1、第3讲导数的几何意义及函数的单调性考情分析1.导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性，是导数应用的重点内容，也是高考的常见题型，以选择题、填空题的形式考查，或为导数解答题第一问，难度中等偏上，属综合性问题考点一导数的几何意义与计算核心提炼1导数的几何意义(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同(3)切点既在切线上，又在曲线上2复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为y xyuux.例1(1)(2023全国甲卷)曲线y
2、在点处的切线方程为()Ayx ByxCyx Dyx答案C解析因为y，所以y，所以ky|x1，所以曲线y在点处的切线方程为y(x1)，即yx.(2)(2022新高考全国)若曲线y(xa)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_答案(，4)(0，)解析因为y(xa)ex，所以y(xa1)ex.设切点为A(x0，(x0a)，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA(x0a1)，化简，得xax0a0.因为曲线y(xa)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程xax0a0有两个不同的根，所以a24a0，解得a0，所以a的取值范围是(，4)(0，)易错提醒求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与
3、“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点跟踪演练1(1)(2023宿迁模拟)已知曲线yx21与y1x3在xx0处的切线互相垂直，则x0_.答案解析由yx21，得y2x，则曲线yx21在xx0处的切线斜率为k12x0，由y1x3，得y3x2，则曲线y1x3在xx0处的切线斜率为k23x，则根据题意有k1k21，即6x1，解得x0.(2)(2022新高考全国)曲线yln|x|过坐标原点的两条切线的方程为_，_.答案yxyx解析先求当x0时，曲线yln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，则由y，得切线斜率为，又切
4、线的斜率为，所以，解得y01，代入yln x，得x0e，所以切线斜率为，切线方程为yx.根据偶函数图象的对称性知，当x0恒成立，当a0时，f(x)ex0时，令f(x)0，解得x1，令f(x)0，解得x1，故此时函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为，()当a0，解得x1，令f(x)1，故此时函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为，综上，当a0时，f(x)的单调递减区间为(，)，无单调递增区间，当a0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为，当a0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.规律方法(1)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制；(2
5、)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，根据根的大小进行分类讨论；(3)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论跟踪演练2(2023北京海淀区模拟)已知函数f(x)aln xx2(2a1)x，其中a0，求函数f(x)的单调区间解函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)2x(2a1)，令f(x)0，得x1，x2a，当a0时，f(x)x2x，对称轴为x，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减；当a时，f(x)0，则f(x)是(0，)上的增函数；当0a时，若0x，则f(x)0，若ax，则f(x)时，若0xa，则f(x)0，若xa，则f(x)0，所以f(x)在，(
6、a，)上单调递增，在上单调递减综上所述，当a0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为；当a时，f(x)的单调递增区间为(0，)，无单调递减区间；当0a时，f(x)的单调递增区间为，(a，)，单调递减区间为.考点三单调性的简单应用核心提炼1函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)，可转化为f(x)0(或f(x)0)在xD上恒成立2函数f(x)在区间D上存在单调递增(或递减)区间，可转化为f(x)0(或f(x)0，所以xex在(1,2)上恒成立，设g(x)xex，x(1,2)，所以g(x)(x1)ex0，所以g(x)在(1,2)上单调递增，g(x)g(1)e，故e，即ae1，即a的最小值为e
7、1.(2)(2023广东联考)已知函数f(x)xsin xcos xx2，若a，bf，cf(ln 3)，则a，b，c的大小关系为()Acab BacbCabc Dbac答案B解析f(x)xsin xcos xx2f(x)，函数f(x)为偶函数，又f(x)sin xxcos xsin xxx(cos x1)，当x0时，f(x)0，f(x)单调递增，又函数f(x)为偶函数，af(log25)f(log25)，0sin2,1ln 3ln 3sin0，f(log25)f(ln 3)f，即acb.规律方法利用导数比较大小或解不等式的策略利用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或解不等式的
8、问题，转化为利用导数研究函数单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式跟踪演练3(1)已知变量x1，x2(0，m)(m0)，且x1x2，若x2ln x1x1ln x2恒成立，则m的最大值为(e2.718 28为自然对数的底数)()Ae B.C. D1答案A解析x2ln x1x1ln x2恒成立，恒成立，设函数f(x)，x1x2，f(x1)00xe，即函数f(x)的单调递增区间是(0，e)，则m的最大值为e.(2)(2023咸阳模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)excos x，则不等式f(x1)1e的解集是_答案(1，1)解析当x0时，f(x)excos x，f(x)exs
