2025高考数学考二轮专题过关检测六　解析几何-专项训练（含答案）.docx下载_163文库

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1、2025高考数学考二轮专题过关检测六解析几何-专项训练一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.椭圆x25+y2m=1的长轴长为6,则该椭圆的离心率为()A.223B.23C.316D.1162.(2024河南三模)过抛物线y2=8x的焦点的直线交抛物线于A,B两点,若AB中点的横坐标为4,则|AB|=()A.16B.12C.10D.83.已知双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线被圆x2+y2-10y=0截得的线段长等于8,则双曲线C的离心率为()A.153B.54C.3D.534.已知A(-3,0),B(3,

2、0),C(0,3),一束光线从点F(-1,0)出发经AC反射后,再经BC上点D反射,落到点E(1,0)上,则点D的坐标为()A.(12,52)B.(32,32)C.(1,2)D.(2,1)5.已知抛物线y2=8x的焦点为F,经过点P(1,1)的直线l与该曲线交于A,B两点,且点P恰好为AB的中点,则|AF|+|BF|=()A.4B.6C.8D.126.(2022全国甲,文11)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为13,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若BA1BA2=-1,则C的方程为()A.x218+y216=1B.x29+y28=1C.x23+y22=1D.

3、x22+y2=17.已知圆C1:(x+2)2+y2=1,C2:(x-2)2+y2=49,动圆C满足与C1外切且与C2内切,若M为C1上的动点,且CMC1M=0,则|CM|的最小值为()A.2B.3C.2D.58.瑞士著名数学家欧拉在17世纪证明了定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC,AB=AC=4,点B(-1,3),点C(4,-2),且其“欧拉线”与圆M:(x-a)2+(y-a+3)2=r2相切.则圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为()A.22B.32C.42D.6二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共1

4、8分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知椭圆M:x225+y220=1的左、右焦点分别是F1,F2,左、右顶点分别是A1,A2,点P是椭圆上异于A1,A2的任意一点,则下列说法正确的是()A.|PF1|+|PF2|=5B.直线PA1与直线PA2的斜率之积为-45C.存在点P满足F1PF2=90D.若F1PF2的面积为45,则点P的横坐标为510.(2024广东广州二模)双曲线具有如下性质:双曲线在任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角.设O为坐标原点,双曲线C:x220y2b2=1(b0)的左、右焦点分别为F1,F2,右

5、顶点A到一条渐近线的距离为2,右支上一动点P处的切线记为l,则()A.双曲线C的渐近线方程为y=12xB.双曲线C的离心率为305C.当PF2x轴时,|PF1|=952D.过点F1作F1Kl,垂足为K,|OK|=2511.(2024新高考,11)造型可以做成美丽的丝带,将其看作图中曲线C的一部分.已知曲线C过坐标原点O,且曲线C上的点满足横坐标大于-2,到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(ab0)过点(3,1).由点P(2,1)发出的平行于x轴的光线经过抛物线C1:y2=16x反射到椭圆C上后,反射光线经点(-4,0),则椭圆C的方程为.14.已知抛物线Z:x2=4y的焦点为F,圆F:x2

6、+(y-1)2=4与抛物线Z在第一象限的交点为Pm,m24,直线l:x=t(0tb0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为32,过点F2且斜率不为0的直线与椭圆交于A,B两点,F1AF2的周长为4+23.(1)求椭圆C的方程;(2)设O为坐标原点,求|OA+OB|的取值范围.17.(15分)已知椭圆P:x24+y2=1的右顶点为A,点M(x0,y0)是椭圆P上异于A的一点,MNx轴于点N,B是MN的中点,过动点M(x0,y0)的直线l:x0x+4y0y=4与直线AB交于点C.(1)当x0=65时,求证:直线l与椭圆P只有一个公共点;(2)求证:点C在定直线上运动.18.(17分)(2024九

