4、如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作
4、一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H.若AB=2，AG=1，则EB=_.解析：连接BD交于AC于点O,四边形ABCD、AGFE是正方形AB=AD,AE=AG,DAB=EAGEAB=GAD在AEB和AGD中AE=AGEAB=GADAB=ADEABGAD（SAS）EB=GD四边形ABCD是正方形，AB=2BDAC,AC=BD=2AB=2DOG=90，OA=OD=12BD=1AG=1OG=OA+AG=2GD=5，EB=55、已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点，点G、E分别在线段AD、AB上，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG,在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长
5、与线段DG的长度始终相等？并说明理由。解析：连接BE四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形AB=AD,AE=AG,BAD=EAG=90BAD-BAG=EAG-BAG,即DAG=BAEAB=ADDAG=BAEAE=AGBAEDAG(SAS)BE=DG6、已知：如图在ABC，ADE中，BAC=DAE=90，AB=AC,AD=AE,点C、D、E三点在同一直线上，连接BD,BE.以下四个结论:BD=CE;BDCE;ACE+BDC=45；BE2=2AD2+AB2其中结论正确的个数是_解析：BAC=DAE=90BAC+CAD=DAE+CAD即BAD=CAE在BAD和CAE中，BADCAE(SAS)，BD
6、=CEBADCAEABD=ACEABD+DBC=45ACE+DBC=45DBC+DCB=90则BDCEABC为等腰直角三角形ABC=ACB=45ABD+DBC=45ABD=ACEACE+DBC=45BDCE在RtBDE中，利用勾股定理得：BE2=BD2+DE2ADE为等腰三角形，DE=2AD即DE2=2AD2BE2=BD2+DE2=BD2+2AD2【基础训练】1、已知ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B,点C重合）.以AD为边作等边三角形ADE,连接CE.如图1，当点D在边BC上时，求证：ABDACE;直接判断结论BC=DC+CE是否成立（不需要证明）；如图2，当点D在边B
7、C的延长线上时，其他条件不变，请写出BC、DC、CE之间存在的数量关系，并写出证明过程.解析：(1)ABC和ADE是等边三角形BAC=DAE=60，AB=BC=AC,AD=DE=AEBAC-DAC=DAE-DACBAD=EAC在ABD和ACE中，ABDACE(SAS)，ABDACE，BD=CEBC=BD+CDBC=CE+CD（2）ABC和ADE是等边三角形BAC=DAE=60，AB=BC=AC,AD=DE=AEBAC+DAC=DAE+DACBAD=EAC在ABD和ACE中，ABDACE（SAS），BD=CEBD=BC+CDCE=BC+CD2、如图，ACB与ECD都是等腰直角三角形，ACB=EC
8、D=90，点D为AB边上的一点.若DE=13，BD=12，求线段AB的长.ACEBCDAE=BD,EAC=B=45BD=12EAD=45+45=90，AE=12在RtEAD中，EAD=90，DE=13，AE=12，由勾股定理得：AD=5AB=BD+AD=12+5=173、如图，点A、B、C在一条直线上，ABD,BCE均为等边三角形，连接AE和CD,AE分别交CD,BD于点M,P,CD交BE于点Q，连接PQ,BM.下面结论：ABEDBC;DMA=60；BPQ为等边三角形；MB平分AMC.其中正确的有_解析：ABD,BCE为等边三角形AB=DB,ABD=CBE=60，BE=BCABE=DBC,PB
9、Q=60在ABE和DBC中AB=DBABE=DBCBE=BCABEDBC (1)正确ABEDBCBAE=BDCBDC+BCD=180-60-60=60DMA=BAE+BCD=BDC+BCD=60（2）正确在ABP和BDQ中BAP=BDQAB=DBABP=DBQ=60ABPDBQBP=BQBPQ为等边三角形（3）正确DMA=60AMC=120AMC+PBQ=180P、B、Q、M四点共圆 BP=BQBMP=BMQ即MB平分AMC4、如图1，CA=CB,CD=CE,ACB=DCE=，AD、BE相交于点M,连接CM.求证：BE=AD;用含的式子表示AMB的度数；当=90时，取AD、BE的中点分别为点P
10、、Q，连接CP,CQ,PQ,如图2，判断CPQ的形状，并加以证明.解析：（1）如图1，ACB=DCE=ACD=BCE在ACD和BCE中，CA=CBACD=BCECD=CEACDBCE（SAS）BE=AD(2) 如图1，ACDBCECAD=CBEABC中，BAC+ABC=180-BAM+AMB=180-ABM中，AMB=180-（180-）=.如图2，由（1）可得，BE=AD，AD,BE的中点分别为点P、QAP=BQACQBCECAP=CBQ在ACP和BCQ中，CA=CBCAP=CBQAP=BQACPBCQ（SAS）CP=CQ,且ACP=BCQ又ACP+PCB=90BCQ+PCB=90PCQ=9
11、0CPQ为等腰直角三角形.【巩固提升】1、已知ABC和BDE都是等腰直角三角形，ACBBED90，AB2BD，连接CE（1）如图1，若点D在AB边上，点F是CE的中点，连接BF当AC4时，求BF的长；（2）如图2，将图1中的BDE绕点B按顺时针方向旋转，使点D在ABC的内部，连接AD，取AD的中点M，连接EM并延长至点N，使MNEM，连接CN求证：CNCE解析：（1）ABC和BDE都是等腰直角三角形，ACBBED90，ACBC4，ABAC4，DEBE，DB BE，ABC45，DBE45，AB2BD，ADBD2，BE2，CBEABC+DBE90，CE2，点F是CE的中点，BFCE；（2）如图，连
