1、第1讲函数的图象与性质考情分析1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域与值域、分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以上.2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合命题 考点一函数的概念与表示核心提炼1复合函数的定义域(1)若f(x)的定义域为m，n，则在f(g(x)中，由mg(x)n解得x的范围即为f(g(x)的定义域(2)若f(g(x)的定义域为m，n，则由mxn得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域2分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域
2、的并集，值域等于各段函数值域的并集例1(1)(2023南昌模拟)已知函数f(x)的定义域为(1，)，则函数F(x)f(2x3)的定义域为()A(2,3 B(2,3C2,3 D(0,3答案A解析由题可知，20且a1，若函数f(x)的值域是5，)，则a的取值范围是()A，) B(1，)C(1， D(，)答案C解析由于函数f(x)(a0且a1)的值域是5，)，故当x2时，满足f(x)7x5.若a1，f(x)3logax在它的定义域上为增函数，当x2时，由f(x)3logax5，得logax2，loga22，1a.若0a1，f(x)3logax在它的定义域上为减函数，f(x)3logax3loga23
3、，不满足f(x)的值域是5，)综上可得1a.规律方法(1)形如f(g(x)的函数求值时，应遵循先内后外的原则(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解跟踪演练1(1)(2023内江模拟)已知函数f(x)则 f(f(4)等于()A6 B0 C4 D6答案A解析由分段函数知，当x0时，周期T1，所以f(4)f(45)f(1)1346，所以f(f(4)f(6)f(67)f(1)6.(2)(2023山西统考)十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”D(x)它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数f(x)x2D(x)，则下列实数不属于函数f(x)值域的是(
4、)A3 B2 C1 D0答案C解析由题意可知f(x)x2D(x)所以f(1)1210，f()()22，f()()23，而f(x)1无解考点二函数的图象核心提炼1作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换2利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点例2(1)(2023宁波十校联考)函数f(x)ln |x|cos的图象可能为()答案A解析因为函数f(x)ln |x|cosln |x|sin 2x，定义域为(，0)(0，)，且f(x)ln |x|sin(2x)ln |x|sin 2xf(x)，所以函数f(x)为奇函数，图
5、象关于原点对称，故排除选项B，D；当x(0,1)时，ln |x|0，所以f(x)ln |x|sin 2x0，故排除选项C.(2)已知函数f(x)若存在x1，x2，x3(x1x20，x1x2x32.由图象知，当x2时，f(x)0,1，f(x1x2x3)0,1规律方法(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题跟踪演练2(1)(2022全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间3,3的大致图象，则该函数
6、是()Ay ByCy Dy答案A解析对于选项B，当x1时，y0，与图象不符，故排除B；对于选项D，当x3时，ysin 30，与图象不符，故排除D；对于选项C，当0x时，0cos x1，故y1，与图象不符，所以排除C.故选A.(2)已知函数f(x)则下列图象错误的是()答案D解析当1x0时，f(x)2x，表示一条线段，且线段经过(1,2)和(0,0)两点当00，若f(1)0，则不等式(x1)f(x)0的解集是()A(1,1)(1，)B(1,1)C(，1)(1，)D(，1)(0,1)答案A解析已知f(x)是定义在R上的偶函数，则f(x)f(x)，又对任意x1，x20，)，且x1x2，都有0，所以函