7、省联考)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,过点F与直线l垂直的直线交抛物线C于D,E两点,其中点B,D在x轴上方,M,N分别为AB,DE的中点.(1)证明:直线MN过定点;(2)设G为直线AE与直线BD的交点,求GMN面积的最小值.19.(17分)(2024湖南长沙模拟)定义:一般地,当0且1时,我们把方程x2a2+y2b2=(ab0)表示的椭圆C称为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的相似椭圆.(1)如图,已知点F1(-3,0),F2(3,0),M为O:x2+y2=4上的动点,延长F1M至点N,使得|MN|=|MF1|,F1N的垂直平分线与F2N交于

8、点P,记点P的轨迹为曲线C,求曲线C的方程;(2)在条件(1)下,已知椭圆C是椭圆C的相似椭圆,M1,N1是椭圆C的左、右顶点.点Q是C上异于四个顶点的任意一点,当=e2(e为曲线C的离心率)时,设直线QM1与椭圆C交于点A,B,直线QN1与椭圆C交于点D,E,求|AB|+|DE|的值.专题过关检测六解析几何答案一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.B解析因为椭圆x25+y2m=1的长轴长为6,所以椭圆的焦点在y轴上,且m=32=9,所以椭圆的离心率为9-53=23.2.B解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知

9、x1+x22=4,由抛物线的焦半径公式得|AB|=(x1+2)+(x2+2)=2x1+x22+4=24+4=12.故选B.3.D解析双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为y=bax,即aybx=0.圆的方程x2+y2-10y=0可化为x2+(y-5)2=25,则圆心为(0,5),半径为5,圆心到渐近线的距离为d=|5a|a2+b2,由弦长公式可得8=225-25a2a2+b2,化简可得b2=169a2,c2=a2+b2=259a2,则e=ca=53.4.C解析根据入射光线与反射光线的关系,分别作出F,E关于AC,BC的对称点G,H,连接GH,交BC于D,则点D即为所求,如图

10、.由题意知,AC所在直线方程为y=x+3,F(-1,0),设G(x,y),则y2=x-12+3,yx+1=-1,解得x=-3,y=2,即G(-3,2).由BC所在直线方程为y=-x+3,E(1,0),同理可得H(3,2),所以直线GH的方程为y=2.联立y=-x+3,y=2,解得x=1,y=2,即D(1,2).5.B解析抛物线y2=8x中,p=4,其焦点F(2,0),准线方程x=-2,过点A,B,P作准线的垂线,垂足分别为M,N,R(图略).由抛物线定义可知,|AF|+|BF|=|AM|+|BN|.而P恰好为AB的中点,故PR是梯形ABNM的中位线,故|AM|+|BN|=2|PR|,又P(1

11、,1),故|PR|=1+p2=3,所以|AF|+|BF|=23=6.6.B解析由题意知,A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),则BA1BA2=(-a,-b)(a,-b)=-a2+b2=-1,由e=13,得e2=19=a2-b2a2=1-b2a2,即b2=89a2.联立,解得a2=9,b2=8.故选B.7.B解析易知圆C1的圆心C1(-2,0),圆C1的半径为r1=1.圆C2的圆心C2(2,0),半径为r2=7.|C1C2|=4|C1C2|=4,故圆心C的轨迹为椭圆,且该椭圆的焦点为C1,C2.设该椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),焦距为2c(c0),则2a=8,可得a

12、=4;由2c=4,可得c=2;b=a2-c2=23,所以点C的轨迹方程为x216+y212=1.由CMC1M=0,得CMC1M,且|C1M|=1,由椭圆的几何性质可得|CC1|min=a-c=2,故|CM|min=|CC1|min2-|C1M|2=3.8.A解析因为在ABC中,AB=AC=4,所以BC边上的高线、垂直平分线和中线合一,则其“欧拉线”为ABC边BC的垂直平分线AD.因为点B(-1,3),点C(4,-2),所以D32,12.因为直线BC的斜率为3+2-1-4=-1,所以BC的垂直平分线的斜率为1.所以BC的垂直平分线方程为y-12=x-32,即x-y-1=0.因为“欧拉线”与圆M