12、接AN，设DE与AB交于点H，点M是AD中点，AMMD，又MNME，AMNDME，AMNDME（SAS），ANDE，MANADEANDE，NAH+DHA180，NAHNAC+CABNAC+45，DHAEDB+DBH45+DBH，NAC+45+45+DBH180，NAC+DBH90，CBA+DBE45+4590，CBE+DBH90，CBENAC，又ACBC，ANDEBE，ACNBCE（SAS），ACNBCE，BCE+ACE90，ACN+ACE90NCE，CNCE2、如图，ABC中ABAC5，tanACB，点D为边BC上的一动点（不与点B、C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转得AE，使DAEBAC
13、，DE与AB交于点F，连接BE（1）求BC的长；（2）求证ABEABC；（3）当FBFE时，求CD的长解析：（1）如图，过点A作AHBC于点H，ABAC，AHBC，BHCHBC，tanACB，设AH3k（k0），CH4k，AC2AH2+CH2，9k2+16k225，k1，HC4，BC2CH8；（2）DAEBAC，DACBAE，将线段AD绕点A顺时针旋转得AE，AEAD，又ABAC，AEBADC（SAS），ABEACD，ABAC，ABCACD，ABEABC；（3）ADAE，AEDADE（180DAE），ABAC，ABCACB（180BAC），DAEBAC，ADEAEDABCACB，ABEABCA
14、DE，又BFEDFA，BEFDAF，FBFE，FBEFEB，DAFADFFBEFEB，DAFABCACB又ABCABD，BADBCA，BD，CDBCBD83、如图1，在ABC中，ACB90，ACBC，D为AB上一点，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90至CE，连接AE（1）求证：BCDACE；（2）如图2，连接ED，若CD2，AE1，求AB的长；（3）如图3，若点F为AD的中点，分别连接EB和CF，求证：CFEB解析：（1）由旋转可得ECDC，ECD90ACB，BCDACE，又ACBC，BCDACE（SAS）；（2）由（1）可知AEBD1，CAEB45CAB，EAD90，；（3）如图，过C作C
15、GAB于G，则AGAB，ACB90，ACBC，CGAB，即，点F为AD的中点，FAAD，FGAGAFABAD（ABAD）BD，由（1）可得：BDAE，FGAE，即，又CGFBAE90，CGFBAE，FCGABE，FCG+CFG90，ABE+CFG90，CFBE4、如图，ABC和EDC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，连接AD、BE，点F为线段AD的中点，连接CF（1）如图1，当D点在BC上时，试判断线段BE、CF的关系，并证明你的结论；（2）如图2，把DEC绕C点顺时针旋转一个锐角，其他条件不变时，请探究BE、CF的关系并直接写出结论解析：（1）结论：BE2CF，BECF理由：ABC
16、和DEC都是等腰直角三角形，BCAC，CDCE，ACBECD90，在BCE和ACD中，BCEACD（SAS），BEAD，EBCDAC，F为线段AD的中点，CFAFDFAD，BE2CF；AFCF，DACFCA，BCF+ACF90，BCF+EBC90，即BECF；（2）旋转一个锐角后，（1）中的关系依然成立证明：如图2，延长CF到M，使FMFC，连接AM，DM，又AFDF，四边形AMDC为平行四边形AMCDCE，MAC180ACD，BCEBCA+DCEACD180ACD，即MACBCE，在MAC和ECB中，MACECB（SAS），来CMBE；ACMCBE，BECM2CF，CBE+BCMACM+BC
17、M90，即BECF5、如图1，在ABC中，ABAC，BAC90，D、E分别是AB、AC边的中点将ABC绕点A顺时针旋转a角（0a180），得到ABC（如图2），连接DB，EC（1）探究DB与EC的数量关系，并结合图2给予证明；（2）填空：当旋转角的度数为 时，则DBAE；在旋转过程中，当点B，D，E在一条直线上，且AD时，此时EC的长为 解析：（1）DBEC，理由如下：ABAC，D、E分别是AB、AC边的中点，ADAE，由旋转可得，DAEBAC90，ABAC，DABEAC，且ABAC，ADAEADBAEC（SAS），DBEC，（2）当DBAE时，BDADAE90，又ADAB，ABD30，DAB
18、60，旋转角60，如图3，当点B，D，E在一条直线上，AD，AB2，ADE，ABC是等腰直角三角形，BCAB4，DEAD2，由（1）可知：ADBAEC，ADBAEC，BDCE，ADBDAE+AED，AECAED+DEC，DECDAE90，BC2BE2+CE2，16（2+EC）2+CE2，CE1，6、如图，AOB120，OC平分AOB，MCN60，CM与射线OA相交于M点，CN与直线BO相交于N点把MCN绕着点C旋转（1）如图1，当点N在射线OB上时，求证：OCOM+ON；（2）如图2，当点N在射线OB的反向延长线上时，OC与OM，ON之间的数量关系是 （直接写出结论，不必证明）（1）证明：作O
19、CG60，交OA于G，如图1所示： AOB120，OC平分AOB，CONCOG60，OCGCOG，OCCG，OCG是等边三角形，OCOG，CGM60CON，又MCNOCG60，OCNGCM，在OCN和GCM中，OCNGCM（ASA），ONGM，OGOM+GM，OCOM+ON；（2）OCOMON，理由如下：作OCG60，交OA于G，如图2所示：AOB120，OC平分AOB，CONCOG60，CON120，OCGCOG，OCCG，OCG是等边三角形，OCOG，CGO60，CGM120CON，MCNOCG60，OCNGCM，在OCN和GCM中，OCNGCM（ASA），ONGM，OGOMGM，OCOMON；