7、数f(x)在0，)上单调递增，则函数f(x)在(，0)上单调递减，又f(1)0，所以f(1)f(1)0，根据函数f(x)的单调性可知，(x1)f(x)0等价为或即或解得x1或1x1，即不等式的解集为(1,1)(1，)考向2奇偶性、周期性与对称性例4(多选)(2023肇庆模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(2x)0，f(x)f(x)0，且在区间2,3上单调递增下列结论正确的是()Af(1)是函数f(x)的最小值B函数f(x)图象的一个对称中心是点(6,0)Cf(x16)f(x12)D函数f(x)图象的一条对称轴是直线x1答案BC解析由函数的定义域为R，且f(x)f(x)0，可得函
8、数f(x)为奇函数由f(x2)f(2x)0，知函数f(x)的图象关于点(2,0)对称无法判断函数的对称轴，故选项D错误；f(x)在区间2,3上单调递增，f(x)在区间1,2上单调递增又由f(x)是奇函数，f(x)在区间2，1上单调递增，故f(1)不是函数f(x)的最小值，故选项A错误；由f(x2)f(2x)0可得f(x22)f(2(x2)f(x4)f(x)0，则f(x4)f(x)f(x)，f(x)是以4为周期的函数f(x12)f(x)f(x)，f(x6)f(6x)，f(x6)f(6x)0，f(x)图象的一个对称中心是点(6,0)，选项B正确；由f(x4)f(x)可得f(x16)f(x)，f(x
9、12)f(x)，f(x16)f(x12)，选项C正确二级结论(1)若f(xa)f(x)，其中f(x)0，则f(x)的周期为2|a|.(2)若f(x)的图象关于直线xa和xb对称，则f(x)的周期为2|ab|.(3)若f(x)的图象关于点(a,0)和直线xb对称，则f(x)的周期为4|ab|.跟踪演练3(1)(2023天津滨海新区模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，)上单调递减，若af(log20.2)，bf(20.2)，cf(0.20.3)，则a，b，c大小关系为()Aabc BcabCacb Dbalog242,12020.2212，00.20.30.201，且f(x)在(
10、0，)上单调递减，所以f(log25)f(20.2)f(0.20.3)，即abc.(2)(2023开封模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)为奇函数，f(x1)为偶函数，且(k)1，则f(1)等于()A1 B0 C1 D2答案C解析因为函数f(x)的定义域为R，f(x)为奇函数，所以f(0)0，又因为f(x1)为偶函数，所以f(x)的对称轴为x1，则f(x)是以4为周期的函数则有(k)5(f(1)f(2)f(3)f(4)(f(1)f(2)，设f(1)m，根据对称性得f(3)m，且f(0)f(2)f(4)0，所以f(1)f(2)f(3)f(4)0，所以(k)5(f(1)f(2)f(3)f(
11、4)(f(1)f(2)f(1)f(2)，即f(1)f(2)m0m，因为(k)1，所以m1，即f(1)m1.专题强化练一、单项选择题1(2023台州质检)已知函数f(x)同时满足性质：f(x)f(x)；当x1，x2(0,1)时，0，则函数f(x)可能为()Af(x)x2 Bf(x)xCf(x)cos 4x Df(x)ln(1|x|)答案D解析f(x)f(x)说明f(x)为偶函数，x1，x2(0,1)，f(4)，排除A.4(2023天津)函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为()Af(x)Bf(x)Cf(x)Df(x)答案D解析由题图知，函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且f(2)f
12、(2)0时，0，即C中的函数图象在(0，)上函数值为正，排除，故选D.5函数f(x)已知f(a)3，则实数a的取值范围是()A(1,2) B(，1)(2，)C(2，) D(，2)(1，)答案B解析f(a)3可化为或解得a2.6(2023新高考全国)设函数f(x)2x(xa)在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是()A(，2 B2,0)C(0,2 D2，)答案D解析函数y2x在R上是增函数，而函数f(x)2x(xa)在区间(0,1)上单调递减，则函数yx(xa)2在区间(0,1)上单调递减，因此1，解得a2，所以a的取值范围是2，)7设定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)13，若