13、:(x-a)2+(y-a+3)2=r2相切,所以圆心(a,a-3)到“欧拉线”的距离为|a-a+3-1|2=r,可得r=2.因为圆心(a,a-3)到直线x-y+3=0的距离为|a-a+3+3|2=32,所以圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为322=22.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.BD解析由题意得a=5,b=25,c=5,F1(-5,0),F2(5,0),A1(-5,0),A2(5,0),短轴一个顶点B2(0,25),|PF1|+|PF2|=2a=10,A错误;

14、设P(x,y),则x225+y220=1,y2=201-x225,kPA1kPA2=yx+5yx-5=y2x2-25=201-x2251x2-25=-45,B正确;因为tanOB2F2=|OF2|OB2|=525=121,所以0OB2F245,从而F1B2F2=2OB2F20)可知a=25,右顶点A(25,0),其渐近线方程为y=b25x,由右顶点A到一条渐近线的距离为2,不妨取渐近线bx-25y=0,则|25b|b2+20=2,解得b=5,故双曲线C的渐近线方程为y=b25x=12x,A正确;对于B,由a=25,b=5,得c=(25)2+(5)2=5,故双曲线C的离心率为ca=525=52,

15、B错误;对于C,由c=5可知F2(5,0),当PF2x轴时,将x=5代入x220y25=1中,得y2=52520-1,所以y=52,即得|PF2|=52,由于P在双曲线右支上,故|PF1|=|PF2|+2a=52+45=952,C正确;对于D,如图,连接PF2并延长交F1K的延长线于点E,由题意知,PK为F1PE的角平分线,因为F1Kl,所以|PF1|=|PE|,K为F1E的中点,又O为F1F2的中点,故|OK|=12|F2E|=12(|PE|-|PF2|)=12(|PF1|-|PF2|)=122a=25,D正确.故选ACD.11.ABD解析曲线C上的点到点F(2,0)的距离与到定直线x=a

16、(a0)的距离之积为4,而点O在曲线C上,点O到点F的距离为2,到定直线x=a(a-2.由点M到点F(2,0)的距离与到定直线x=-2的距离之积为4,可得曲线C的方程为(x+2)(x-2)2+y2=4(x-2).将点(22,0)的坐标代入上述方程式左边,有(22+2)(22-2)2+02=4=右边,点(22,0)在曲线C上,B正确.由(x+2)(x-2)2+y2=4(x-2),得曲线C的方程为y2=(4x+2)2-(x-2)2(x-2).设f(x)=(4x+2)2-(x-2)2(x0),则f(x)=-2x(x3+4x2-16)(x+2)3(x0).令g(x)=x3+4x2-16(x0),则g(

17、x)=3x2+8x.在区间(0,+)内,g(x)恒大于0.函数g(x)在区间(0,+)内单调递增.又g(1)=-110,x1(1,2),使得g(x1)=0.当0xx1时,g(x)0,f(x)单调递增,当xx1时,g(x)0,f(x)f(2)=1,y2的最大值大于1,即ymax1.曲线C在第一象限的点的纵坐标的最大值大于1,故C错误.当点(x0,y0)在曲线C上时,有y02=(4x0+2)2-(x0-2)2(4x0+2)2,y04x0+2(x0-2),D正确.故选ABD.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.(x-1)2+(y+1)2=5解析 (方法1)设A(3,0),B(0,1

18、),则线段AB的垂直平分线方程为y-12=3x-32,即y=3x-4.由y=3x-4,2x+y-1=0,解得x=1,y=-1,即圆心M的坐标为(1,-1).设M的半径为r,则r2=(3-1)2+12=5.故所求M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.(方法2)设圆心M(a,1-2a),M的半径为r,则r2=(a-3)2+(1-2a)2=(a-0)2+(1-2a-1)2,整理可得-10a+10=0,即a=1.则圆心M(1,-1),故所求M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.13.x218+y22=1解析由题设知,抛物线C1:y2=16x的焦点为(4,0),由点P(2,1)发出的平行于x轴