9、in x1sin x0，则f(x)在0，)上单调递增，因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)在(，0上单调递减，若f(x1)1e，即f(x1)e1f()，可得|x1|，解得1x1，所以不等式f(x1)1e的解集是(1，1)专题强化练一、单项选择题1(2023榆林模拟)已知函数f(x)x2ex2x1，则f(x)的图象在x0处的切线方程为()A4xy10 B2xy10C4exy20 D2exy10答案B解析因为f(x)x2ex2x1，所以f(x)(x22x)ex2，则f(0)2，f(0)1，所以f(x)的图象在x0处的切线方程为y12(x0)，即2xy10.2(2023齐齐哈尔模拟)已知函
10、数yxf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中可能是yf(x)图象的是()答案C解析由yxf(x)的图象知，当x(2，1)时，xf(x)0，f(x)单调递增；当x(1,0)时，xf(x)0，故f(x)0，故f(x)0，f(x)单调递增，结合选项只有C符合3已知函数f(x)ln xx2ax的单调递减区间为，则()Aa(，3 Ba3Ca3 Da(，3答案B解析由f(x)ln xx2ax得f(x)，又f(x)的单调递减区间是，所以和1是方程0的两个根，代入得a3.经检验满足题意4(2023山西联考)若直线yxa与函数f(x)ex和g(x)ln xb的图象都相切，则
11、ab等于()A1 B0 C1 D3答案D解析设直线yxa与函数f(x)和g(x)的图象分别相切于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由f(x)ex，得f(x)ex，令1，得x10，y11，将(0,1)代入yxa中得a1，由g(x)ln xb，得g(x)，令1，得x21，y2b，将(1，b)代入yx1中得b2，所以ab3.5(2023玉林模拟)若函数f(x)(ax1)ex在1,2上单调递增，则a的取值范围是()A. B.C. D0，)答案B解析依题意得f(x)(axa1)ex0对x1,2恒成立，即axa10对x1,2恒成立因为yaxa1的图象为直线，所以解得a.6(2023洛阳模拟)已知函数
12、f(x)e|x|x2，若af(ln 4)，bf，cf(21.1)，则a，b，c的大小关系为()Aabc BacbCcab Dcba答案D解析因为f(x)e|x|(x)2e|x|x2f(x)，所以函数f(x)为偶函数，当x0时，则f(x)exx2，所以f(x)ex2x，构建(x)f(x)，则(x)ex2，令(x)0，解得xln 2，所以(x)在0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，)上单调递增，可得(x)(ln 2)2(1ln 2)0，即f(x)0在0，)上恒成立，故f(x)在0，)上单调递增，又因为bff(2)f(2)，且21.12ln 40，所以f(21.1)f(2)f(ln 4)，即cb
13、a.二、多项选择题7若曲线f(x)ax2xln x存在垂直于y轴的切线，则a的取值可以是()A B0 C. D.答案ABC解析依题意，f(x)存在垂直于y轴的切线，即存在斜率为0的切线，又f(x)2ax1，x0，2ax10有正根，即2a2有正根，即函数y2a与函数y2，x0的图象有交点，令t0，则g(t)t2t2，g(t)g，2a，即a.8(2023通化模拟)若过点(a，b)可作曲线yx22x的两条切线，则点(a，b)可以是()A(0,0) B(1,1)C(3,0) D(3,4)答案BC解析设切点坐标为(t，t22t)，对函数yx22x求导可得y2x2，所以切线斜率为k2t2，所以曲线yx22
14、x在点(t，t22t)处的切线方程为y(t22t)(2t2)(xt)，即y(2t2)xt2，将点(a，b)的坐标代入切线方程可得b(2t2)at2，即t22at2ab0，因为过点(a，b)可作曲线yx22x的两条切线，则关于t的方程t22at2ab0有两个不相等的实数根，所以4a24(2ab)0，即a22ab0，即ba22a，对于点(0,0)，00220，A不满足；对于点(1,1)，112213，B满足；对于点(3,0)，03223，D不满足三、填空题9(2023海南统考)已知函数f(x)2f(3)xx2ln x，则f(1)_.答案解析由f(x)2f(3)xx2ln x，得f(x)2f(3)x
15、，令x3，则f(3)2f(3)3，解得f(3)1，所以f(x)2xx2ln x，所以f(1)2ln 1.10(2023江苏省八市模拟)过点(1,0)作曲线yx3x的切线，写出一条切线的方程_答案2xy20(答案不唯一)解析yx3x，y3x21，设切点坐标为(x0，xx0)，则切线斜率为3x1，得方程y(xx0)(3x1)(xx0)，代入点(1,0)，得2x3x10，即(x01)2(2x01)0，解得x01或x0，当x01时，切线方程为2xy20；当x0时，切线方程为x4y10.11(2023潍坊模拟)若P为函数f(x)exx图象上的一个动点，以P为切点作曲线yf(x)的切线，则切线倾斜角的取值
16、范围是_答案解析设P点坐标为(x0，y0)，由f(x)exx，xR，得f(x)ex，则以P为切点的切线斜率为，令切线倾斜角为，0，)，则tan ，则.12(2023保定模拟)若函数f(x)(x2ax)ex在区间(1,1上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是_答案解析f(x)(x2ax)ex，则f(x)ex(x2ax2xa)，函数f(x)(x2ax)ex在区间(1,1上存在单调递减区间，只需x2ax2xa0在区间(1,1上有解，又x(1,1，则x1(0,2，所以a在区间(1,1上有解，所以a0在区间(0,2上恒成立，所以g(t)在(0,2上单调递增，所以g(t)maxg(2)，即max，所以a
17、，所以实数a的取值范围是.四、解答题13(2023无锡模拟)已知函数f(x)mln xx22x.(1)若函数f(x)在定义域是增函数，求实数m的取值范围；(2)若实数m1，求f(x)的单调递增区间解f(x)的定义域为(0，)，求导得f(x)x2，(1)因为函数f(x)在定义域是增函数，故f(x)0在x(0，)上恒成立，所以x22xm0在x(0，)上恒成立，则44m0，即m1.(2)令f(x)0，得x22xm0，44m4(1m)，若m0，方程x22xm0的两根为x11，x21，若m0，则x10，x20，则当x(x2，)时，f(x)0，故f(x)在(x2，)上单调递增；若0m1，则0x10，故f(x)在(0，x1)和(x2，)上单调递增综上，当m0时，f(x)的单调递增区间为(1，)；当0m0时，因为excos xe0cos x1cos x0，所以g(x)0.所以g(x)在(0，)上单调递增(3)解3f4f，证明如下：设h(x)，x(0，)，则h(x)，由(2)知g(x)在(0，)上单调递增，所以g(x)g(0)0，所以h(x)0，即h(x)在(0，)上单调递增所以hh，即3f4f.