13、f(1)2，则f(99)等于()A1 B2C0 D.答案D解析依题意f(x)f(x2)13，f(x2)，所以f(x4)f(x22)f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，所以f(99)f(2541)f(1).8(2023大连模拟)已知对于每一对正实数x，y，函数f(x)都满足：f(x)f(y)f(xy)xy1，若f(1)1，则满足f(n)n(nN*)的n的个数是()A1 B2 C3 D4答案A解析令y1得f(x)f(1)f(x1)x1，即f(x1)f(x)x2，故当xN*时，f(x1)f(x)0，又f(1)1，f(2)4，故f(x)0在xN*上恒成立，且f(x)在xN*上单调递增，所以满足
14、f(n)n(nN*)仅有f(1)1，即n仅有1个二、多项选择题9已知f(x)x3g(x)为定义在R上的偶函数，则函数g(x)的解析式可以为()Ag(x)lgBg(x)3x3xCg(x)Dg(x)ln(x)答案BD解析因为f(x)x3g(x)是偶函数，所以f(x)f(x)，即g(x)g(x)，所以g(x)是奇函数对于A，定义域为(1,1)，所以不符合题意；对于B，定义域为R，g(x)3x3xg(x)，符合题意；对于C，定义域为R，g(x)g(x)，不符合题意；对于D，定义域为R，g(x)ln(x)，而g(x)g(x)ln(x)ln(x)0，符合题意10已知函数f(x)关于函数f(x)的结论正确的
15、是()Af(x)的定义域为RBf(x)的值域为(，4C若f(x)2，则x的值是Df(x)1的解集为(1,1)答案BC解析函数f(x)的定义域是2，)，故A错误；当2x1时，f(x)x2的值域为0,4，当x1时，f(x)x2的值域为(，1，故f(x)的值域为(，4，故B正确；当x1时，令f(x)x22，无解，当2x1时，令f(x)x22，得到x，故C正确；当2x1时，令f(x)x21，解得1x1，当x1时，令f(x)x21，故f(x)1，sgn(ln x)1DxR，|x|xsgn(x)答案BCD解析画出函数ysgn(x)的图象如图所示，由图可知A错误，B正确；对于C，对任意的x1，ln x0，可
16、得sgn(ln x)1，故正确；对于D，xsgn(x)即可得|x|xsgn(x)，故正确12(2023上饶模拟)关于函数f(x)2sin xsin x的说法正确的是()A函数f(x)的图象关于y轴对称B函数f(x)的图象关于直线x对称C函数f(x)的最小正周期为2D函数f(x)的最小值为2答案ABD解析对于A，f(x)的定义域为R，因为f(x)2sin(x)sin(x)sin x2sin xf(x)，所以f(x)是R上的偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称，故A正确；对于B，对于任意的xR，f(x)2sin(x)sin(x)2sin xsin xf(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x
17、对称，故B正确；对于C，因为f(x)2sin(x)sin(x)2sin xsin x2sin xsin xf(x)，所以为函数f(x)的一个周期，故2不是函数f(x)的最小正周期，故C错误；对于D，设t2sin x，则f(t)t，因为t2，当且仅当t，即t1时等号成立，所以函数f(x)的最小值为2，故D正确三、填空题13(2023泸州模拟)若函数f(x)具有性质，请写出符合条件的一个函数的解析式_定义域为R；函数f(x)是奇函数；f(x)f(x)答案f(x)sin 2x(答案不唯一)14(2023全国甲卷)若f(x)(x1)2axsin为偶函数，则a_.答案2解析f(x)(x1)2axsin(
18、x1)2axcos xx2(a2)x1cos x，且函数为偶函数，a20，解得a2.经验证，当a2时满足题意15(2023深圳模拟)已知函数f(x)的定义域为R，若f(1x)f(1x)，且f(1x)f(3x)，则f(2 023)_.答案0解析f(1x)f(1x)，令x0得f(1)f(1)，f(1)0，又f(1x)f(x3)，f(x3)f(1x)，把x换成x1得f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)(f(x)f(x)，f(x)的周期为4，f(2 023)f(45053)f(3)，又f(1x)f(x3)，令x0，f(3)f(1)0，故f(2 023)0.16(2023江苏省八市模拟)已知函数f(x)的定义域为R，yf(x)ex是偶函数，yf(x)3ex是奇函数，则f(x)的最小值为_答案2解析因为函数yf(x)ex为偶函数，所以f(x)exf(x)ex，即f(x)f(x)exex，又因为函数yf(x)3ex为奇函数，所以f(x)3exf(x)3ex，即f(x)f(x)3ex3ex，联立可得f(x)ex2ex，由基本不等式可得f(x)ex2ex22，当且仅当ex2ex，即xln 2时，等号成立，故函数f(x)的最小值为2.