19、的光线经过抛物线C1反射后必过点(4,0),再经过椭圆C反射经过(-4,0),可知(4,0),(-4,0)为椭圆C的两个焦点,故c=4,而(3,1)在椭圆C上,由9a2+1b2=1,a2-b2=16,可得a2=18,b2=2,即椭圆C的方程为x218+y22=1.14.2(4,6)解析如图所示.由x2=4y,x2+(y-1)2=4,x0,y0,解得x=2,y=1,故m=2.由x=t,x2=4y,解得x=t,y=t24,所以At,t24.由x=t,x2+(y-1)2=4,x0,y0,解得x=t,y=1+4-t2,所以B(t,1+4-t2).由抛物线的定义,知AF=AC,FAB的周长=FA+FB

20、+AB=AC+AB+BF=BC+2=4-t2+4.因为t(0,2),所以4-t2+4(4,6).四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.解 (1)设点P(x,y),根据题意得x-162+y2=x+16,化简得动点P的轨迹C的方程为y2=23x.(2)M(3,2),(x-2)2+y2=1,x=3即圆的一条切线,A(3,-2).设过M的另一条切线斜率为k,k0,则切线方程为y-2=k(x-3),又设B(x1,y1).由方程组y-2=k(x-3),y2=23x,得y2-23ky+223k-2=0,2+y1=23k,y1=23k2.直线为y-2=k(x-3),

21、其与圆相切,|2k-0-3k+2|k2+1=1,k=24.y1=23.B满足y2=23x,B13,23.AB=-83,423,|AB|=|AB|=463.16.解 (1)由题意得2a+2c=4+23,ca=32,解得a=2,c=3,故b2=4-3=1.所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)因为F2(3,0),所以设直线AB的方程为x=my+3,A(x1,y1),B(x2,y2).由x24+y2=1,x=my+3,消去x得(m2+4)y2+23my-1=0,所以y1+y2=-23mm2+4,y1y2=-1m2+4.又OA+OB=(x1+x2,y1+y2)=(my1+my2+23,y1+y2)

22、,所以|OA+OB|=(my1+my2+23)2+(y1+y2)2=83m2+42+-23mm2+42=23m2+48(m2+4)2.令t=1m2+40,14,所以3m2+48(m2+4)2=3(m2+4)+36(m2+4)2=3t+361t2=36t2+3t.因为二次函数y=36t2+3t在t0,14上单调递增,所以y=36t2+3t(0,3,因此|OA+OB|=23m2+48(m2+4)2(0,23(当m=0时取得最大值),所以|OA+OB|(0,23.17.证明 (1)不妨设y00,当x0=65时,由x024+y02=1得y0=45,所以直线l的方程为65x+445y=4,即y=-38x

23、+54.由y=-38x+54,x24+y2=1,解得x=65,y=45,故直线l与椭圆P的交点坐标为65,45,所以直线l与椭圆P只有一个公共点.(2)因为M(x0,y0)(不妨取y00),MNx轴,B是MN的中点,所以Bx0,y02.因为y00,所以x02,所以直线AB的方程为y=y02x0-2(x-2),即y=y02(x0-2)(x-2),联立x0x+4y0y=4,y=y02(x0-2)(x-2),得(x02+2y02-2x0)x=4x0-8+4y02.又因为x024+y02=1,所以y02=1-x024,因此x02+21-x024-2x0x=4x0-8+41-x024,即12(x0-2)

24、2x=-(x0-2)2,所以x=-2,所以点C在定直线x=-2上运动.18.(1)证明由抛物线C:y2=4x,得F(1,0),因为直线AB与直线DE垂直,所以两条直线斜率都存在且不为0,设直线AB,DE分别为x=m1y+1,x=m2y+1,有m1m2=-1,设A(x1,y1),B(x2,y2),E(x3,y3),D(x4,y4),联立方程可得y2=4x,x=m1y+1,消去x可得y2-4m1y-4=0,=16m12+160,故y1+y2=4m1,y1y2=-4,则x1+x2=m1y1+1+m1y2+1=m1(y1+y2)+2=4m12+2,故x1+x22=2m12+1,y1+y22=2m1,

25、即M(2m12+1,2m1),同理可得N(2m22+1,2m2),当2m12+12m22+1时,则lMN:y=2m2-2m12m22+1-(2m12+1)(x-2m12-1)+2m1,即y=m2-m1m22-m12(x-2m12-1)+2m1=xm2+m12m12+1m2+m1+2m1(m2+m1)m2+m1=xm2+m12m12+1-2m1m2-2m12m2+m1=xm2+m11-2m1m2m2+m1,由m1m2=-1,得y=xm2+m11+2m2+m1=1m2+m1(x-3),故x=3时,有y=1m2+m1(3-3)=0,此时MN过定点,且该定点为(3,0),当2m12+1=2m22+1时

26、,即m12=m22时,又m1m2=-1,即m1=1时,有lMN:x=2+1=3,亦过定点(3,0),故直线MN过定点,且该定点为(3,0).(2)解由A(x1,y1),B(x2,y2),E(x3,y3),D(x4,y4),则lAE:y=y3-y1x3-x1(x-x1)+y1,由y12=4x1,y22=4x2,得y=y3-y1y324-y124(x-y124)+y1=4xy3+y1y12y3+y1+y12+y1y3y3+y1=4xy3+y1+y1y3y3+y1,同理可得lBD:y=4xy4+y2+y2y4y4+y2,联立两直线,即y=4xy3+y1+y1y3y3+y1,y=4xy4+y2+y2

27、y4y4+y2,有4xy3+y1+y1y3y3+y1=4xy4+y2+y2y4y4+y2,即4x(y4+y2)+y1y3(y4+y2)=4x(y3+y1)+y2y4(y3+y1),有x=y2y4(y3+y1)-y1y3(y4+y2)4(y4+y2-y3-y1),由y1y2=-4,同理y3y4=-4,故x=y2y4(y3+y1)-y1y3(y4+y2)4(y4+y2-y3-y1)=y2y3y4+y1y2y4-y1y3y4-y1y2y34(y4+y2-y3-y1)=-4(y2+y4-y1-y3)4(y4+y2-y3-y1)=-1,故xG=-1,过点G作直线GQx轴,交直线MN于点Q,则SGMN=1

29、|xQ-xG|1244=8.19.解 (1)如图,连接OM,易知OMF2N,且|OM|=12|F2N|,|F2N|=4,又点P在F1N的垂直平分线上,|PF1|=|PN|,|PF1|+|PF2|=|PF2|+|PN|=|NF2|=423,满足椭圆定义,a=2,c=3,b=1,曲线C的方程为x24+y2=1.(2)由(1)知椭圆C的方程为x24+y2=1,则离心率e=32=34,椭圆C的标准方程为x23+4y23=1,设Q(x0,y0)为椭圆C上异于四个顶点的任意一点,直线QM1,QN1的斜率为kQM1,kQN1,则kQM1kQN1=y0x0+3y0x0-3=y02x02-3,又x023+4y023=1y02=14(3-x02),kQM1kQN1=-14kQM112.设直线QM1的斜率为k,则直线QN1的斜率为-14k,直线QM1为y=k(x+3),由y=k(x+3),x24+y2=1,得(1+4k2)x2+83k2x+12k2-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-83k21+4k2,x1x2=12k2-41+4k2,|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=4(1+k2)1+4k2,同理可得|DE|=1+16k21+4k2,|AB|+|DE|=4(1+k2)1+4k2+1+16k21+4k2=

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